Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenunidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenunidm 41514
Description: The base set of an outer measure belongs to the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenunidm.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunidm.x 𝑋 = dom 𝑂
caragenunidm.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragenunidm (𝜑𝑋𝑆)

Proof of Theorem caragenunidm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragenunidm.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenunidm.x . 2 𝑋 = dom 𝑂
3 caragenunidm.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 dmexg 7363 . . . . 5 (𝑂 ∈ OutMeas → dom 𝑂 ∈ V)
5 uniexg 7220 . . . . 5 (dom 𝑂 ∈ V → dom 𝑂 ∈ V)
61, 4, 53syl 18 . . . 4 (𝜑 dom 𝑂 ∈ V)
72, 6syl5eqel 2910 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
8 pwidg 4395 . . 3 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
10 elpwi 4390 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
11 df-ss 3812 . . . . . . . 8 (𝑎𝑋 ↔ (𝑎𝑋) = 𝑎)
1211biimpi 208 . . . . . . 7 (𝑎𝑋 → (𝑎𝑋) = 𝑎)
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝑋) = 𝑎)
1413fveq2d 6441 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂𝑎))
1514adantl 475 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂𝑎))
16 ssdif0 4173 . . . . . . . 8 (𝑎𝑋 ↔ (𝑎𝑋) = ∅)
1710, 16sylib 210 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝑋) = ∅)
1817fveq2d 6441 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂‘∅))
1918adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂‘∅))
201ome0 41503 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
2120adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘∅) = 0)
2219, 21eqtrd 2861 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = 0)
2315, 22oveq12d 6928 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑋))) = ((𝑂𝑎) +𝑒 0))
24 iccssxr 12551 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
251adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
2610adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎𝑋)
2725, 2, 26omecl 41509 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,]+∞))
2824, 27sseldi 3825 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ*)
2928xaddid1d 12369 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂𝑎) +𝑒 0) = (𝑂𝑎))
30 eqidd 2826 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) = (𝑂𝑎))
3123, 29, 303eqtrd 2865 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑋))) = (𝑂𝑎))
321, 2, 3, 9, 31carageneld 41508 1 (𝜑𝑋𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  Vcvv 3414  cdif 3795  cin 3797  wss 3798  c0 4146  𝒫 cpw 4380   cuni 4660  dom cdm 5346  cfv 6127  (class class class)co 6910  0cc0 10259  +∞cpnf 10395  *cxr 10397   +𝑒 cxad 12237  [,]cicc 12473  OutMeascome 41495  CaraGenccaragen 41497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-xadd 12240  df-icc 12477  df-ome 41496  df-caragen 41498
This theorem is referenced by:  caragenuni  41517  rrnmbl  41620
  Copyright terms: Public domain W3C validator