Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenuncl 42672
Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncl.1 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncl.2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenuncl.3 (𝜑𝐸𝑆)
caragenuncl.4 (𝜑𝐹𝑆)
Assertion
Ref Expression
caragenuncl (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenuncl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragenuncl.1 . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2818 . 2 dom 𝑂 = dom 𝑂
3 caragenuncl.2 . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 caragenuncl.3 . . . . 5 (𝜑𝐸𝑆)
51, 3, 4, 2caragenelss 42660 . . . 4 (𝜑𝐸 dom 𝑂)
6 caragenuncl.4 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑆)
71, 3, 6, 2caragenelss 42660 . . . 4 (𝜑𝐹 dom 𝑂)
85, 7unssd 4159 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐹) ⊆ dom 𝑂)
91, 2unidmex 41189 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑂 ∈ V)
10 ssexg 5218 . . . . 5 (((𝐸𝐹) ⊆ dom 𝑂 dom 𝑂 ∈ V) → (𝐸𝐹) ∈ V)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ V)
12 elpwg 4541 . . . 4 ((𝐸𝐹) ∈ V → ((𝐸𝐹) ∈ 𝒫 dom 𝑂 ↔ (𝐸𝐹) ⊆ dom 𝑂))
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝐹) ∈ 𝒫 dom 𝑂 ↔ (𝐸𝐹) ⊆ dom 𝑂))
148, 13mpbird 258 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ 𝒫 dom 𝑂)
151adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
164adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝐸𝑆)
176adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝐹𝑆)
18 elpwi 4547 . . . 4 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑎 dom 𝑂)
1918adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑎 dom 𝑂)
2015, 3, 16, 17, 2, 19caragenuncllem 42671 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ (𝐸𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ (𝐸𝐹)))) = (𝑂𝑎))
211, 2, 3, 14, 20carageneld 42661 1 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cun 3931  wss 3933  𝒫 cpw 4535   cuni 4830  dom cdm 5548  cfv 6348  OutMeascome 42648  CaraGenccaragen 42650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-addass 10590  ax-i2m1 10593  ax-rnegex 10596  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-xadd 12496  df-icc 12733  df-ome 42649  df-caragen 42651
This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  42674
  Copyright terms: Public domain W3C validator