Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenunidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenunidm 43090
Description: The base set of an outer measure belongs to the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenunidm.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunidm.x 𝑋 = dom 𝑂
caragenunidm.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragenunidm (𝜑𝑋𝑆)

Proof of Theorem caragenunidm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragenunidm.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenunidm.x . 2 𝑋 = dom 𝑂
3 caragenunidm.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 dmexg 7599 . . . . 5 (𝑂 ∈ OutMeas → dom 𝑂 ∈ V)
5 uniexg 7451 . . . . 5 (dom 𝑂 ∈ V → dom 𝑂 ∈ V)
61, 4, 53syl 18 . . . 4 (𝜑 dom 𝑂 ∈ V)
72, 6eqeltrid 2918 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
8 pwidg 4533 . . 3 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
10 elpwi 4520 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
11 df-ss 3925 . . . . . . . 8 (𝑎𝑋 ↔ (𝑎𝑋) = 𝑎)
1211biimpi 219 . . . . . . 7 (𝑎𝑋 → (𝑎𝑋) = 𝑎)
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝑋) = 𝑎)
1413fveq2d 6656 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂𝑎))
1514adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂𝑎))
16 ssdif0 4295 . . . . . . . 8 (𝑎𝑋 ↔ (𝑎𝑋) = ∅)
1710, 16sylib 221 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝑋) = ∅)
1817fveq2d 6656 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂‘∅))
1918adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂‘∅))
201ome0 43079 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
2120adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘∅) = 0)
2219, 21eqtrd 2857 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = 0)
2315, 22oveq12d 7158 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑋))) = ((𝑂𝑎) +𝑒 0))
24 iccssxr 12808 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
251adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
2610adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎𝑋)
2725, 2, 26omecl 43085 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,]+∞))
2824, 27sseldi 3940 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ*)
2928xaddid1d 12624 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂𝑎) +𝑒 0) = (𝑂𝑎))
30 eqidd 2823 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) = (𝑂𝑎))
3123, 29, 303eqtrd 2861 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑋))) = (𝑂𝑎))
321, 2, 3, 9, 31carageneld 43084 1 (𝜑𝑋𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469  cdif 3905  cin 3907  wss 3908  c0 4265  𝒫 cpw 4511   cuni 4813  dom cdm 5532  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   +𝑒 cxad 12493  [,]cicc 12729  OutMeascome 43071  CaraGenccaragen 43073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-xadd 12496  df-icc 12733  df-ome 43072  df-caragen 43074
This theorem is referenced by:  caragenuni  43093  rrnmbl  43196
  Copyright terms: Public domain W3C validator