Theorem caragenunidm 47440

Description: The base set of an outer measure belongs to the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenunidm.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunidm.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
caragenunidm.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragenunidm	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunidm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenunidm.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragenunidm.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		caragenunidm.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		dmexg 7896	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → dom 𝑂 ∈ V)
5		uniexg 7740	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑂 ∈ V → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
6	1, 4, 5	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
7	2, 6	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8		pwidg 4576	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
10		elpwi 4563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
11		dfss2 3916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
12	11	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
13	10, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
14	13	fveq2d 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) = (𝑂‘𝑎))
15	14	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) = (𝑂‘𝑎))
16		ssdif0 4313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑎 ∖ 𝑋) = ∅)
17	10, 16	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝑋) = ∅)
18	17	fveq2d 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = (𝑂‘∅))
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = (𝑂‘∅))
20	1	ome0 47429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘∅) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = 0)
23	15, 22	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋))) = ((𝑂‘𝑎) +𝑒 0))
24		iccssxr 13530	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
25	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
26	10	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
27	25, 2, 26	omecl 47435	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
28	24, 27	sselid 3928	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
29	28	xaddridd 13342	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘𝑎) +𝑒 0) = (𝑂‘𝑎))
30		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) = (𝑂‘𝑎))
31	23, 29, 30	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋))) = (𝑂‘𝑎))
32	1, 2, 3, 9, 31	carageneld 47434	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  dom cdm 5647  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171  +∞cpnf 11311  ℝ^*cxr 11313   +_𝑒 cxad 13208  [,]cicc 13448  OutMeascome 47421  CaraGenccaragen 47423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-xadd 13211  df-icc 13452  df-ome 47422  df-caragen 47424

This theorem is used by:  caragenuni  47443  rrnmbl  47546