Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenuncl 44828
Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncl.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncl.2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caragenuncl.3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
caragenuncl.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
caragenuncl (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenuncl
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragenuncl.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2737 . 2 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
3 caragenuncl.2 . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
4 caragenuncl.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
51, 3, 4, 2caragenelss 44816 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
6 caragenuncl.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
71, 3, 6, 2caragenelss 44816 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
85, 7unssd 4151 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
91, 2unidmex 43332 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 ∈ V)
10 ssexg 5285 . . . . 5 (((𝐸 βˆͺ 𝐹) βŠ† βˆͺ dom 𝑂 ∧ βˆͺ dom 𝑂 ∈ V) β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ V)
118, 9, 10syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ V)
12 elpwg 4568 . . . 4 ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ V β†’ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ (𝐸 βˆͺ 𝐹) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
1311, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ (𝐸 βˆͺ 𝐹) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
148, 13mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
151adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
164adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
176adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
18 elpwi 4572 . . . 4 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1918adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
2015, 3, 16, 17, 2, 19caragenuncllem 44827 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹)))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
211, 2, 3, 14, 20carageneld 44817 1 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  OutMeascome 44804  CaraGenccaragen 44806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-addass 11123  ax-i2m1 11126  ax-rnegex 11129  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-xadd 13041  df-icc 13278  df-ome 44805  df-caragen 44807
This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  44830
  Copyright terms: Public domain W3C validator