Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnovollem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnovollem3 45360
Description: The 1-dimensional Lebesgue outer measure agrees with the Lebesgue outer measure on subsets of Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnovollem3.a (𝜑𝐴𝑉)
ovnovollem3.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
ovnovollem3.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
ovnovollem3.n 𝑁 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
Assertion
Ref Expression
ovnovollem3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵m {𝐴})) = (vol*‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧   𝐵,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝑁   𝑘,𝑉   𝜑,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑉(𝑧,𝑓,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem ovnovollem3
Dummy variables 𝑛 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovnovollem3.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
21snn0d 4778 . . . 4 (𝜑 → {𝐴} ≠ ∅)
32neneqd 2945 . . 3 (𝜑 → ¬ {𝐴} = ∅)
43iffalsed 4538 . 2 (𝜑 → if({𝐴} = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
5 snfi 9040 . . . 4 {𝐴} ∈ Fin
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
7 reex 11197 . . . . 5 ℝ ∈ V
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ V)
9 ovnovollem3.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
10 mapss 8879 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
118, 9, 10syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐵m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
12 ovnovollem3.m . . 3 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
136, 11, 12ovnval2 45247 . 2 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵m {𝐴})) = if({𝐴} = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )))
14 ovnovollem3.n . . . 4 𝑁 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
159, 14ovolval5 45357 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐵) = inf(𝑁, ℝ*, < ))
161ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝐴𝑉)
17 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ))
18 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑗))
1918opeq2d 4879 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑗 → ⟨𝐴, (𝑓𝑛)⟩ = ⟨𝐴, (𝑓𝑗)⟩)
2019sneqd 4639 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → {⟨𝐴, (𝑓𝑛)⟩} = {⟨𝐴, (𝑓𝑗)⟩})
2120cbvmptv 5260 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ {⟨𝐴, (𝑓𝑛)⟩}) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ {⟨𝐴, (𝑓𝑗)⟩})
22 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓))
238, 9ssexd 5323 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ V)
2423adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) → 𝐵 ∈ V)
2524adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝐵 ∈ V)
26 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))
2716, 17, 21, 22, 25, 26ovnovollem1 45358 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))))
2827rexlimdva2 3157 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))) → ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))))
2913ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝐴𝑉)
30233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝐵 ∈ V)
31 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ))
32 simp3l 1201 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))
33 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑛 → (𝑖𝑗) = (𝑖𝑛))
3433coeq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑛 → ([,) ∘ (𝑖𝑗)) = ([,) ∘ (𝑖𝑛)))
3534fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑛 → (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘))
3635ixpeq2dv 8903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑛X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘))
37 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑙 → (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘) = (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
3837cbvixpv 8905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘) = X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑛X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘) = X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
4036, 39eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑛X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
4140cbviunv 5042 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)
4241sseq2i 4010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ↔ (𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
4342biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
4432, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
45 simp3r 1202 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))
4635fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑛 → (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)))
4746prodeq2ad 44294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)))
4837fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑙 → (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))
4948cbvprodv 15856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)) = ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)) = ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))
5147, 50eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))
5251cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))
5352fveq2i 6891 . . . . . . . . . . . . 13 ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))))
5453eqeq2i 2745 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ↔ 𝑧 = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))))
5554biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))))
5645, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))))
57 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑖𝑚) = (𝑖𝑛))
5857fveq1d 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑖𝑚)‘𝐴) = ((𝑖𝑛)‘𝐴))
5958cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑖𝑚)‘𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑖𝑛)‘𝐴))
6029, 30, 31, 44, 56, 59ovnovollem2 45359 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))))
61603exp 1119 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) → (((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))))))
6261rexlimdv 3153 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))))
6328, 62impbid 211 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))))
6463rabbidv 3440 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))})
6514a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑁 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))})
6612a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))})
6764, 65, 663eqtr4d 2782 . . . 4 (𝜑𝑁 = 𝑀)
6867infeq1d 9468 . . 3 (𝜑 → inf(𝑁, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
6915, 68eqtrd 2772 . 2 (𝜑 → (vol*‘𝐵) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
704, 13, 693eqtr4d 2782 1 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵m {𝐴})) = (vol*‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  wss 3947  c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  cop 4633   cuni 4907   ciun 4996  cmpt 5230   × cxp 5673  ran crn 5676  ccom 5679  cfv 6540  (class class class)co 7405  m cmap 8816  Xcixp 8887  Fincfn 8935  infcinf 9432  cr 11105  0cc0 11106  *cxr 11243   < clt 11244  cn 12208  [,)cico 13322  cprod 15845  vol*covol 24970  volcvol 24971  Σ^csumge0 45064  voln*covoln 45238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-sumge0 45065  df-ovoln 45239
This theorem is referenced by:  ovnovol  45361
  Copyright terms: Public domain W3C validator