Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenunidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenunidm 45809
Description: The base set of an outer measure belongs to the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenunidm.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunidm.x 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
caragenunidm.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
caragenunidm (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunidm
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragenunidm.o . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenunidm.x . 2 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
3 caragenunidm.s . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
4 dmexg 7901 . . . . 5 (𝑂 ∈ OutMeas β†’ dom 𝑂 ∈ V)
5 uniexg 7737 . . . . 5 (dom 𝑂 ∈ V β†’ βˆͺ dom 𝑂 ∈ V)
61, 4, 53syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 ∈ V)
72, 6eqeltrid 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
8 pwidg 4618 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
97, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
10 elpwi 4605 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
11 df-ss 3961 . . . . . . . 8 (π‘Ž βŠ† 𝑋 ↔ (π‘Ž ∩ 𝑋) = π‘Ž)
1211biimpi 215 . . . . . . 7 (π‘Ž βŠ† 𝑋 β†’ (π‘Ž ∩ 𝑋) = π‘Ž)
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (π‘Ž ∩ 𝑋) = π‘Ž)
1413fveq2d 6895 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑋)) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
1514adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑋)) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
16 ssdif0 4359 . . . . . . . 8 (π‘Ž βŠ† 𝑋 ↔ (π‘Ž βˆ– 𝑋) = βˆ…)
1710, 16sylib 217 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (π‘Ž βˆ– 𝑋) = βˆ…)
1817fveq2d 6895 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑋)) = (π‘‚β€˜βˆ…))
1918adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑋)) = (π‘‚β€˜βˆ…))
201ome0 45798 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
2120adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
2219, 21eqtrd 2767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑋)) = 0)
2315, 22oveq12d 7432 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑋)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑋))) = ((π‘‚β€˜π‘Ž) +𝑒 0))
24 iccssxr 13425 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
251adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2610adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
2725, 2, 26omecl 45804 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
2824, 27sselid 3976 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
2928xaddridd 13240 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜π‘Ž) +𝑒 0) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
30 eqidd 2728 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
3123, 29, 303eqtrd 2771 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑋)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑋))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
321, 2, 3, 9, 31carageneld 45803 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  βˆͺ cuni 4903  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  +∞cpnf 11261  β„*cxr 11263   +𝑒 cxad 13108  [,]cicc 13345  OutMeascome 45790  CaraGenccaragen 45792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-xadd 13111  df-icc 13349  df-ome 45791  df-caragen 45793
This theorem is referenced by:  caragenuni  45812  rrnmbl  45915
  Copyright terms: Public domain W3C validator