Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carageniuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carageniuncl 45324
Description: The Caratheodory's construction is closed under indexed countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carageniuncl.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
carageniuncl.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
carageniuncl.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
carageniuncl.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
carageniuncl.e (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘βŸΆπ‘†)
Assertion
Ref Expression
carageniuncl (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑂   𝑛,𝑍   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem carageniuncl
Dummy variables π‘Ž 𝑖 π‘₯ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carageniuncl.o . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2732 . 2 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
3 carageniuncl.s . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
4 carageniuncl.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘βŸΆπ‘†)
54ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
6 elssuni 4941 . . . . . . 7 ((πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝑆 β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑆)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑆)
81, 3caragenuni 45312 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ dom 𝑂)
98adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ dom 𝑂)
107, 9sseqtrd 4022 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1110ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
12 iunss 5048 . . . 4 (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1311, 12sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
14 carageniuncl.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
1514fvexi 6905 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
16 fvex 6904 . . . . . 6 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V
1715, 16iunex 7957 . . . . 5 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V
1817a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V)
19 elpwg 4605 . . . 4 (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V β†’ (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
2018, 19syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
2113, 20mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
22 iccssxr 13409 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
231adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
24 elpwi 4609 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
25 ssinss1 4237 . . . . . . . 8 (π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂 β†’ (π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ (π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
2726adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
2823, 2, 27omecl 45304 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) ∈ (0[,]+∞))
2922, 28sselid 3980 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) ∈ ℝ*)
3024adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
3130ssdifssd 4142 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
3223, 2, 31omecl 45304 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) ∈ (0[,]+∞))
3322, 32sselid 3980 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) ∈ ℝ*)
3429, 33xaddcld 13282 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
3523, 2, 30omecl 45304 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
3622, 35sselid 3980 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
37 pnfge 13112 . . . . . . 7 (((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ* β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ +∞)
3834, 37syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ +∞)
3938adantr 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ +∞)
40 id 22 . . . . . . 7 ((π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞ β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞)
4140eqcomd 2738 . . . . . 6 ((π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞ β†’ +∞ = (π‘‚β€˜π‘Ž))
4241adantl 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ +∞ = (π‘‚β€˜π‘Ž))
4339, 42breqtrd 5174 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
44 simpl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂))
45 rge0ssre 13435 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
46 0xr 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ 0 ∈ ℝ*)
48 pnfxr 11270 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
4948a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
5044, 35syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
5140necon3bi 2967 . . . . . . . 8 (Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞ β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) β‰  +∞)
5251adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) β‰  +∞)
5347, 49, 50, 52eliccelicod 44328 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ (0[,)+∞))
5445, 53sselid 3980 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
5523ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
5630ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
57 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
5857adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
59 carageniuncl.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6059ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
614ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐸:π‘βŸΆπ‘†)
62 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
63 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(πΈβ€˜π‘–)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(πΈβ€˜π‘–))
64 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (πΈβ€˜π‘š) = (πΈβ€˜π‘›))
65 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑀..^π‘š) = (𝑀..^𝑛))
6665iuneq1d 5024 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀..^π‘š)(πΈβ€˜π‘–) = βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(πΈβ€˜π‘–))
6764, 66difeq12d 4123 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΈβ€˜π‘š) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀..^π‘š)(πΈβ€˜π‘–)) = ((πΈβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(πΈβ€˜π‘–)))
6867cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΈβ€˜π‘š) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀..^π‘š)(πΈβ€˜π‘–))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΈβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(πΈβ€˜π‘–)))
6955, 3, 2, 56, 58, 60, 14, 61, 62, 63, 68carageniuncllem2 45323 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ ((π‘‚β€˜π‘Ž) + π‘₯))
7069ralrimiva 3146 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ ((π‘‚β€˜π‘Ž) + π‘₯))
7134adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
72 xralrple 13186 . . . . . . 7 ((((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ (((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ ((π‘‚β€˜π‘Ž) + π‘₯)))
7371, 57, 72syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ (((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ ((π‘‚β€˜π‘Ž) + π‘₯)))
7470, 73mpbird 256 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
7544, 54, 74syl2anc 584 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ Β¬ (π‘‚β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
7643, 75pm2.61dan 811 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
7723, 2, 30omelesplit 45319 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ≀ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))))
7834, 36, 76, 77xrletrid 13136 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
791, 2, 3, 21, 78carageneld 45303 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   ≀ cle 11251  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976   +𝑒 cxad 13092  [,)cico 13328  [,]cicc 13329  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  OutMeascome 45290  CaraGenccaragen 45292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xadd 13095  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-sumge0 45164  df-ome 45291  df-caragen 45293
This theorem is referenced by:  caragenunicl  45325
  Copyright terms: Public domain W3C validator