Theorem cbvixpv 8703

Description: Change bound variable in an indexed Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvixpv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvixpv	⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = X𝑦 ∈ 𝐴 𝐶

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem cbvixpv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2907	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2907	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
3		cbvixpv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 2, 3	cbvixp 8702	1 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = X𝑦 ∈ 𝐴 𝐶

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  Xcixp 8685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-iota 6391  df-fn 6436  df-fv 6441  df-ixp 8686

This theorem is referenced by:  funcpropd  17616  invfuc  17692  natpropd  17694  dprdw  19613  dprdwd  19614  ptuni2  22727  ptbasin  22728  ptbasfi  22732  ptpjopn  22763  ptclsg  22766  dfac14  22769  ptcnp  22773  ptcmplem2  23204  ptcmpg  23208  prdsxmslem2  23685  upixp  35887  rrxsnicc  43841  ioorrnopn  43846  ioorrnopnxr  43848  ovnsubadd  44110  hoidmvlelem4  44136  hoidmvle  44138  hspdifhsp  44154  hoiqssbllem2  44161  hspmbl  44167  hoimbl  44169  opnvonmbl  44172  ovnovollem3  44196