Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenel2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenel2d 43168
 Description: Membership in the Caratheodory's construction. Similar to carageneld 43138, but here "less then or equal to" is used, instead of equality. This is Remark 113D of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenel2d.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenel2d.x 𝑋 = dom 𝑂
caragenel2d.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenel2d.e (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
caragenel2d.a ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ≤ (𝑂𝑎))
Assertion
Ref Expression
caragenel2d (𝜑𝐸𝑆)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑎)   𝑋(𝑎)

Proof of Theorem caragenel2d
StepHypRef Expression
1 caragenel2d.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenel2d.x . 2 𝑋 = dom 𝑂
3 caragenel2d.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 caragenel2d.e . 2 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
51adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
6 inss1 4158 . . . . . . 7 (𝑎𝐸) ⊆ 𝑎
7 elpwi 4509 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
86, 7sstrid 3929 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
98adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
105, 2, 9omexrcl 43143 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
117ssdifssd 4073 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
1211adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
135, 2, 12omexrcl 43143 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
14 xaddcl 12624 . . . 4 (((𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ∈ ℝ*)
1510, 13, 14syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ∈ ℝ*)
167adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎𝑋)
175, 2, 16omexrcl 43143 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ*)
18 caragenel2d.a . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ≤ (𝑂𝑎))
195, 2, 16omelesplit 43154 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ≤ ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))))
2015, 17, 18, 19xrletrid 12540 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂𝑎))
211, 2, 3, 4, 20carageneld 43138 1 (𝜑𝐸𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∖ cdif 3881   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4500  ∪ cuni 4803   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝ*cxr 10667   ≤ cle 10669   +𝑒 cxad 12497  OutMeascome 43125  CaraGenccaragen 43127 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-sumge0 42999  df-ome 43126  df-caragen 43128 This theorem is referenced by:  caragencmpl  43171  hspmbl  43265
 Copyright terms: Public domain W3C validator