Theorem caragenuncl 45963

Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenuncl.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncl.2	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenuncl.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
caragenuncl.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
caragenuncl	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenuncl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenuncl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2725	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		caragenuncl.2	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		caragenuncl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
5	1, 3, 4, 2	caragenelss 45951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ dom 𝑂)
6		caragenuncl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
7	1, 3, 6, 2	caragenelss 45951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ ∪ dom 𝑂)
8	5, 7	unssd 4180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂)
9	1, 2	unidmex 44478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
10		ssexg 5318	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂 ∧ ∪ dom 𝑂 ∈ V) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
11	8, 9, 10	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
12		elpwg 4601	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V → ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂))
14	8, 13	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
15	1	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
16	4	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝐸 ∈ 𝑆)
17	6	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝐹 ∈ 𝑆)
18		elpwi 4605	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
19	18	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
20	15, 3, 16, 17, 2, 19	caragenuncllem 45962	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ (𝐸 ∪ 𝐹)))) = (𝑂‘𝑎))
21	1, 2, 3, 14, 20	carageneld 45952	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∪ cun 3938   ⊆ wss 3940  𝒫 cpw 4598  ∪ cuni 4903  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  OutMeascome 45939  CaraGenccaragen 45941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-addass 11201  ax-i2m1 11204  ax-rnegex 11207  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-xadd 13123  df-icc 13361  df-ome 45940  df-caragen 45942

This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  45965