Theorem caragenuncl 47566

Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenuncl.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncl.2	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenuncl.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
caragenuncl.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
caragenuncl	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenuncl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenuncl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		caragenuncl.2	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		caragenuncl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
5	1, 3, 4, 2	caragenelss 47554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ dom 𝑂)
6		caragenuncl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
7	1, 3, 6, 2	caragenelss 47554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ ∪ dom 𝑂)
8	5, 7	unssd 4190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂)
9	1, 2	unidmex 46110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
10		ssexg 5280	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂 ∧ ∪ dom 𝑂 ∈ V) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
12		elpwg 4559	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V → ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂))
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ ∪ dom 𝑂))
14	8, 13	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
15	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
16	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝐸 ∈ 𝑆)
17	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝐹 ∈ 𝑆)
18		elpwi 4563	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
19	18	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
20	15, 3, 16, 17, 2, 19	caragenuncllem 47565	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹))) +e (𝑂‘(𝑎 ∖ (𝐸 ∪ 𝐹)))) = (𝑂‘𝑎))
21	1, 2, 3, 14, 20	carageneld 47555	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  OutMeascome 47542  CaraGenccaragen 47544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-addass 11265  ax-i2m1 11268  ax-rnegex 11271  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-xadd 13242  df-icc 13483  df-ome 47543  df-caragen 47545

This theorem is used by:  caragenfiiuncl  47568