Theorem caragen0 46771

Description: The empty set belongs to any Caratheodory's construction. First part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragen0.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragen0.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragen0	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragen0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragen0.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		caragen0.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		0elpw 5301	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
6		in0 4347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∩ ∅) = ∅
7	6	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) = (𝑂‘∅)
8		dif0 4330	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∖ ∅) = 𝑎
9	8	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅)) = (𝑂‘𝑎)
10	7, 9	oveq12i 7370	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎))
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎)))
12	1	ome0 46762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘∅) = 0)
14	13	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎)) = (0 +𝑒 (𝑂‘𝑎)))
15		iccssxr 13348	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
17		elpwi 4561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
19	16, 2, 18	omecl 46768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
20	15, 19	sselid 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
21	20	xaddlidd 45587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑂‘𝑎)) = (𝑂‘𝑎))
22	11, 14, 21	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = (𝑂‘𝑎))
23	1, 2, 3, 5, 22	carageneld 46767	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  ∪ cuni 4863  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   +_𝑒 cxad 13026  [,]cicc 13266  OutMeascome 46754  CaraGenccaragen 46756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-xadd 13029  df-icc 13270  df-ome 46755  df-caragen 46757

This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  46780  caragenunicl  46789  caragensal  46790  caratheodory  46793