Theorem caragenuncl 46504

Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenuncl.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncl.2	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenuncl.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
caragenuncl.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
caragenuncl	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenuncl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenuncl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		caragenuncl.2	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		caragenuncl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
5	1, 3, 4, 2	caragenelss 46492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ dom 𝑂)
6		caragenuncl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
7	1, 3, 6, 2	caragenelss 46492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ ∪ dom 𝑂)
8	5, 7	unssd 4151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂)
9	1, 2	unidmex 45037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
10		ssexg 5273	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂 ∧ ∪ dom 𝑂 ∈ V) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
12		elpwg 4562	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V → ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂))
14	8, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
15	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
16	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝐸 ∈ 𝑆)
17	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝐹 ∈ 𝑆)
18		elpwi 4566	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
20	15, 3, 16, 17, 2, 19	caragenuncllem 46503	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ (𝐸 ∪ 𝐹)))) = (𝑂‘𝑎))
21	1, 2, 3, 14, 20	carageneld 46493	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559  ∪ cuni 4867  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  OutMeascome 46480  CaraGenccaragen 46482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-addass 11109  ax-i2m1 11112  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-xadd 13049  df-icc 13289  df-ome 46481  df-caragen 46483

This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  46506