Theorem caragen0 47399

Description: The empty set belongs to any Caratheodory's construction. First part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragen0.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragen0.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragen0	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragen0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragen0.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		caragen0.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		0elpw 5320	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
6		in0 4345	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∩ ∅) = ∅
7	6	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) = (𝑂‘∅)
8		dif0 4327	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∖ ∅) = 𝑎
9	8	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅)) = (𝑂‘𝑎)
10	7, 9	oveq12i 7428	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎))
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎)))
12	1	ome0 47390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘∅) = 0)
14	13	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎)) = (0 +𝑒 (𝑂‘𝑎)))
15		iccssxr 13508	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
17		elpwi 4564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
18	17	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
19	16, 2, 18	omecl 47396	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
20	15, 19	sselid 3929	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
21	20	xaddlidd 46216	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑂‘𝑎)) = (𝑂‘𝑎))
22	11, 14, 21	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = (𝑂‘𝑎))
23	1, 2, 3, 5, 22	carageneld 47395	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  dom cdm 5655  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  0cc0 11149  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   +_𝑒 cxad 13186  [,]cicc 13426  OutMeascome 47382  CaraGenccaragen 47384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-xadd 13189  df-icc 13430  df-ome 47383  df-caragen 47385

This theorem is used by:  caragenfiiuncl  47408  caragenunicl  47417  caragensal  47418  caratheodory  47421