Theorem caragenunidm 47020

Description: The base set of an outer measure belongs to the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenunidm.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunidm.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
caragenunidm.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragenunidm	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunidm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenunidm.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragenunidm.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		caragenunidm.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		dmexg 7867	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → dom 𝑂 ∈ V)
5		uniexg 7708	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑂 ∈ V → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
6	1, 4, 5	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
7	2, 6	eqeltrid 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8		pwidg 4565	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
10		elpwi 4552	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
11		dfss2 3913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
12	11	biimpi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
14	13	fveq2d 6856	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) = (𝑂‘𝑎))
15	14	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) = (𝑂‘𝑎))
16		ssdif0 4309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑎 ∖ 𝑋) = ∅)
17	10, 16	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝑋) = ∅)
18	17	fveq2d 6856	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = (𝑂‘∅))
19	18	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = (𝑂‘∅))
20	1	ome0 47009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
21	20	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘∅) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = 0)
23	15, 22	oveq12d 7399	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋))) = ((𝑂‘𝑎) +𝑒 0))
24		iccssxr 13420	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
25	1	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
26	10	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
27	25, 2, 26	omecl 47015	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
28	24, 27	sselid 3925	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
29	28	xaddridd 13232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘𝑎) +𝑒 0) = (𝑂‘𝑎))
30		eqidd 2753	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) = (𝑂‘𝑎))
31	23, 29, 30	3eqtrd 2791	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋))) = (𝑂‘𝑎))
32	1, 2, 3, 9, 31	carageneld 47014	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444   ∖ cdif 3892   ∩ cin 3894   ⊆ wss 3895  ∅c0 4276  𝒫 cpw 4545  ∪ cuni 4855  dom cdm 5636  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  0cc0 11059  +∞cpnf 11199  ℝ^*cxr 11201   +_𝑒 cxad 13098  [,]cicc 13338  OutMeascome 47001  CaraGenccaragen 47003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-xadd 13101  df-icc 13342  df-ome 47002  df-caragen 47004

This theorem is referenced by:  caragenuni  47023  rrnmbl  47126