Theorem caragen0 46497

Description: The empty set belongs to any Caratheodory's construction. First part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragen0.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragen0.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragen0	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragen0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragen0.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		caragen0.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		0elpw 5306	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
6		in0 4354	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∩ ∅) = ∅
7	6	fveq2i 6843	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) = (𝑂‘∅)
8		dif0 4337	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∖ ∅) = 𝑎
9	8	fveq2i 6843	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅)) = (𝑂‘𝑎)
10	7, 9	oveq12i 7381	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎))
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎)))
12	1	ome0 46488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘∅) = 0)
14	13	oveq1d 7384	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎)) = (0 +𝑒 (𝑂‘𝑎)))
15		iccssxr 13367	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
17		elpwi 4566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
19	16, 2, 18	omecl 46494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
20	15, 19	sselid 3941	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
21	20	xaddlidd 45309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑂‘𝑎)) = (𝑂‘𝑎))
22	11, 14, 21	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = (𝑂‘𝑎))
23	1, 2, 3, 5, 22	carageneld 46493	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3908   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  ∪ cuni 4867  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   +_𝑒 cxad 13046  [,]cicc 13285  OutMeascome 46480  CaraGenccaragen 46482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-xadd 13049  df-icc 13289  df-ome 46481  df-caragen 46483

This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  46506  caragenunicl  46515  caragensal  46516  caratheodory  46519