Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenuncl 45814
Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncl.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncl.2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caragenuncl.3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
caragenuncl.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
caragenuncl (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenuncl
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragenuncl.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2727 . 2 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
3 caragenuncl.2 . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
4 caragenuncl.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
51, 3, 4, 2caragenelss 45802 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
6 caragenuncl.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
71, 3, 6, 2caragenelss 45802 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
85, 7unssd 4182 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
91, 2unidmex 44327 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 ∈ V)
10 ssexg 5317 . . . . 5 (((𝐸 βˆͺ 𝐹) βŠ† βˆͺ dom 𝑂 ∧ βˆͺ dom 𝑂 ∈ V) β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ V)
118, 9, 10syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ V)
12 elpwg 4601 . . . 4 ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ V β†’ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ (𝐸 βˆͺ 𝐹) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
1311, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ (𝐸 βˆͺ 𝐹) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
148, 13mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
151adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
164adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
176adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
18 elpwi 4605 . . . 4 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1918adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
2015, 3, 16, 17, 2, 19caragenuncllem 45813 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹)))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
211, 2, 3, 14, 20carageneld 45803 1 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598  βˆͺ cuni 4903  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  OutMeascome 45790  CaraGenccaragen 45792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-addass 11189  ax-i2m1 11192  ax-rnegex 11195  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-xadd 13111  df-icc 13349  df-ome 45791  df-caragen 45793
This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  45816
  Copyright terms: Public domain W3C validator