Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenel2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenel2d 45982
Description: Membership in the Caratheodory's construction. Similar to carageneld 45952, but here "less then or equal to" is used, instead of equality. This is Remark 113D of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenel2d.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenel2d.x 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
caragenel2d.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caragenel2d.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
caragenel2d.a ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
caragenel2d (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐸,π‘Ž   𝑂,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘Ž)   𝑋(π‘Ž)

Proof of Theorem caragenel2d
StepHypRef Expression
1 caragenel2d.o . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenel2d.x . 2 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
3 caragenel2d.s . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
4 caragenel2d.e . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
51adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
6 inss1 4223 . . . . . . 7 (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† π‘Ž
7 elpwi 4605 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
86, 7sstrid 3984 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† 𝑋)
98adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† 𝑋)
105, 2, 9omexrcl 45957 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) ∈ ℝ*)
117ssdifssd 4135 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† 𝑋)
1211adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† 𝑋)
135, 2, 12omexrcl 45957 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) ∈ ℝ*)
14 xaddcl 13248 . . . 4 (((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) ∈ ℝ*)
1510, 13, 14syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) ∈ ℝ*)
167adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
175, 2, 16omexrcl 45957 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
18 caragenel2d.a . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
195, 2, 16omelesplit 45968 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ≀ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))))
2015, 17, 18, 19xrletrid 13164 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
211, 2, 3, 4, 20carageneld 45952 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3937   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  π’« cpw 4598  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„*cxr 11275   ≀ cle 11277   +𝑒 cxad 13120  OutMeascome 45939  CaraGenccaragen 45941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-xadd 13123  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-sumge0 45813  df-ome 45940  df-caragen 45942
This theorem is referenced by:  caragencmpl  45985  hspmbl  46079
  Copyright terms: Public domain W3C validator