Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenunidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenunidm 46464
Description: The base set of an outer measure belongs to the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenunidm.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunidm.x 𝑋 = dom 𝑂
caragenunidm.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragenunidm (𝜑𝑋𝑆)

Proof of Theorem caragenunidm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragenunidm.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenunidm.x . 2 𝑋 = dom 𝑂
3 caragenunidm.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 dmexg 7924 . . . . 5 (𝑂 ∈ OutMeas → dom 𝑂 ∈ V)
5 uniexg 7759 . . . . 5 (dom 𝑂 ∈ V → dom 𝑂 ∈ V)
61, 4, 53syl 18 . . . 4 (𝜑 dom 𝑂 ∈ V)
72, 6eqeltrid 2843 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
8 pwidg 4625 . . 3 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
10 elpwi 4612 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
11 dfss2 3981 . . . . . . . 8 (𝑎𝑋 ↔ (𝑎𝑋) = 𝑎)
1211biimpi 216 . . . . . . 7 (𝑎𝑋 → (𝑎𝑋) = 𝑎)
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝑋) = 𝑎)
1413fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂𝑎))
1514adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂𝑎))
16 ssdif0 4372 . . . . . . . 8 (𝑎𝑋 ↔ (𝑎𝑋) = ∅)
1710, 16sylib 218 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝑋) = ∅)
1817fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂‘∅))
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂‘∅))
201ome0 46453 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘∅) = 0)
2219, 21eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = 0)
2315, 22oveq12d 7449 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑋))) = ((𝑂𝑎) +𝑒 0))
24 iccssxr 13467 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
251adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
2610adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎𝑋)
2725, 2, 26omecl 46459 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,]+∞))
2824, 27sselid 3993 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ*)
2928xaddridd 13282 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂𝑎) +𝑒 0) = (𝑂𝑎))
30 eqidd 2736 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) = (𝑂𝑎))
3123, 29, 303eqtrd 2779 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑋))) = (𝑂𝑎))
321, 2, 3, 9, 31carageneld 46458 1 (𝜑𝑋𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   +𝑒 cxad 13150  [,]cicc 13387  OutMeascome 46445  CaraGenccaragen 46447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-xadd 13153  df-icc 13391  df-ome 46446  df-caragen 46448
This theorem is referenced by:  caragenuni  46467  rrnmbl  46570
  Copyright terms: Public domain W3C validator