Theorem caragenunidm 46924

Description: The base set of an outer measure belongs to the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenunidm.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunidm.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
caragenunidm.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragenunidm	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunidm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenunidm.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragenunidm.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		caragenunidm.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		dmexg 7841	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → dom 𝑂 ∈ V)
5		uniexg 7683	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑂 ∈ V → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
6	1, 4, 5	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
7	2, 6	eqeltrid 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8		pwidg 4551	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
10		elpwi 4538	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
11		dfss2 3903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
12	11	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
14	13	fveq2d 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) = (𝑂‘𝑎))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) = (𝑂‘𝑎))
16		ssdif0 4296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑎 ∖ 𝑋) = ∅)
17	10, 16	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝑋) = ∅)
18	17	fveq2d 6833	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = (𝑂‘∅))
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = (𝑂‘∅))
20	1	ome0 46913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘∅) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = 0)
23	15, 22	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋))) = ((𝑂‘𝑎) +𝑒 0))
24		iccssxr 13372	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
25	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
26	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
27	25, 2, 26	omecl 46919	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
28	24, 27	sselid 3915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
29	28	xaddridd 13184	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘𝑎) +𝑒 0) = (𝑂‘𝑎))
30		eqidd 2736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) = (𝑂‘𝑎))
31	23, 29, 30	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋))) = (𝑂‘𝑎))
32	1, 2, 3, 9, 31	carageneld 46918	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427   ∖ cdif 3882   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∅c0 4263  𝒫 cpw 4531  ∪ cuni 4840  dom cdm 5620  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  0cc0 11027  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   +_𝑒 cxad 13050  [,]cicc 13290  OutMeascome 46905  CaraGenccaragen 46907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-xadd 13053  df-icc 13294  df-ome 46906  df-caragen 46908

This theorem is referenced by:  caragenuni  46927  rrnmbl  47030