Theorem caragenunidm 45955

Description: The base set of an outer measure belongs to the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenunidm.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunidm.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
caragenunidm.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragenunidm	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunidm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenunidm.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragenunidm.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		caragenunidm.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		dmexg 7903	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → dom 𝑂 ∈ V)
5		uniexg 7740	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑂 ∈ V → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
6	1, 4, 5	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
7	2, 6	eqeltrid 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8		pwidg 4619	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
10		elpwi 4606	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
11		dfss2 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
12	11	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
14	13	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) = (𝑂‘𝑎))
15	14	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) = (𝑂‘𝑎))
16		ssdif0 4360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑎 ∖ 𝑋) = ∅)
17	10, 16	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝑋) = ∅)
18	17	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = (𝑂‘∅))
19	18	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = (𝑂‘∅))
20	1	ome0 45944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
21	20	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘∅) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = 0)
23	15, 22	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋))) = ((𝑂‘𝑎) +𝑒 0))
24		iccssxr 13434	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
25	1	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
26	10	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
27	25, 2, 26	omecl 45950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
28	24, 27	sselid 3971	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
29	28	xaddridd 13249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘𝑎) +𝑒 0) = (𝑂‘𝑎))
30		eqidd 2726	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) = (𝑂‘𝑎))
31	23, 29, 30	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋))) = (𝑂‘𝑎))
32	1, 2, 3, 9, 31	carageneld 45949	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∖ cdif 3938   ∩ cin 3940   ⊆ wss 3941  ∅c0 4319  𝒫 cpw 4599  ∪ cuni 4904  dom cdm 5673  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  +∞cpnf 11270  ℝ^*cxr 11272   +_𝑒 cxad 13117  [,]cicc 13354  OutMeascome 45936  CaraGenccaragen 45938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-xadd 13120  df-icc 13358  df-ome 45937  df-caragen 45939

This theorem is referenced by:  caragenuni  45958  rrnmbl  46061