Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragendifcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragendifcl 45216
Description: The Caratheodory's construction is closed under the complement operation. Second part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragendifcl.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragendifcl.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caragendifcl.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
caragendifcl (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragendifcl
Dummy variables π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragendifcl.o . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2732 . 2 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
3 caragendifcl.s . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
43caragenss 45206 . . . . . 6 (𝑂 ∈ OutMeas β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝑂)
51, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝑂)
65unissd 4917 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
76ssdifssd 4141 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
83fvexi 6902 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
98uniex 7727 . . . . . 6 βˆͺ 𝑆 ∈ V
10 difexg 5326 . . . . . 6 (βˆͺ 𝑆 ∈ V β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ V)
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ V)
13 elpwg 4604 . . . 4 ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ V β†’ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
1412, 13syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
157, 14mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
16 elpwi 4608 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1716adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
181, 3caragenuni 45213 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ dom 𝑂)
1918eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ 𝑆)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ 𝑆)
2117, 20sseqtrd 4021 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
22 difin2 4290 . . . . . . 7 (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) = ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∩ π‘Ž))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) = ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∩ π‘Ž))
24 incom 4200 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∩ π‘Ž) = (π‘Ž ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))
2524a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∩ π‘Ž) = (π‘Ž ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)))
2623, 25eqtr2d 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)) = (π‘Ž βˆ– 𝐸))
2726fveq2d 6892 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)))
2821ssdifd 4139 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))
29 sscon 4137 . . . . . . . 8 ((π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) β†’ (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)) βŠ† (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)) βŠ† (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸)))
31 dfin4 4266 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∩ 𝐸) = (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸))
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) = (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸)))
33 eqimss2 4040 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∩ 𝐸) = (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸)) β†’ (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸)) βŠ† (π‘Ž ∩ 𝐸))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– (π‘Ž βˆ– 𝐸)) βŠ† (π‘Ž ∩ 𝐸))
3530, 34sstrd 3991 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)) βŠ† (π‘Ž ∩ 𝐸))
36 elinel1 4194 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (π‘Ž ∩ 𝐸) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ž)
37 elinel2 4195 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (π‘Ž ∩ 𝐸) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
38 elndif 4127 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (π‘Ž ∩ 𝐸) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))
4036, 39eldifd 3958 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (π‘Ž ∩ 𝐸) β†’ π‘₯ ∈ (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)))
4140ssriv 3985 . . . . . . 7 (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))
4241a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)))
4335, 42eqssd 3998 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)) = (π‘Ž ∩ 𝐸))
4443fveq2d 6892 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)))
4527, 44oveq12d 7423 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)))) = ((π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸))))
46 iccssxr 13403 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
471adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
4817ssdifssd 4141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
4947, 2, 48omecl 45205 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
5046, 49sselid 3979 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) ∈ ℝ*)
51 ssinss1 4236 . . . . . . . 8 (π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂 β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
5216, 51syl 17 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
5352adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
5447, 2, 53omecl 45205 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
5546, 54sselid 3979 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) ∈ ℝ*)
5650, 55xaddcomd 44020 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸))) = ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))))
57 caragendifcl.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
581, 3caragenel 45197 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ 𝑆 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))))
5957, 58mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)))
6059simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
6160r19.21bi 3248 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
6245, 56, 613eqtrd 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸)))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
631, 2, 3, 15, 62carageneld 45204 1 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝐸) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  dom cdm 5675  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   +𝑒 cxad 13086  [,]cicc 13323  OutMeascome 45191  CaraGenccaragen 45193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-xadd 13089  df-icc 13327  df-ome 45192  df-caragen 45194
This theorem is referenced by:  caragensal  45227
  Copyright terms: Public domain W3C validator