Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem2 46579
Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem2.i 𝑖𝜑
hoiqssbllem2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem2.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem2.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem2.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem2.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem2.l ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
hoiqssbllem2.r ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem2 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐸   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbllem2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem2.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
3 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋)
42, 3rrxdsfi 25459 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
7 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑌 → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
87adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
9 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑓 → (𝑖) = (𝑓𝑖))
109adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (𝑖) = (𝑓𝑖))
118, 10oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → ((𝑔𝑖) − (𝑖)) = ((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖)))
1211oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2) = (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
1312sumeq2sdv 15736 . . . . . . . . 9 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2) = Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
1413fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
1514adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ (𝑔 = 𝑌 = 𝑓)) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
16 hoiqssbllem2.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
18 hoiqssbllem2.i . . . . . . . . . 10 𝑖𝜑
19 hoiqssbllem2.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
2019ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
21 hoiqssbllem2.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
2221ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
2322rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ*)
2418, 20, 23hoissrrn2 46534 . . . . . . . . 9 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
26 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
2725, 26sseldd 3996 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
28 fvexd 6922 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) ∈ V)
296, 15, 17, 27, 28ovmpod 7585 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
30 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑓
31 nfixp1 8957 . . . . . . . . . 10 𝑖X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))
3230, 31nfel 2918 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))
3318, 32nfan 1897 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
34 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝜑)
3534, 1syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
36 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
3716, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
3837ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
3934, 38sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
40 icossre 13465 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℝ*) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
4120, 23, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
4241adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
43 fvixp2 45142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4443adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4542, 44sseldd 3996 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
4639, 45resubcld 11689 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
47 2nn0 12541 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 2 ∈ ℕ0)
4946, 48reexpcld 14200 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5033, 35, 49fsumreclf 45532 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
51 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑗))
52 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝐷𝑖) = (𝐷𝑗))
5351, 52oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) = ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5453cbvixpv 8954 . . . . . . . . . . 11 X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) = X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))
5554eleq2i 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5655biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5756adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
581adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
59 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
6055biimpri 228 . . . . . . . . . . 11 (𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
6160ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
62 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
6359, 61, 62, 49syl21anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
6446sqge0d 14174 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6559, 61, 62, 64syl21anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6658, 63, 65fsumge0 15828 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6734, 57, 66syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6850, 67resqrtcld 15453 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
6929, 68eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) ∈ ℝ)
7022, 20resubcld 11689 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
7170resqcld 14162 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
721, 71fsumrecl 15767 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
7370sqge0d 14174 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
741, 71, 73fsumge0 15828 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
7572, 74resqrtcld 15453 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
7675adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
77 hoiqssbllem2.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
7877rpred 13075 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7978adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝐸 ∈ ℝ)
80 hoiqssbllem2.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
8180adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
8271adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
8334, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
8434, 20sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
8583, 84resubcld 11689 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
8620rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ*)
8738rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
88 2rp 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
90 hashnncl 14402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
911, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9280, 91mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
9392nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
9492nngt0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑋))
9593, 94elrpd 13072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
9695rpsqrtcld 15447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
9789, 96rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
9877, 97rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
9998rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
10138, 100resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
102101rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
103 hoiqssbllem2.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
104 iooltub 45463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
105102, 87, 103, 104syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
10620, 38, 105ltled 11407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ≤ (𝑌𝑖))
10738, 100readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
108107rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
109 hoiqssbllem2.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
110 ioogtlb 45448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
11187, 108, 109, 110syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
11286, 23, 87, 106, 111elicod 13434 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
11334, 112sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
114 icodiamlt 15471 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ∧ (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
11584, 83, 113, 44, 114syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
116 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ∈ ℝ)
11720, 38, 22, 106, 111lelttrd 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝐷𝑖))
11820, 22posdifd 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖) < (𝐷𝑖) ↔ 0 < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
119117, 118mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
120116, 70, 119ltled 11407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
