Theorem caragen0 44044

Description: The empty set belongs to any Caratheodory's construction. First part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragen0.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragen0.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragen0	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragen0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragen0.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		caragen0.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		0elpw 5278	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
6		in0 4325	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∩ ∅) = ∅
7	6	fveq2i 6777	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) = (𝑂‘∅)
8		dif0 4306	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∖ ∅) = 𝑎
9	8	fveq2i 6777	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅)) = (𝑂‘𝑎)
10	7, 9	oveq12i 7287	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎))
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎)))
12	1	ome0 44035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
13	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘∅) = 0)
14	13	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎)) = (0 +𝑒 (𝑂‘𝑎)))
15		iccssxr 13162	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16	1	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
17		elpwi 4542	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
18	17	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
19	16, 2, 18	omecl 44041	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
20	15, 19	sselid 3919	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
21	20	xaddid2d 42858	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑂‘𝑎)) = (𝑂‘𝑎))
22	11, 14, 21	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = (𝑂‘𝑎))
23	1, 2, 3, 5, 22	carageneld 44040	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  ∪ cuni 4839  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   +_𝑒 cxad 12846  [,]cicc 13082  OutMeascome 44027  CaraGenccaragen 44029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-xadd 12849  df-icc 13086  df-ome 44028  df-caragen 44030

This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  44053  caragenunicl  44062  caragensal  44063  caratheodory  44066