Theorem carageniuncl 46444

Description: The Caratheodory's construction is closed under indexed countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carageniuncl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
carageniuncl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
carageniuncl.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
carageniuncl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
carageniuncl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
carageniuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑂   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem carageniuncl

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carageniuncl.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2740	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		carageniuncl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		carageniuncl.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
5	4	ffvelcdmda 7118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)
6		elssuni 4961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆 → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
8	1, 3	caragenuni 46432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)
10	7, 9	sseqtrd 4049	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
11	10	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
12		iunss 5068	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
13	11, 12	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
14		carageniuncl.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
15	14	fvexi 6934	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
16		fvex 6933	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑛) ∈ V
17	15, 16	iunex 8009	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V)
19		elpwg 4625	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V → (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂))
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂))
21	13, 20	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
22		iccssxr 13490	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
23	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
24		elpwi 4629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
25		ssinss1 4267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂 → (𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → (𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
27	26	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
28	23, 2, 27	omecl 46424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
29	22, 28	sselid 4006	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ ℝ*)
30	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
31	30	ssdifssd 4170	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
32	23, 2, 31	omecl 46424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
33	22, 32	sselid 4006	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ ℝ*)
34	29, 33	xaddcld 13363	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ*)
35	23, 2, 30	omecl 46424	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
36	22, 35	sselid 4006	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
37		pnfge 13193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ* → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ +∞)
38	34, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ +∞)
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ +∞)
40		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘𝑎) = +∞ → (𝑂‘𝑎) = +∞)
41	40	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝑎) = +∞ → +∞ = (𝑂‘𝑎))
42	41	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) = +∞) → +∞ = (𝑂‘𝑎))
43	39, 42	breqtrd 5192	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
44		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂))
45		rge0ssre 13516	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
46		0xr 11337	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
48		pnfxr 11344	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
50	44, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
51	40	necon3bi 2973	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑂‘𝑎) = +∞ → (𝑂‘𝑎) ≠ +∞)
52	51	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ≠ +∞)
53	47, 49, 50, 52	eliccelicod 45448	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,)+∞))
54	45, 53	sselid 4006	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ)
55	23	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑂 ∈ OutMeas)
56	30	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
57		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ)
59		carageniuncl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
60	59	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
61	4	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
62		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
63		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸‘𝑖)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸‘𝑖))
64		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐸‘𝑚) = (𝐸‘𝑛))
65		oveq2 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑀..^𝑚) = (𝑀..^𝑛))
66	65	iuneq1d 5042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸‘𝑖))
67	64, 66	difeq12d 4150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
68	67	cbvmptv 5279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸‘𝑖))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
69	55, 3, 2, 56, 58, 60, 14, 61, 62, 63, 68	carageniuncllem2 46443	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥))
70	69	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥))
71	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ*)
72		xralrple 13267	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → (((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥)))
73	71, 57, 72	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → (((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥)))
74	70, 73	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
75	44, 54, 74	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
76	43, 75	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
77	23, 2, 30	omelesplit 46439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ≤ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))))
78	34, 36, 76, 77	xrletrid 13217	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) = (𝑂‘𝑎))
79	1, 2, 3, 21, 78	carageneld 46423	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  ∪ ciun 5015   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057   +_𝑒 cxad 13173  [,)cico 13409  [,]cicc 13410  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  OutMeascome 46410  CaraGenccaragen 46412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-sumge0 46284  df-ome 46411  df-caragen 46413

This theorem is referenced by:  caragenunicl  46445