Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragen0 44821
Description: The empty set belongs to any Caratheodory's construction. First part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragen0.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragen0.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
caragen0 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragen0
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragen0.o . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2737 . 2 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
3 caragen0.s . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
4 0elpw 5316 . . 3 βˆ… ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
6 in0 4356 . . . . . 6 (π‘Ž ∩ βˆ…) = βˆ…
76fveq2i 6850 . . . . 5 (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆ…)) = (π‘‚β€˜βˆ…)
8 dif0 4337 . . . . . 6 (π‘Ž βˆ– βˆ…) = π‘Ž
98fveq2i 6850 . . . . 5 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆ…)) = (π‘‚β€˜π‘Ž)
107, 9oveq12i 7374 . . . 4 ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆ…)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆ…))) = ((π‘‚β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž))
1110a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆ…)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆ…))) = ((π‘‚β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž)))
121ome0 44812 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
1312adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
1413oveq1d 7377 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž)) = (0 +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž)))
15 iccssxr 13354 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
161adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
17 elpwi 4572 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1817adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1916, 2, 18omecl 44818 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
2015, 19sselid 3947 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
2120xaddid2d 43627 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ (0 +𝑒 (π‘‚β€˜π‘Ž)) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
2211, 14, 213eqtrd 2781 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ βˆ…)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– βˆ…))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
231, 2, 3, 5, 22carageneld 44817 1 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   +𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13274  OutMeascome 44804  CaraGenccaragen 44806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-xadd 13041  df-icc 13278  df-ome 44805  df-caragen 44807
This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  44830  caragenunicl  44839  caragensal  44840  caratheodory  44843
  Copyright terms: Public domain W3C validator