Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem2 44854
Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem2.i 𝑖𝜑
hoiqssbllem2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem2.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem2.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem2.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem2.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem2.l ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
hoiqssbllem2.r ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem2 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐸   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbllem2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem2.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
3 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋)
42, 3rrxdsfi 24775 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
65adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
7 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑌 → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
87adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
9 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑓 → (𝑖) = (𝑓𝑖))
109adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (𝑖) = (𝑓𝑖))
118, 10oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → ((𝑔𝑖) − (𝑖)) = ((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖)))
1211oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2) = (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
1312sumeq2sdv 15589 . . . . . . . . 9 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2) = Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
1413fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ (𝑔 = 𝑌 = 𝑓)) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
16 hoiqssbllem2.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
18 hoiqssbllem2.i . . . . . . . . . 10 𝑖𝜑
19 hoiqssbllem2.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
2019ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
21 hoiqssbllem2.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
2221ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
2322rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ*)
2418, 20, 23hoissrrn2 44809 . . . . . . . . 9 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
2524adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
26 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
2725, 26sseldd 3945 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
28 fvexd 6857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) ∈ V)
296, 15, 17, 27, 28ovmpod 7507 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
30 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑓
31 nfixp1 8856 . . . . . . . . . 10 𝑖X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))
3230, 31nfel 2921 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))
3318, 32nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
34 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝜑)
3534, 1syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
36 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
3716, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
3837ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
3934, 38sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
40 icossre 13345 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℝ*) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
4120, 23, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
4241adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
43 fvixp2 43409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4443adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4542, 44sseldd 3945 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
4639, 45resubcld 11583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
47 2nn0 12430 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 2 ∈ ℕ0)
4946, 48reexpcld 14068 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5033, 35, 49fsumreclf 43807 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
51 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑗))
52 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝐷𝑖) = (𝐷𝑗))
5351, 52oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) = ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5453cbvixpv 8853 . . . . . . . . . . 11 X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) = X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))
5554eleq2i 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5655biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5756adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
581adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
59 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
6055biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 (𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
6160ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
62 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
6359, 61, 62, 49syl21anc 836 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
6446sqge0d 14042 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6559, 61, 62, 64syl21anc 836 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6658, 63, 65fsumge0 15680 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6734, 57, 66syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6850, 67resqrtcld 15302 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
6929, 68eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) ∈ ℝ)
7022, 20resubcld 11583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
7170resqcld 14030 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
721, 71fsumrecl 15619 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
7370sqge0d 14042 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
741, 71, 73fsumge0 15680 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
7572, 74resqrtcld 15302 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
7675adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
77 hoiqssbllem2.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
7877rpred 12957 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7978adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝐸 ∈ ℝ)
80 hoiqssbllem2.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
8180adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
8271adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
8334, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
8434, 20sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
8583, 84resubcld 11583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
8620rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ*)
8738rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
88 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
90 hashnncl 14266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
911, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9280, 91mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
9392nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
9492nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑋))
9593, 94elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
9695rpsqrtcld 15296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
9789, 96rpmulcld 12973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
9877, 97rpdivcld 12974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
9998rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
10138, 100resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
102101rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
103 hoiqssbllem2.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
104 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
105102, 87, 103, 104syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
10620, 38, 105ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ≤ (𝑌𝑖))
10738, 100readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
108107rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
109 hoiqssbllem2.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
110 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
11187, 108, 109, 110syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
11286, 23, 87, 106, 111elicod 13314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
11334, 112sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
114 icodiamlt 15320 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ∧ (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
11584, 83, 113, 44, 114syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
116 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ∈ ℝ)
11720, 38, 22, 106, 111lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝐷𝑖))
11820, 22posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖) < (𝐷𝑖) ↔ 0 < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
119117, 118mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
120116, 70, 119ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
12170, 120absidd 15307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
