Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carageniuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carageniuncl 46479
Description: The Caratheodory's construction is closed under indexed countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carageniuncl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
carageniuncl.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
carageniuncl.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
carageniuncl.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
carageniuncl.e (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
Assertion
Ref Expression
carageniuncl (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑂   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem carageniuncl
Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carageniuncl.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2735 . 2 dom 𝑂 = dom 𝑂
3 carageniuncl.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 carageniuncl.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
54ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝑆)
6 elssuni 4942 . . . . . . 7 ((𝐸𝑛) ∈ 𝑆 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑆)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑆)
81, 3caragenuni 46467 . . . . . . 7 (𝜑 𝑆 = dom 𝑂)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 = dom 𝑂)
107, 9sseqtrd 4036 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂)
1110ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂)
12 iunss 5050 . . . 4 ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂)
1311, 12sylibr 234 . . 3 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂)
14 carageniuncl.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
1514fvexi 6921 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
16 fvex 6920 . . . . . 6 (𝐸𝑛) ∈ V
1715, 16iunex 7992 . . . . 5 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V)
19 elpwg 4608 . . . 4 ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V → ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂))
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂))
2113, 20mpbird 257 . 2 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 dom 𝑂)
22 iccssxr 13467 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
231adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
24 elpwi 4612 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑎 dom 𝑂)
25 ssinss1 4254 . . . . . . . 8 (𝑎 dom 𝑂 → (𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ dom 𝑂)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ dom 𝑂)
2726adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ dom 𝑂)
2823, 2, 27omecl 46459 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
2922, 28sselid 3993 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ*)
3024adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑎 dom 𝑂)
3130ssdifssd 4157 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ dom 𝑂)
3223, 2, 31omecl 46459 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
3322, 32sselid 3993 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ*)
3429, 33xaddcld 13340 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
3523, 2, 30omecl 46459 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,]+∞))
3622, 35sselid 3993 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ*)
37 pnfge 13170 . . . . . . 7 (((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ∈ ℝ* → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ +∞)
3834, 37syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ +∞)
3938adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ +∞)
40 id 22 . . . . . . 7 ((𝑂𝑎) = +∞ → (𝑂𝑎) = +∞)
4140eqcomd 2741 . . . . . 6 ((𝑂𝑎) = +∞ → +∞ = (𝑂𝑎))
4241adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) = +∞) → +∞ = (𝑂𝑎))
4339, 42breqtrd 5174 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (𝑂𝑎))
44 simpl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → (𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂))
45 rge0ssre 13493 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
46 0xr 11306 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
48 pnfxr 11313 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
4948a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
5044, 35syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,]+∞))
5140necon3bi 2965 . . . . . . . 8 (¬ (𝑂𝑎) = +∞ → (𝑂𝑎) ≠ +∞)
5251adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → (𝑂𝑎) ≠ +∞)
5347, 49, 50, 52eliccelicod 45483 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,)+∞))
5445, 53sselid 3993 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ)
5523ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑂 ∈ OutMeas)
5630ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑎 dom 𝑂)
57 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ)
5857adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ)
59 carageniuncl.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6059ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
614ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐸:𝑍𝑆)
62 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
63 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖)) = (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖))
64 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝐸𝑚) = (𝐸𝑛))
65 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑀..^𝑚) = (𝑀..^𝑛))
6665iuneq1d 5024 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖))
6764, 66difeq12d 4137 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖)))
6867cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸𝑖))) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖)))
6955, 3, 2, 56, 58, 60, 14, 61, 62, 63, 68carageniuncllem2 46478 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝑎) + 𝑥))
7069ralrimiva 3144 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝑎) + 𝑥))
7134adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
72 xralrple 13244 . . . . . . 7 ((((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) → (((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (𝑂𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝑎) + 𝑥)))
7371, 57, 72syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) → (((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (𝑂𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝑎) + 𝑥)))
7470, 73mpbird 257 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (𝑂𝑎))
7544, 54, 74syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (𝑂𝑎))
7643, 75pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (𝑂𝑎))
7723, 2, 30omelesplit 46474 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂𝑎) ≤ ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
7834, 36, 76, 77xrletrid 13194 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) = (𝑂𝑎))
791, 2, 3, 21, 78carageneld 46458 1 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   ciun 4996   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  *cxr 11292  cle 11294  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032   +𝑒 cxad 13150  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  OutMeascome 46445  CaraGenccaragen 46447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319  df-ome 46446  df-caragen 46448
This theorem is referenced by:  caragenunicl  46480
  Copyright terms: Public domain W3C validator