Theorem carageniuncl 46620

Description: The Caratheodory's construction is closed under indexed countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carageniuncl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
carageniuncl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
carageniuncl.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
carageniuncl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
carageniuncl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
carageniuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑂   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem carageniuncl

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carageniuncl.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2731	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		carageniuncl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		carageniuncl.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
5	4	ffvelcdmda 7017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)
6		elssuni 4887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆 → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
8	1, 3	caragenuni 46608	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)
10	7, 9	sseqtrd 3966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
11	10	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
12		iunss 4992	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
13	11, 12	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
14		carageniuncl.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
15	14	fvexi 6836	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
16		fvex 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑛) ∈ V
17	15, 16	iunex 7900	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V)
19		elpwg 4550	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V → (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂))
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂))
21	13, 20	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
22		iccssxr 13330	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
23	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
24		elpwi 4554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
25		ssinss1 4193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂 → (𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → (𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
27	26	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
28	23, 2, 27	omecl 46600	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
29	22, 28	sselid 3927	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ ℝ*)
30	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
31	30	ssdifssd 4094	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
32	23, 2, 31	omecl 46600	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
33	22, 32	sselid 3927	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ ℝ*)
34	29, 33	xaddcld 13200	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ*)
35	23, 2, 30	omecl 46600	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
36	22, 35	sselid 3927	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
37		pnfge 13029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ* → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ +∞)
38	34, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ +∞)
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ +∞)
40		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘𝑎) = +∞ → (𝑂‘𝑎) = +∞)
41	40	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝑎) = +∞ → +∞ = (𝑂‘𝑎))
42	41	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) = +∞) → +∞ = (𝑂‘𝑎))
43	39, 42	breqtrd 5115	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
44		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂))
45		rge0ssre 13356	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
46		0xr 11159	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
48		pnfxr 11166	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
50	44, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
51	40	necon3bi 2954	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑂‘𝑎) = +∞ → (𝑂‘𝑎) ≠ +∞)
52	51	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ≠ +∞)
53	47, 49, 50, 52	eliccelicod 45629	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,)+∞))
54	45, 53	sselid 3927	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ)
55	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑂 ∈ OutMeas)
56	30	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
57		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ)
59		carageniuncl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
60	59	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
61	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
62		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
63		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸‘𝑖)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸‘𝑖))
64		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐸‘𝑚) = (𝐸‘𝑛))
65		oveq2 7354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑀..^𝑚) = (𝑀..^𝑛))
66	65	iuneq1d 4967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸‘𝑖))
67	64, 66	difeq12d 4074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
68	67	cbvmptv 5193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸‘𝑖))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
69	55, 3, 2, 56, 58, 60, 14, 61, 62, 63, 68	carageniuncllem2 46619	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥))
70	69	ralrimiva 3124	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥))
71	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ*)
72		xralrple 13104	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → (((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥)))
73	71, 57, 72	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → (((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥)))
74	70, 73	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
75	44, 54, 74	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
76	43, 75	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
77	23, 2, 30	omelesplit 46615	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ≤ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))))
78	34, 36, 76, 77	xrletrid 13054	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) = (𝑂‘𝑎))
79	1, 2, 3, 21, 78	carageneld 46599	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547  ∪ cuni 4856  ∪ ciun 4939   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  dom cdm 5614  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006   + caddc 11009  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ℝ⁺crp 12890   +_𝑒 cxad 13009  [,)cico 13247  [,]cicc 13248  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  OutMeascome 46586  CaraGenccaragen 46588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-acn 9835  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xadd 13012  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-sumge0 46460  df-ome 46587  df-caragen 46589

This theorem is referenced by:  caragenunicl  46621