12170, 120absidd 15458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
122121eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) = (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
123122adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) = (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
124115, 123breqtrd 5174 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
12546, 85, 124abslt2sqd 45310 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12659, 61, 62, 125syl21anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12758, 81, 63, 82, 126fsumlt 15833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12834, 57, 127syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12934, 72syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
13034, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
13150, 67, 129, 130sqrtltd 15463 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ↔ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))))
132128, 131mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
13329, 132eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
13478, 96rerpdivcld 13106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ)
135134resqcld 14162 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
136135adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
13722, 20jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ))
138107, 101jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ))
139137, 138jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)))
140 iooltub 45463 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
14187, 108, 109, 140syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
142 ioogtlb 45448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖))
143102, 87, 103, 142syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖))
144141, 143jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖)))
145 lt2sub 11759 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)) → (((𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖)) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
146139, 144, 145sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
14738recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℂ)
148100recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℂ)
149147, 148, 148pnncand 11657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))) = ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
15078recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
15196rpcnd 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℂ)
152 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15396rpne0d 13080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ≠ 0)
15489rpne0d 13080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≠ 0)
155150, 151, 152, 153, 154divdiv3d 45309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2) = (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))
156155eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) = ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2))
157156, 156oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = (((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2) + ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2)))
158150, 151, 153divcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℂ)
1591582halvesd 12510 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2) + ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2)) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
160157, 159eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
162149, 161eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
163146, 162breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
164134adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ)
165 0red 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16696rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
16777rpgt0d 13078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐸)
16896rpgt0d 13078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (√‘(♯‘𝑋)))
16978, 166, 167, 168divgt0d 12201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
170165, 134, 169ltled 11407 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
171170adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
172 lt2sq 14170 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))) ∧ ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ↔ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
17370, 120, 164, 171, 172syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ↔ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
174163, 173mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
1751, 80, 71, 136, 174fsumlt 15833 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
1761, 136fsumrecl 15767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
177164sqge0d 14174 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
1781, 136, 177fsumge0 15828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
17972, 74, 176, 178sqrtltd 15463 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ↔ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))))
180175, 179mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
181135recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℂ)
182 fsumconst 15823 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ Fin ∧ ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((♯‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
1831, 181, 182syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((♯‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
184 sqdiv 14158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℂ ∧ (√‘(♯‘𝑋)) ≠ 0) → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / ((√‘(♯‘𝑋))↑2)))
185150, 151, 153, 184syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / ((√‘(♯‘𝑋))↑2)))
18693recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
187 sqrtth 15400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑋) ∈ ℂ → ((√‘(♯‘𝑋))↑2) = (♯‘𝑋))
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘(♯‘𝑋))↑2) = (♯‘𝑋))
189188oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸↑2) / ((√‘(♯‘𝑋))↑2)) = ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋)))
190185, 189eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋)))
191190oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)) = ((♯‘𝑋) · ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋))))
192150sqcld 14181 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
193165, 94gtned 11394 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑋) ≠ 0)
194192, 186, 193divcan2d 12043 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑋) · ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋))) = (𝐸↑2))
195183, 191, 1943eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = (𝐸↑2))
196195fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)) = (√‘(𝐸↑2)))
197165, 78, 167ltled 11407 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
198 sqrtsq 15305 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
19978, 197, 198syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
200 eqidd 2736 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = 𝐸)
201196, 199, 2003eqtrd 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)) = 𝐸)
202180, 201breqtrd 5174 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < 𝐸)
203202adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < 𝐸)
20469, 76, 79, 133, 203lttrd 11420 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸)
205 eqid 2735 . . . . . . . 8 (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
206205rrxmetfi 25460 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
207 metxmet 24360 . . . . . . 7 ((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
2081, 206, 2073syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
209208adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
21079rexrd 11309 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝐸 ∈ ℝ*)
21127, 3eleqtrdi 2849 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
212 elbl2 24416 . . . . 5 ((((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) ∧ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))) → (𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸))
213209, 210, 17, 211, 212syl22anc 839 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸))
214204, 213mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
215214ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
216 dfss3 3984 . 2 (X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
217215, 216sylibr 234 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  Xcixp 8936  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  cexp 14099  chash 14366  csqrt 15269  abscabs 15270  Σcsu 15719  distcds 17307  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368  ballcbl 21369  ℝ^crrx 25431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-nm 24611  df-tng 24613  df-tcph 25217  df-rrx 25433
This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  46580
  Copyright terms: Public domain W3C validator