Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragen0 45923
Description: The empty set belongs to any Caratheodory's construction. First part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragen0.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragen0.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
caragen0 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragen0
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragen0.o . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2728 . 2 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
3 caragen0.s . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
4 0elpw 5360 . . 3 βˆ… ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
6 in0 4395 . . . . . 6 (π‘Ž ∩ βˆ…) = βˆ…
76fveq2i 6905 . . . . 5 (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆ…)) = (π‘‚β€˜βˆ…)
8 dif0 4376 . . . . . 6 (π‘Ž βˆ– βˆ…) = π‘Ž
98fveq2i 6905 . . . . 5 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆ…)) = (π‘‚β€˜π‘Ž)
107, 9oveq12i 7438 . . . 4 ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆ…)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆ…))) = ((π‘‚β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž))
1110a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆ…)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆ…))) = ((π‘‚β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž)))
121ome0 45914 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
1312adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
1413oveq1d 7441 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž)) = (0 +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž)))
15 iccssxr 13447 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
161adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
17 elpwi 4613 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1817adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1916, 2, 18omecl 45920 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
2015, 19sselid 3980 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
2120xaddlidd 44730 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (0 +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž)) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
2211, 14, 213eqtrd 2772 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆ…)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆ…))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
231, 2, 3, 5, 22carageneld 45919 1 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  π’« cpw 4606  βˆͺ cuni 4912  dom cdm 5682  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  β„*cxr 11285   +𝑒 cxad 13130  [,]cicc 13367  OutMeascome 45906  CaraGenccaragen 45908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-xadd 13133  df-icc 13371  df-ome 45907  df-caragen 45909
This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  45932  caragenunicl  45941  caragensal  45942  caratheodory  45945
  Copyright terms: Public domain W3C validator