Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragendifcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragendifcl 44829
Description: The Caratheodory's construction is closed under the complement operation. Second part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragendifcl.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragendifcl.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caragendifcl.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
caragendifcl (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragendifcl
Dummy variables π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragendifcl.o . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2737 . 2 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
3 caragendifcl.s . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
43caragenss 44819 . . . . . 6 (𝑂 ∈ OutMeas β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝑂)
51, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝑂)
65unissd 4880 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
76ssdifssd 4107 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
83fvexi 6861 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
98uniex 7683 . . . . . 6 βˆͺ 𝑆 ∈ V
10 difexg 5289 . . . . . 6 (βˆͺ 𝑆 ∈ V β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ V)
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ V)
13 elpwg 4568 . . . 4 ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ V β†’ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
1412, 13syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
157, 14mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
16 elpwi 4572 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1716adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
181, 3caragenuni 44826 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ dom 𝑂)
1918eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ 𝑆)
2019adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ 𝑆)
2117, 20sseqtrd 3989 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
22 difin2 4256 . . . . . . 7 (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) = ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∩ π‘Ž))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) = ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∩ π‘Ž))
24 incom 4166 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∩ π‘Ž) = (π‘Ž ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))
2524a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∩ π‘Ž) = (π‘Ž ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)))
2623, 25eqtr2d 2778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)) = (π‘Ž βˆ– 𝐸))
2726fveq2d 6851 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)))
2821ssdifd 4105 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))
29 sscon 4103 . . . . . . . 8 ((π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) β†’ (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)) βŠ† (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)) βŠ† (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸)))
31 dfin4 4232 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∩ 𝐸) = (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸))
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) = (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸)))
33 eqimss2 4006 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∩ 𝐸) = (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸)) β†’ (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸)) βŠ† (π‘Ž ∩ 𝐸))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸)) βŠ† (π‘Ž ∩ 𝐸))
3530, 34sstrd 3959 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)) βŠ† (π‘Ž ∩ 𝐸))
36 elinel1 4160 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (π‘Ž ∩ 𝐸) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ž)
37 elinel2 4161 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (π‘Ž ∩ 𝐸) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
38 elndif 4093 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (π‘Ž ∩ 𝐸) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))
4036, 39eldifd 3926 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (π‘Ž ∩ 𝐸) β†’ π‘₯ ∈ (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)))
4140ssriv 3953 . . . . . . 7 (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))
4241a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)))
4335, 42eqssd 3966 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)) = (π‘Ž ∩ 𝐸))
4443fveq2d 6851 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)))
4527, 44oveq12d 7380 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)))) = ((π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸))))
46 iccssxr 13354 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
471adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
4817ssdifssd 4107 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
4947, 2, 48omecl 44818 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
5046, 49sselid 3947 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) ∈ ℝ*)
51 ssinss1 4202 . . . . . . . 8 (π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂 β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
5216, 51syl 17 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
5352adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
5447, 2, 53omecl 44818 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
5546, 54sselid 3947 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) ∈ ℝ*)
5650, 55xaddcomd 43632 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸))) = ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))))
57 caragendifcl.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
581, 3caragenel 44810 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ 𝑆 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))))
5957, 58mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)))
6059simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
6160r19.21bi 3237 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
6245, 56, 613eqtrd 2781 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
631, 2, 3, 15, 62carageneld 44817 1 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   +𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13274  OutMeascome 44804  CaraGenccaragen 44806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-xadd 13041  df-icc 13278  df-ome 44805  df-caragen 44807
This theorem is referenced by:  caragensal  44840
  Copyright terms: Public domain W3C validator