Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragendifcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragendifcl 43509
 Description: The Caratheodory's construction is closed under the complement operation. Second part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragendifcl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragendifcl.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragendifcl.e (𝜑𝐸𝑆)
Assertion
Ref Expression
caragendifcl (𝜑 → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragendifcl
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragendifcl.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2759 . 2 dom 𝑂 = dom 𝑂
3 caragendifcl.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
43caragenss 43499 . . . . . 6 (𝑂 ∈ OutMeas → 𝑆 ⊆ dom 𝑂)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ dom 𝑂)
65unissd 4806 . . . 4 (𝜑 𝑆 dom 𝑂)
76ssdifssd 4049 . . 3 (𝜑 → ( 𝑆𝐸) ⊆ dom 𝑂)
83fvexi 6670 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
98uniex 7463 . . . . . 6 𝑆 ∈ V
10 difexg 5195 . . . . . 6 ( 𝑆 ∈ V → ( 𝑆𝐸) ∈ V)
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 ( 𝑆𝐸) ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( 𝑆𝐸) ∈ V)
13 elpwg 4495 . . . 4 (( 𝑆𝐸) ∈ V → (( 𝑆𝐸) ∈ 𝒫 dom 𝑂 ↔ ( 𝑆𝐸) ⊆ dom 𝑂))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (( 𝑆𝐸) ∈ 𝒫 dom 𝑂 ↔ ( 𝑆𝐸) ⊆ dom 𝑂))
157, 14mpbird 260 . 2 (𝜑 → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝒫 dom 𝑂)
16 elpwi 4501 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑎 dom 𝑂)
1716adantl 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑎 dom 𝑂)
181, 3caragenuni 43506 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑆 = dom 𝑂)
1918eqcomd 2765 . . . . . . . . 9 (𝜑 dom 𝑂 = 𝑆)
2019adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → dom 𝑂 = 𝑆)
2117, 20sseqtrd 3933 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑎 𝑆)
22 difin2 4197 . . . . . . 7 (𝑎 𝑆 → (𝑎𝐸) = (( 𝑆𝐸) ∩ 𝑎))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎𝐸) = (( 𝑆𝐸) ∩ 𝑎))
24 incom 4107 . . . . . . 7 (( 𝑆𝐸) ∩ 𝑎) = (𝑎 ∩ ( 𝑆𝐸))
2524a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (( 𝑆𝐸) ∩ 𝑎) = (𝑎 ∩ ( 𝑆𝐸)))
2623, 25eqtr2d 2795 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 ∩ ( 𝑆𝐸)) = (𝑎𝐸))
2726fveq2d 6660 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∩ ( 𝑆𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
2821ssdifd 4047 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎𝐸) ⊆ ( 𝑆𝐸))
29 sscon 4045 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐸) ⊆ ( 𝑆𝐸) → (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)) ⊆ (𝑎 ∖ (𝑎𝐸)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)) ⊆ (𝑎 ∖ (𝑎𝐸)))
31 dfin4 4173 . . . . . . . . 9 (𝑎𝐸) = (𝑎 ∖ (𝑎𝐸))
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎𝐸) = (𝑎 ∖ (𝑎𝐸)))
33 eqimss2 3950 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐸) = (𝑎 ∖ (𝑎𝐸)) → (𝑎 ∖ (𝑎𝐸)) ⊆ (𝑎𝐸))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 ∖ (𝑎𝐸)) ⊆ (𝑎𝐸))
3530, 34sstrd 3903 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)) ⊆ (𝑎𝐸))
36 elinel1 4101 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑎𝐸) → 𝑥𝑎)
37 elinel2 4102 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑎𝐸) → 𝑥𝐸)
38 elndif 4035 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐸 → ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑆𝐸))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑎𝐸) → ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑆𝐸))
4036, 39eldifd 3870 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑎𝐸) → 𝑥 ∈ (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)))
4140ssriv 3897 . . . . . . 7 (𝑎𝐸) ⊆ (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸))
4241a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎𝐸) ⊆ (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)))
4335, 42eqssd 3910 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)) = (𝑎𝐸))
4443fveq2d 6660 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
4527, 44oveq12d 7166 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ( 𝑆𝐸))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)))) = ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))))
46 iccssxr 12852 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
471adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
4817ssdifssd 4049 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎𝐸) ⊆ dom 𝑂)
4947, 2, 48omecl 43498 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
5046, 49sseldi 3891 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
51 ssinss1 4143 . . . . . . . 8 (𝑎 dom 𝑂 → (𝑎𝐸) ⊆ dom 𝑂)
5216, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑎𝐸) ⊆ dom 𝑂)
5352adantl 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎𝐸) ⊆ dom 𝑂)
5447, 2, 53omecl 43498 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
5546, 54sseldi 3891 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
5650, 55xaddcomd 42314 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))))
57 caragendifcl.e . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑆)
581, 3caragenel 43490 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸𝑆 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂𝑎))))
5957, 58mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂𝑎)))
6059simprd 500 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂𝑎))
6160r19.21bi 3138 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂𝑎))
6245, 56, 613eqtrd 2798 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ( 𝑆𝐸))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)))) = (𝑂𝑎))
631, 2, 3, 15, 62carageneld 43497 1 (𝜑 → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  Vcvv 3410   ∖ cdif 3856   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  𝒫 cpw 4492  ∪ cuni 4796  dom cdm 5522  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148  0cc0 10565  +∞cpnf 10700  ℝ*cxr 10702   +𝑒 cxad 12536  [,]cicc 12772  OutMeascome 43484  CaraGenccaragen 43486 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-op 4527  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5428  df-po 5441  df-so 5442  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-xadd 12539  df-icc 12776  df-ome 43485  df-caragen 43487 This theorem is referenced by:  caragensal  43520
 Copyright terms: Public domain W3C validator