Theorem caragenuncl 43152

Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenuncl.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncl.2	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenuncl.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
caragenuncl.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
caragenuncl	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenuncl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenuncl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2798	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		caragenuncl.2	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		caragenuncl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
5	1, 3, 4, 2	caragenelss 43140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ dom 𝑂)
6		caragenuncl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
7	1, 3, 6, 2	caragenelss 43140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ ∪ dom 𝑂)
8	5, 7	unssd 4113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂)
9	1, 2	unidmex 41684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
10		ssexg 5191	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂 ∧ ∪ dom 𝑂 ∈ V) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
11	8, 9, 10	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
12		elpwg 4500	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V → ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂))
14	8, 13	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
15	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
16	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝐸 ∈ 𝑆)
17	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝐹 ∈ 𝑆)
18		elpwi 4506	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
19	18	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
20	15, 3, 16, 17, 2, 19	caragenuncllem 43151	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ (𝐸 ∪ 𝐹)))) = (𝑂‘𝑎))
21	1, 2, 3, 14, 20	carageneld 43141	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4800  dom cdm 5519  ‘cfv 6324  OutMeascome 43128  CaraGenccaragen 43130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-addass 10591  ax-i2m1 10594  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-xadd 12496  df-icc 12733  df-ome 43129  df-caragen 43131

This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  43154