122121eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) = (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
123122adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) = (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
124115, 123breqtrd 5131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
12546, 85, 124abslt2sqd 43584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12659, 61, 62, 125syl21anc 836 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12758, 81, 63, 82, 126fsumlt 15685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12834, 57, 127syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12934, 72syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
13034, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
13150, 67, 129, 130sqrtltd 15312 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ↔ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))))
132128, 131mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
13329, 132eqbrtrd 5127 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
13478, 96rerpdivcld 12988 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ)
135134resqcld 14030 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
136135adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
13722, 20jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ))
138107, 101jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ))
139137, 138jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)))
140 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
14187, 108, 109, 140syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
142 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖))
143102, 87, 103, 142syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖))
144141, 143jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖)))
145 lt2sub 11653 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)) → (((𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖)) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
146139, 144, 145sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
14738recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℂ)
148100recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℂ)
149147, 148, 148pnncand 11551 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))) = ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
15078recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
15196rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℂ)
152 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15396rpne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ≠ 0)
15489rpne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≠ 0)
155150, 151, 152, 153, 154divdiv3d 43583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2) = (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))
156155eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) = ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2))
157156, 156oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = (((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2) + ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2)))
158150, 151, 153divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℂ)
1591582halvesd 12399 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2) + ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2)) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
160157, 159eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
161160adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
162149, 161eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
163146, 162breqtrd 5131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
164134adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ)
165 0red 11158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16696rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
16777rpgt0d 12960 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐸)
16896rpgt0d 12960 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (√‘(♯‘𝑋)))
16978, 166, 167, 168divgt0d 12090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
170165, 134, 169ltled 11303 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
171170adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
172 lt2sq 14038 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))) ∧ ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ↔ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
17370, 120, 164, 171, 172syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ↔ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
174163, 173mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
1751, 80, 71, 136, 174fsumlt 15685 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
1761, 136fsumrecl 15619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
177164sqge0d 14042 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
1781, 136, 177fsumge0 15680 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
17972, 74, 176, 178sqrtltd 15312 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ↔ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))))
180175, 179mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
181135recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℂ)
182 fsumconst 15675 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ Fin ∧ ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((♯‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
1831, 181, 182syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((♯‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
184 sqdiv 14026 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℂ ∧ (√‘(♯‘𝑋)) ≠ 0) → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / ((√‘(♯‘𝑋))↑2)))
185150, 151, 153, 184syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / ((√‘(♯‘𝑋))↑2)))
18693recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
187 sqrtth 15249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑋) ∈ ℂ → ((√‘(♯‘𝑋))↑2) = (♯‘𝑋))
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘(♯‘𝑋))↑2) = (♯‘𝑋))
189188oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸↑2) / ((√‘(♯‘𝑋))↑2)) = ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋)))
190185, 189eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋)))
191190oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)) = ((♯‘𝑋) · ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋))))
192150sqcld 14049 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
193165, 94gtned 11290 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑋) ≠ 0)
194192, 186, 193divcan2d 11933 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑋) · ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋))) = (𝐸↑2))
195183, 191, 1943eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = (𝐸↑2))
196195fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)) = (√‘(𝐸↑2)))
197165, 78, 167ltled 11303 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
198 sqrtsq 15154 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
19978, 197, 198syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
200 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = 𝐸)
201196, 199, 2003eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)) = 𝐸)
202180, 201breqtrd 5131 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < 𝐸)
203202adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < 𝐸)
20469, 76, 79, 133, 203lttrd 11316 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸)
205 eqid 2736 . . . . . . . 8 (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
206205rrxmetfi 24776 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
207 metxmet 23687 . . . . . . 7 ((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
2081, 206, 2073syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
209208adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
21079rexrd 11205 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝐸 ∈ ℝ*)
21127, 3eleqtrdi 2848 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
212 elbl2 23743 . . . . 5 ((((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) ∧ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))) → (𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸))
213209, 210, 17, 211, 212syl22anc 837 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸))
214204, 213mpbird 256 . . 3 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
215214ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
216 dfss3 3932 . 2 (X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
217215, 216sylibr 233 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  m cmap 8765  Xcixp 8835  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  cexp 13967  chash 14230  csqrt 15118  abscabs 15119  Σcsu 15570  distcds 17142  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  ballcbl 20783  ℝ^crrx 24747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-field 20188  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-nm 23938  df-tng 23940  df-tcph 24533  df-rrx 24749
This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  44855
  Copyright terms: Public domain W3C validator