Theorem caragen0 46502

Description: The empty set belongs to any Caratheodory's construction. First part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragen0.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragen0.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragen0	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragen0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragen0.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		caragen0.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		0elpw 5331	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
6		in0 4375	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∩ ∅) = ∅
7	6	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) = (𝑂‘∅)
8		dif0 4358	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∖ ∅) = 𝑎
9	8	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅)) = (𝑂‘𝑎)
10	7, 9	oveq12i 7422	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎))
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎)))
12	1	ome0 46493	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘∅) = 0)
14	13	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂‘𝑎)) = (0 +𝑒 (𝑂‘𝑎)))
15		iccssxr 13452	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
17		elpwi 4587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
19	16, 2, 18	omecl 46499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
20	15, 19	sselid 3961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
21	20	xaddlidd 45314	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑂‘𝑎)) = (𝑂‘𝑎))
22	11, 14, 21	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = (𝑂‘𝑎))
23	1, 2, 3, 5, 22	carageneld 46498	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3928   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  ∪ cuni 4888  dom cdm 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  +∞cpnf 11271  ℝ^*cxr 11273   +_𝑒 cxad 13131  [,]cicc 13370  OutMeascome 46485  CaraGenccaragen 46487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-xadd 13134  df-icc 13374  df-ome 46486  df-caragen 46488

This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  46511  caragenunicl  46520  caragensal  46521  caratheodory  46524