Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragen0 45791
Description: The empty set belongs to any Caratheodory's construction. First part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragen0.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragen0.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
caragen0 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragen0
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragen0.o . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2726 . 2 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
3 caragen0.s . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
4 0elpw 5347 . . 3 βˆ… ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
6 in0 4386 . . . . . 6 (π‘Ž ∩ βˆ…) = βˆ…
76fveq2i 6888 . . . . 5 (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆ…)) = (π‘‚β€˜βˆ…)
8 dif0 4367 . . . . . 6 (π‘Ž βˆ– βˆ…) = π‘Ž
98fveq2i 6888 . . . . 5 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆ…)) = (π‘‚β€˜π‘Ž)
107, 9oveq12i 7417 . . . 4 ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆ…)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆ…))) = ((π‘‚β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž))
1110a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆ…)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆ…))) = ((π‘‚β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž)))
121ome0 45782 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
1312adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
1413oveq1d 7420 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž)) = (0 +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž)))
15 iccssxr 13413 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
161adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
17 elpwi 4604 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1916, 2, 18omecl 45788 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
2015, 19sselid 3975 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
2120xaddlidd 44598 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (0 +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž)) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
2211, 14, 213eqtrd 2770 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆ…)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆ…))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
231, 2, 3, 5, 22carageneld 45787 1 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   +𝑒 cxad 13096  [,]cicc 13333  OutMeascome 45774  CaraGenccaragen 45776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-xadd 13099  df-icc 13337  df-ome 45775  df-caragen 45777
This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  45800  caragenunicl  45809  caragensal  45810  caratheodory  45813
  Copyright terms: Public domain W3C validator