Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carageniuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carageniuncl 44838
Description: The Caratheodory's construction is closed under indexed countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carageniuncl.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
carageniuncl.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
carageniuncl.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
carageniuncl.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
carageniuncl.e (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘βŸΆπ‘†)
Assertion
Ref Expression
carageniuncl (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑂   𝑛,𝑍   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem carageniuncl
Dummy variables π‘Ž 𝑖 π‘₯ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carageniuncl.o . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2737 . 2 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
3 carageniuncl.s . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
4 carageniuncl.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘βŸΆπ‘†)
54ffvelcdmda 7040 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
6 elssuni 4903 . . . . . . 7 ((πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝑆 β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑆)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑆)
81, 3caragenuni 44826 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ dom 𝑂)
98adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ dom 𝑂)
107, 9sseqtrd 3989 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1110ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
12 iunss 5010 . . . 4 (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1311, 12sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
14 carageniuncl.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
1514fvexi 6861 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
16 fvex 6860 . . . . . 6 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V
1715, 16iunex 7906 . . . . 5 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V
1817a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V)
19 elpwg 4568 . . . 4 (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V β†’ (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
2018, 19syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
2113, 20mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
22 iccssxr 13354 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
231adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
24 elpwi 4572 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
25 ssinss1 4202 . . . . . . . 8 (π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂 β†’ (π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ (π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
2726adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
2823, 2, 27omecl 44818 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) ∈ (0[,]+∞))
2922, 28sselid 3947 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) ∈ ℝ*)
3024adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
3130ssdifssd 4107 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
3223, 2, 31omecl 44818 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) ∈ (0[,]+∞))
3322, 32sselid 3947 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) ∈ ℝ*)
3429, 33xaddcld 13227 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
3523, 2, 30omecl 44818 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
3622, 35sselid 3947 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
37 pnfge 13058 . . . . . . 7 (((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ* β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ +∞)
3834, 37syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ +∞)
3938adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ +∞)
40 id 22 . . . . . . 7 ((π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞ β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞)
4140eqcomd 2743 . . . . . 6 ((π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞ β†’ +∞ = (π‘‚β€˜π‘Ž))
4241adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ +∞ = (π‘‚β€˜π‘Ž))
4339, 42breqtrd 5136 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
44 simpl 484 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂))
45 rge0ssre 13380 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
46 0xr 11209 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ 0 ∈ ℝ*)
48 pnfxr 11216 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
4948a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
5044, 35syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
5140necon3bi 2971 . . . . . . . 8 (Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞ β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) β‰  +∞)
5251adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) β‰  +∞)
5347, 49, 50, 52eliccelicod 43842 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ (0[,)+∞))
5445, 53sselid 3947 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
5523ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
5630ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
57 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
5857adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
59 carageniuncl.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6059ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
614ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐸:π‘βŸΆπ‘†)
62 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
63 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(πΈβ€˜π‘–)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(πΈβ€˜π‘–))
64 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (πΈβ€˜π‘š) = (πΈβ€˜π‘›))
65 oveq2 7370 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑀..^π‘š) = (𝑀..^𝑛))
6665iuneq1d 4986 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀..^π‘š)(πΈβ€˜π‘–) = βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(πΈβ€˜π‘–))
6764, 66difeq12d 4088 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΈβ€˜π‘š) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀..^π‘š)(πΈβ€˜π‘–)) = ((πΈβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(πΈβ€˜π‘–)))
6867cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΈβ€˜π‘š) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀..^π‘š)(πΈβ€˜π‘–))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΈβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(πΈβ€˜π‘–)))
6955, 3, 2, 56, 58, 60, 14, 61, 62, 63, 68carageniuncllem2 44837 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ ((π‘‚β€˜π‘Ž) + π‘₯))
7069ralrimiva 3144 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ ((π‘‚β€˜π‘Ž) + π‘₯))
7134adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
72 xralrple 13131 . . . . . . 7 ((((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ (((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ ((π‘‚β€˜π‘Ž) + π‘₯)))
7371, 57, 72syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ (((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ ((π‘‚β€˜π‘Ž) + π‘₯)))
7470, 73mpbird 257 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
7544, 54, 74syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
7643, 75pm2.61dan 812 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
7723, 2, 30omelesplit 44833 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ≀ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))))
7834, 36, 76, 77xrletrid 13081 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
791, 2, 3, 21, 78carageneld 44817 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922   +𝑒 cxad 13038  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  OutMeascome 44804  CaraGenccaragen 44806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-sumge0 44678  df-ome 44805  df-caragen 44807
This theorem is referenced by:  caragenunicl  44839
  Copyright terms: Public domain W3C validator