Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenuncl 46528
Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncl.1 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncl.2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenuncl.3 (𝜑𝐸𝑆)
caragenuncl.4 (𝜑𝐹𝑆)
Assertion
Ref Expression
caragenuncl (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenuncl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragenuncl.1 . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2737 . 2 dom 𝑂 = dom 𝑂
3 caragenuncl.2 . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 caragenuncl.3 . . . . 5 (𝜑𝐸𝑆)
51, 3, 4, 2caragenelss 46516 . . . 4 (𝜑𝐸 dom 𝑂)
6 caragenuncl.4 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑆)
71, 3, 6, 2caragenelss 46516 . . . 4 (𝜑𝐹 dom 𝑂)
85, 7unssd 4192 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐹) ⊆ dom 𝑂)
91, 2unidmex 45055 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑂 ∈ V)
10 ssexg 5323 . . . . 5 (((𝐸𝐹) ⊆ dom 𝑂 dom 𝑂 ∈ V) → (𝐸𝐹) ∈ V)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ V)
12 elpwg 4603 . . . 4 ((𝐸𝐹) ∈ V → ((𝐸𝐹) ∈ 𝒫 dom 𝑂 ↔ (𝐸𝐹) ⊆ dom 𝑂))
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝐹) ∈ 𝒫 dom 𝑂 ↔ (𝐸𝐹) ⊆ dom 𝑂))
148, 13mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ 𝒫 dom 𝑂)
151adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
164adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝐸𝑆)
176adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝐹𝑆)
18 elpwi 4607 . . . 4 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑎 dom 𝑂)
1918adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑎 dom 𝑂)
2015, 3, 16, 17, 2, 19caragenuncllem 46527 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ (𝐸𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ (𝐸𝐹)))) = (𝑂𝑎))
211, 2, 3, 14, 20carageneld 46517 1 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  dom cdm 5685  cfv 6561  OutMeascome 46504  CaraGenccaragen 46506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-addass 11220  ax-i2m1 11223  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-xadd 13155  df-icc 13394  df-ome 46505  df-caragen 46507
This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  46530
  Copyright terms: Public domain W3C validator