Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenuncl 45215
Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncl.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncl.2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caragenuncl.3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
caragenuncl.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
caragenuncl (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenuncl
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragenuncl.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2732 . 2 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
3 caragenuncl.2 . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
4 caragenuncl.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
51, 3, 4, 2caragenelss 45203 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
6 caragenuncl.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
71, 3, 6, 2caragenelss 45203 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
85, 7unssd 4185 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
91, 2unidmex 43722 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 ∈ V)
10 ssexg 5322 . . . . 5 (((𝐸 βˆͺ 𝐹) βŠ† βˆͺ dom 𝑂 ∧ βˆͺ dom 𝑂 ∈ V) β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ V)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ V)
12 elpwg 4604 . . . 4 ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ V β†’ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ (𝐸 βˆͺ 𝐹) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
1311, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ (𝐸 βˆͺ 𝐹) βŠ† βˆͺ dom 𝑂))
148, 13mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
151adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
164adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
176adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
18 elpwi 4608 . . . 4 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1918adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
2015, 3, 16, 17, 2, 19caragenuncllem 45214 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹)))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
211, 2, 3, 14, 20carageneld 45204 1 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆͺ 𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  dom cdm 5675  β€˜cfv 6540  OutMeascome 45191  CaraGenccaragen 45193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-addass 11171  ax-i2m1 11174  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-xadd 13089  df-icc 13327  df-ome 45192  df-caragen 45194
This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  45217
  Copyright terms: Public domain W3C validator