Theorem caragenunidm 45809

Description: The base set of an outer measure belongs to the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenunidm.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunidm.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
caragenunidm.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragenunidm	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunidm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenunidm.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragenunidm.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		caragenunidm.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		dmexg 7901	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → dom 𝑂 ∈ V)
5		uniexg 7737	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑂 ∈ V → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
6	1, 4, 5	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
7	2, 6	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8		pwidg 4618	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
10		elpwi 4605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
11		df-ss 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
12	11	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∩ 𝑋) = 𝑎)
14	13	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) = (𝑂‘𝑎))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) = (𝑂‘𝑎))
16		ssdif0 4359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑎 ∖ 𝑋) = ∅)
17	10, 16	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝑋) = ∅)
18	17	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = (𝑂‘∅))
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = (𝑂‘∅))
20	1	ome0 45798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘∅) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋)) = 0)
23	15, 22	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋))) = ((𝑂‘𝑎) +𝑒 0))
24		iccssxr 13425	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
25	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
26	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
27	25, 2, 26	omecl 45804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
28	24, 27	sselid 3976	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
29	28	xaddridd 13240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘𝑎) +𝑒 0) = (𝑂‘𝑎))
30		eqidd 2728	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝑎) = (𝑂‘𝑎))
31	23, 29, 30	3eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑋))) = (𝑂‘𝑎))
32	1, 2, 3, 9, 31	carageneld 45803	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ∖ cdif 3941   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4598  ∪ cuni 4903  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  +∞cpnf 11261  ℝ^*cxr 11263   +_𝑒 cxad 13108  [,]cicc 13345  OutMeascome 45790  CaraGenccaragen 45792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-xadd 13111  df-icc 13349  df-ome 45791  df-caragen 45793

This theorem is referenced by:  caragenuni  45812  rrnmbl  45915