Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenel2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenel2d 45825
Description: Membership in the Caratheodory's construction. Similar to carageneld 45795, but here "less then or equal to" is used, instead of equality. This is Remark 113D of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenel2d.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenel2d.x 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
caragenel2d.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caragenel2d.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
caragenel2d.a ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
caragenel2d (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐸,π‘Ž   𝑂,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘Ž)   𝑋(π‘Ž)

Proof of Theorem caragenel2d
StepHypRef Expression
1 caragenel2d.o . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenel2d.x . 2 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
3 caragenel2d.s . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
4 caragenel2d.e . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
51adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
6 inss1 4223 . . . . . . 7 (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† π‘Ž
7 elpwi 4604 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
86, 7sstrid 3988 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† 𝑋)
98adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† 𝑋)
105, 2, 9omexrcl 45800 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) ∈ ℝ*)
117ssdifssd 4137 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† 𝑋)
1211adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† 𝑋)
135, 2, 12omexrcl 45800 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) ∈ ℝ*)
14 xaddcl 13224 . . . 4 (((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) ∈ ℝ*)
1510, 13, 14syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) ∈ ℝ*)
167adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
175, 2, 16omexrcl 45800 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
18 caragenel2d.a . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
195, 2, 16omelesplit 45811 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ≀ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))))
2015, 17, 18, 19xrletrid 13140 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
211, 2, 3, 4, 20carageneld 45795 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13096  OutMeascome 45782  CaraGenccaragen 45784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-sumge0 45656  df-ome 45783  df-caragen 45785
This theorem is referenced by:  caragencmpl  45828  hspmbl  45922
  Copyright terms: Public domain W3C validator