Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnovollem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnovollem3 43871
Description: The 1-dimensional Lebesgue outer measure agrees with the Lebesgue outer measure on subsets of Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnovollem3.a (𝜑𝐴𝑉)
ovnovollem3.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
ovnovollem3.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
ovnovollem3.n 𝑁 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
Assertion
Ref Expression
ovnovollem3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵m {𝐴})) = (vol*‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧   𝐵,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝑁   𝑘,𝑉   𝜑,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘)   𝑉(𝑧,𝑓,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem ovnovollem3
Dummy variables 𝑛 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovnovollem3.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
21snn0d 4691 . . . 4 (𝜑 → {𝐴} ≠ ∅)
32neneqd 2945 . . 3 (𝜑 → ¬ {𝐴} = ∅)
43iffalsed 4450 . 2 (𝜑 → if({𝐴} = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
5 snfi 8721 . . . 4 {𝐴} ∈ Fin
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
7 reex 10820 . . . . 5 ℝ ∈ V
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ V)
9 ovnovollem3.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
10 mapss 8570 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
118, 9, 10syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐵m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
12 ovnovollem3.m . . 3 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
136, 11, 12ovnval2 43758 . 2 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵m {𝐴})) = if({𝐴} = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )))
14 ovnovollem3.n . . . 4 𝑁 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
159, 14ovolval5 43868 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐵) = inf(𝑁, ℝ*, < ))
161ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝐴𝑉)
17 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ))
18 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑗))
1918opeq2d 4791 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑗 → ⟨𝐴, (𝑓𝑛)⟩ = ⟨𝐴, (𝑓𝑗)⟩)
2019sneqd 4553 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → {⟨𝐴, (𝑓𝑛)⟩} = {⟨𝐴, (𝑓𝑗)⟩})
2120cbvmptv 5158 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ {⟨𝐴, (𝑓𝑛)⟩}) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ {⟨𝐴, (𝑓𝑗)⟩})
22 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓))
238, 9ssexd 5217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ V)
2423adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) → 𝐵 ∈ V)
2524adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝐵 ∈ V)
26 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))
2716, 17, 21, 22, 25, 26ovnovollem1 43869 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)) ∧ (𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))) → ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))))
2827rexlimdva2 3206 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))) → ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))))
2913ad2ant1 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝐴𝑉)
30233ad2ant1 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝐵 ∈ V)
31 simp2 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ))
32 simp3l 1203 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))
33 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑛 → (𝑖𝑗) = (𝑖𝑛))
3433coeq2d 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑛 → ([,) ∘ (𝑖𝑗)) = ([,) ∘ (𝑖𝑛)))
3534fveq1d 6719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑛 → (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘))
3635ixpeq2dv 8594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑛X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘))
37 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑙 → (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘) = (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
3837cbvixpv 8596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘) = X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑛X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘) = X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
4036, 39eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑛X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
4140cbviunv 4949 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)
4241sseq2i 3930 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ↔ (𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
4342biimpi 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
4432, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑙 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
45 simp3r 1204 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))
4635fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑛 → (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)))
4746prodeq2ad 42808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)))
4837fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑙 → (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))
4948cbvprodv 15478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)) = ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑘)) = ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))
5147, 50eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))
5251cbvmptv 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))
5352fveq2i 6720 . . . . . . . . . . . . 13 ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙))))
5453eqeq2i 2750 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ↔ 𝑧 = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))))
5554biimpi 219 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))))
5645, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑙 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑛))‘𝑙)))))
57 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑖𝑚) = (𝑖𝑛))
5857fveq1d 6719 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑖𝑚)‘𝐴) = ((𝑖𝑛)‘𝐴))
5958cbvmptv 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑖𝑚)‘𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑖𝑛)‘𝐴))
6029, 30, 31, 44, 56, 59ovnovollem2 43870 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) ∧ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))) → ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))))
61603exp 1121 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ) → (((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))))))
6261rexlimdv 3202 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))) → ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))))
6328, 62impbid 215 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))))
6463rabbidv 3390 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))})
6514a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑁 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐵 ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))})
6612a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m {𝐴}) ↑m ℕ)((𝐵m {𝐴}) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ {𝐴} (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ {𝐴} (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))})
6764, 65, 663eqtr4d 2787 . . . 4 (𝜑𝑁 = 𝑀)
6867infeq1d 9093 . . 3 (𝜑 → inf(𝑁, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
6915, 68eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (vol*‘𝐵) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
704, 13, 693eqtr4d 2787 1 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝐵m {𝐴})) = (vol*‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408  wss 3866  c0 4237  ifcif 4439  {csn 4541  cop 4547   cuni 4819   ciun 4904  cmpt 5135   × cxp 5549  ran crn 5552  ccom 5555  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508  Xcixp 8578  Fincfn 8626  infcinf 9057  cr 10728  0cc0 10729  *cxr 10866   < clt 10867  cn 11830  [,)cico 12937  cprod 15467  vol*covol 24359  volcvol 24360  Σ^csumge0 43575  voln*covoln 43749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-prod 15468  df-rest 16927  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843  df-cmp 22284  df-ovol 24361  df-vol 24362  df-sumge0 43576  df-ovoln 43750
This theorem is referenced by:  ovnovol  43872
  Copyright terms: Public domain W3C validator