Theorem carageniuncl 47102

Description: The Caratheodory's construction is closed under indexed countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carageniuncl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
carageniuncl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
carageniuncl.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
carageniuncl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
carageniuncl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
carageniuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑂   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem carageniuncl

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carageniuncl.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2764	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		carageniuncl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		carageniuncl.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
5	4	ffvelcdmda 7067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)
6		elssuni 4899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆 → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
8	1, 3	caragenuni 47090	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)
9	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)
10	7, 9	sseqtrd 3974	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
11	10	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
12		iunss 5004	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
13	11, 12	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
14		carageniuncl.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
15	14	fvexi 6883	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
16		fvex 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑛) ∈ V
17	15, 16	iunex 7951	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V)
19		elpwg 4560	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V → (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂))
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂))
21	13, 20	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
22		iccssxr 13436	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
23	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
24		elpwi 4564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
25		ssinss1 4199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂 → (𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → (𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
27	26	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
28	23, 2, 27	omecl 47082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
29	22, 28	sselid 3936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ ℝ*)
30	24	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
31	30	ssdifssd 4102	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
32	23, 2, 31	omecl 47082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
33	22, 32	sselid 3936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ ℝ*)
34	29, 33	xaddcld 13306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ*)
35	23, 2, 30	omecl 47082	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
36	22, 35	sselid 3936	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
37		pnfge 13134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ* → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ +∞)
38	34, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ +∞)
39	38	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ +∞)
40		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘𝑎) = +∞ → (𝑂‘𝑎) = +∞)
41	40	eqcomd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝑎) = +∞ → +∞ = (𝑂‘𝑎))
42	41	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) = +∞) → +∞ = (𝑂‘𝑎))
43	39, 42	breqtrd 5128	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
44		simpl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂))
45		rge0ssre 13462	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
46		0xr 11231	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
48		pnfxr 11238	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
50	44, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
51	40	necon3bi 2985	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑂‘𝑎) = +∞ → (𝑂‘𝑎) ≠ +∞)
52	51	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ≠ +∞)
53	47, 49, 50, 52	eliccelicod 46111	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,)+∞))
54	45, 53	sselid 3936	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ)
55	23	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑂 ∈ OutMeas)
56	30	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
57		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ)
58	57	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ)
59		carageniuncl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
60	59	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
61	4	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
62		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
63		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸‘𝑖)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸‘𝑖))
64		fveq2 6869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐸‘𝑚) = (𝐸‘𝑛))
65		oveq2 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑀..^𝑚) = (𝑀..^𝑛))
66	65	iuneq1d 4979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸‘𝑖))
67	64, 66	difeq12d 4083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
68	67	cbvmptv 5206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸‘𝑖))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
69	55, 3, 2, 56, 58, 60, 14, 61, 62, 63, 68	carageniuncllem2 47101	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥))
70	69	ralrimiva 3156	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥))
71	34	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ*)
72		xralrple 13210	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → (((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥)))
73	71, 57, 72	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → (((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥)))
74	70, 73	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
75	44, 54, 74	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
76	43, 75	pm2.61dan 822	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
77	23, 2, 30	omelesplit 47097	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ≤ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))))
78	34, 36, 76, 77	xrletrid 13159	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) = (𝑂‘𝑎))
79	1, 2, 3, 21, 78	carageneld 47081	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  Vcvv 3456   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5649  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078  +∞cpnf 11215  ℝ^*cxr 11217   ≤ cle 11219  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ℝ⁺crp 12995   +_𝑒 cxad 13114  [,)cico 13353  [,]cicc 13354  ...cfz 13514  ..^cfzo 13661  OutMeascome 47068  CaraGenccaragen 47070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-ac2 10422  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-omul 8444  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10074  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xadd 13117  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-sum 15716  df-sumge0 46942  df-ome 47069  df-caragen 47071

This theorem is referenced by:  caragenunicl  47103