Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnovollem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnovollem3 44889
Description: The 1-dimensional Lebesgue outer measure agrees with the Lebesgue outer measure on subsets of Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnovollem3.a (𝜑𝐴𝑉)
ovnovollem3.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
ovnovollem3.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
ovnovollem3.n 𝑁 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
Assertion
Ref Expression
ovnovollem3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵m {𝐴})) = (vol*‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧   𝐵,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝑁   𝑘,𝑉   𝜑,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑉(𝑧,𝑓,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem ovnovollem3
Dummy variables 𝑛 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovnovollem3.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
21snn0d 4736 . . . 4 (𝜑 → {𝐴} ≠ ∅)
32neneqd 2948 . . 3 (𝜑 → ¬ {𝐴} = ∅)
43iffalsed 4497 . 2 (𝜑 → if({𝐴} = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
5 snfi 8988 . . . 4 {𝐴} ∈ Fin
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
7 reex 11142 . . . . 5 ℝ ∈ V
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ V)
9 ovnovollem3.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
10 mapss 8827 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
118, 9, 10syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐵m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
12 ovnovollem3.m . . 3 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
136, 11, 12ovnval2 44776 . 2 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵m {𝐴})) = if({𝐴} = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )))
14 ovnovollem3.n . . . 4 𝑁 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
159, 14ovolval5 44886 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐵) = inf(𝑁, ℝ*, < ))
161ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝐴𝑉)
17 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ))
18 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑗))
1918opeq2d 4837 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑗 → ⟨𝐴, (𝑓𝑛)⟩ = ⟨𝐴, (𝑓𝑗)⟩)
2019sneqd 4598 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → {⟨𝐴, (𝑓𝑛)⟩} = {⟨𝐴, (𝑓𝑗)⟩})
2120cbvmptv 5218 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ {⟨𝐴, (𝑓𝑛)⟩}) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ {⟨𝐴, (𝑓𝑗)⟩})
22 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓))
238, 9ssexd 5281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ V)
2423adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) → 𝐵 ∈ V)
2524adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝐵 ∈ V)
26 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))
2716, 17, 21, 22, 25, 26ovnovollem1 44887 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))))
2827rexlimdva2 3154 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))) → ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))))
2913ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝐴𝑉)
30233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝐵 ∈ V)
31 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ))
32 simp3l 1201 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))
33 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑛 → (𝑖𝑗) = (𝑖𝑛))
3433coeq2d 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑛 → ([,) ∘ (𝑖𝑗)) = ([,) ∘ (𝑖𝑛)))
3534fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑛 → (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘))
3635ixpeq2dv 8851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑛X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘))
37 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑙 → (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘) = (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
3837cbvixpv 8853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘) = X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑛X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘) = X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
4036, 39eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑛X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
4140cbviunv 5000 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)
4241sseq2i 3973 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ↔ (𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
4342biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
4432, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
45 simp3r 1202 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))
4635fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑛 → (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)))
4746prodeq2ad 43823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)))
4837fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑙 → (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))
4948cbvprodv 15799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)) = ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)) = ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))
5147, 50eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))
5251cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))
5352fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . 13 ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))))
5453eqeq2i 2749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ↔ 𝑧 = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))))
5554biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))))
5645, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))))
57 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑖𝑚) = (𝑖𝑛))
5857fveq1d 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑖𝑚)‘𝐴) = ((𝑖𝑛)‘𝐴))
5958cbvmptv 5218 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑖𝑚)‘𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑖𝑛)‘𝐴))
6029, 30, 31, 44, 56, 59ovnovollem2 44888 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))))
61603exp 1119 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) → (((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))))))
6261rexlimdv 3150 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))))
6328, 62impbid 211 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))))
6463rabbidv 3415 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))})
6514a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑁 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))})
6612a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))})
6764, 65, 663eqtr4d 2786 . . . 4 (𝜑𝑁 = 𝑀)
6867infeq1d 9413 . . 3 (𝜑 → inf(𝑁, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
6915, 68eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (vol*‘𝐵) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
704, 13, 693eqtr4d 2786 1 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵m {𝐴})) = (vol*‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586  cop 4592   cuni 4865   ciun 4954  cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634  ccom 5637  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Xcixp 8835  Fincfn 8883  infcinf 9377  cr 11050  0cc0 11051  *cxr 11188   < clt 11189  cn 12153  [,)cico 13266  cprod 15788  vol*covol 24826  volcvol 24827  Σ^csumge0 44593  voln*covoln 44767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-sumge0 44594  df-ovoln 44768
This theorem is referenced by:  ovnovol  44890
  Copyright terms: Public domain W3C validator