Theorem caragenuncl 46753

Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenuncl.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncl.2	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenuncl.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
caragenuncl.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
caragenuncl	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenuncl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenuncl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		caragenuncl.2	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		caragenuncl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
5	1, 3, 4, 2	caragenelss 46741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ dom 𝑂)
6		caragenuncl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
7	1, 3, 6, 2	caragenelss 46741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ ∪ dom 𝑂)
8	5, 7	unssd 4144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂)
9	1, 2	unidmex 45291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
10		ssexg 5268	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂 ∧ ∪ dom 𝑂 ∈ V) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
12		elpwg 4557	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V → ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂))
14	8, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
15	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
16	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝐸 ∈ 𝑆)
17	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝐹 ∈ 𝑆)
18		elpwi 4561	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
20	15, 3, 16, 17, 2, 19	caragenuncllem 46752	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ (𝐸 ∪ 𝐹)))) = (𝑂‘𝑎))
21	1, 2, 3, 14, 20	carageneld 46742	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  ∪ cuni 4863  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  OutMeascome 46729  CaraGenccaragen 46731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-addass 11091  ax-i2m1 11094  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-xadd 13027  df-icc 13268  df-ome 46730  df-caragen 46732

This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  46755