Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragen0 42964
Description: The empty set belongs to any Caratheodory's construction. First part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragen0.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragen0.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragen0 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragen0
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragen0.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2821 . 2 dom 𝑂 = dom 𝑂
3 caragen0.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 0elpw 5229 . . 3 ∅ ∈ 𝒫 dom 𝑂
54a1i 11 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 dom 𝑂)
6 in0 4318 . . . . . 6 (𝑎 ∩ ∅) = ∅
76fveq2i 6646 . . . . 5 (𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) = (𝑂‘∅)
8 dif0 4305 . . . . . 6 (𝑎 ∖ ∅) = 𝑎
98fveq2i 6646 . . . . 5 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅)) = (𝑂𝑎)
107, 9oveq12i 7142 . . . 4 ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂𝑎))
1110a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂𝑎)))
121ome0 42955 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
1312adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘∅) = 0)
1413oveq1d 7145 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂𝑎)) = (0 +𝑒 (𝑂𝑎)))
15 iccssxr 12798 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
161adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
17 elpwi 4521 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑎 dom 𝑂)
1817adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑎 dom 𝑂)
1916, 2, 18omecl 42961 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,]+∞))
2015, 19sseldi 3941 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ*)
2120xaddid2d 41769 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑂𝑎)) = (𝑂𝑎))
2211, 14, 213eqtrd 2860 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = (𝑂𝑎))
231, 2, 3, 5, 22carageneld 42960 1 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4266  𝒫 cpw 4512   cuni 4811  dom cdm 5528  cfv 6328  (class class class)co 7130  0cc0 10514  +∞cpnf 10649  *cxr 10651   +𝑒 cxad 12483  [,]cicc 12719  OutMeascome 42947  CaraGenccaragen 42949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-xadd 12486  df-icc 12723  df-ome 42948  df-caragen 42950
This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  42973  caragenunicl  42982  caragensal  42983  caratheodory  42986
  Copyright terms: Public domain W3C validator