Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenel2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenel2d 46488
Description: Membership in the Caratheodory's construction. Similar to carageneld 46458, but here "less then or equal to" is used, instead of equality. This is Remark 113D of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenel2d.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenel2d.x 𝑋 = dom 𝑂
caragenel2d.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenel2d.e (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
caragenel2d.a ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ≤ (𝑂𝑎))
Assertion
Ref Expression
caragenel2d (𝜑𝐸𝑆)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑎)   𝑋(𝑎)

Proof of Theorem caragenel2d
StepHypRef Expression
1 caragenel2d.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenel2d.x . 2 𝑋 = dom 𝑂
3 caragenel2d.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 caragenel2d.e . 2 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
51adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
6 inss1 4245 . . . . . . 7 (𝑎𝐸) ⊆ 𝑎
7 elpwi 4612 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
86, 7sstrid 4007 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
105, 2, 9omexrcl 46463 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
117ssdifssd 4157 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
1211adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
135, 2, 12omexrcl 46463 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
14 xaddcl 13278 . . . 4 (((𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ∈ ℝ*)
1510, 13, 14syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ∈ ℝ*)
167adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎𝑋)
175, 2, 16omexrcl 46463 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ*)
18 caragenel2d.a . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ≤ (𝑂𝑎))
195, 2, 16omelesplit 46474 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ≤ ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))))
2015, 17, 18, 19xrletrid 13194 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂𝑎))
211, 2, 3, 4, 20carageneld 46458 1 (𝜑𝐸𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  *cxr 11292  cle 11294   +𝑒 cxad 13150  OutMeascome 46445  CaraGenccaragen 46447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319  df-ome 46446  df-caragen 46448
This theorem is referenced by:  caragencmpl  46491  hspmbl  46585
  Copyright terms: Public domain W3C validator