Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragen0 41292
Description: The empty set belongs to any Caratheodory's construction. First part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragen0.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragen0.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragen0 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragen0
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragen0.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2764 . 2 dom 𝑂 = dom 𝑂
3 caragen0.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 0elpw 4991 . . 3 ∅ ∈ 𝒫 dom 𝑂
54a1i 11 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 dom 𝑂)
6 in0 4129 . . . . . 6 (𝑎 ∩ ∅) = ∅
76fveq2i 6377 . . . . 5 (𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) = (𝑂‘∅)
8 dif0 4114 . . . . . 6 (𝑎 ∖ ∅) = 𝑎
98fveq2i 6377 . . . . 5 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅)) = (𝑂𝑎)
107, 9oveq12i 6853 . . . 4 ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂𝑎))
1110a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂𝑎)))
121ome0 41283 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
1312adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘∅) = 0)
1413oveq1d 6856 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂𝑎)) = (0 +𝑒 (𝑂𝑎)))
15 iccssxr 12457 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
161adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
17 elpwi 4324 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑎 dom 𝑂)
1817adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑎 dom 𝑂)
1916, 2, 18omecl 41289 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,]+∞))
2015, 19sseldi 3758 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ*)
2120xaddid2d 40105 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑂𝑎)) = (𝑂𝑎))
2211, 14, 213eqtrd 2802 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = (𝑂𝑎))
231, 2, 3, 5, 22carageneld 41288 1 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  cdif 3728  cin 3730  wss 3731  c0 4078  𝒫 cpw 4314   cuni 4593  dom cdm 5276  cfv 6067  (class class class)co 6841  0cc0 10188  +∞cpnf 10324  *cxr 10326   +𝑒 cxad 12143  [,]cicc 12379  OutMeascome 41275  CaraGenccaragen 41277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-po 5197  df-so 5198  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-xadd 12146  df-icc 12383  df-ome 41276  df-caragen 41278
This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  41301  caragenunicl  41310  caragensal  41311  caratheodory  41314
  Copyright terms: Public domain W3C validator