Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hoiqssbllem2.x |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β Fin) |
2 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . . 10
β’
(β^βπ) =
(β^βπ) |
3 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . . 10
β’ (β
βm π) =
(β βm π) |
4 | 2, 3 | rrxdsfi 24919 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β Fin β
(distβ(β^βπ)) = (π β (β βm π), β β (β βm π) β¦
(ββΞ£π
β π (((πβπ) β (ββπ))β2)))) |
5 | 1, 4 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (π β
(distβ(β^βπ)) = (π β (β βm π), β β (β βm π) β¦
(ββΞ£π
β π (((πβπ) β (ββπ))β2)))) |
6 | 5 | adantr 481 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (distβ(β^βπ)) = (π β (β βm π), β β (β βm π) β¦
(ββΞ£π
β π (((πβπ) β (ββπ))β2)))) |
7 | | fveq1 6887 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
8 | 7 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π = π β§ β = π) β (πβπ) = (πβπ)) |
9 | | fveq1 6887 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (β = π β (ββπ) = (πβπ)) |
10 | 9 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π = π β§ β = π) β (ββπ) = (πβπ)) |
11 | 8, 10 | oveq12d 7423 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π = π β§ β = π) β ((πβπ) β (ββπ)) = ((πβπ) β (πβπ))) |
12 | 11 | oveq1d 7420 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π = π β§ β = π) β (((πβπ) β (ββπ))β2) = (((πβπ) β (πβπ))β2)) |
13 | 12 | sumeq2sdv 15646 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π = π β§ β = π) β Ξ£π β π (((πβπ) β (ββπ))β2) = Ξ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2)) |
14 | 13 | fveq2d 6892 |
. . . . . . . 8
β’ ((π = π β§ β = π) β (ββΞ£π β π (((πβπ) β (ββπ))β2)) = (ββΞ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2))) |
15 | 14 | adantl 482 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ (π = π β§ β = π)) β (ββΞ£π β π (((πβπ) β (ββπ))β2)) = (ββΞ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2))) |
16 | | hoiqssbllem2.y |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β (β βm π)) |
17 | 16 | adantr 481 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β π β (β βm π)) |
18 | | hoiqssbllem2.i |
. . . . . . . . . 10
β’
β²ππ |
19 | | hoiqssbllem2.c |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΆ:πβΆβ) |
20 | 19 | ffvelcdmda 7083 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β π) β (πΆβπ) β β) |
21 | | hoiqssbllem2.d |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π·:πβΆβ) |
22 | 21 | ffvelcdmda 7083 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β π) β (π·βπ) β β) |
23 | 22 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β π) β (π·βπ) β
β*) |
24 | 18, 20, 23 | hoissrrn2 45280 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β Xπ β
π ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β (β βm π)) |
25 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β (β βm π)) |
26 | | simpr 485 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
27 | 25, 26 | sseldd 3982 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β π β (β βm π)) |
28 | | fvexd 6903 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (ββΞ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2)) β V) |
29 | 6, 15, 17, 27, 28 | ovmpod 7556 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (π(distβ(β^βπ))π) = (ββΞ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2))) |
30 | | nfcv 2903 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²ππ |
31 | | nfixp1 8908 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²πXπ β
π ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) |
32 | 30, 31 | nfel 2917 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π π β Xπ β
π ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) |
33 | 18, 32 | nfan 1902 |
. . . . . . . 8
β’
β²π(π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
34 | | simpl 483 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β π) |
35 | 34, 1 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β π β Fin) |
36 | | elmapi 8839 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (β
βm π)
β π:πβΆβ) |
37 | 16, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π:πβΆβ) |
38 | 37 | ffvelcdmda 7083 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β π) β (πβπ) β β) |
39 | 34, 38 | sylan 580 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (πβπ) β β) |
40 | | icossre 13401 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΆβπ) β β β§ (π·βπ) β β*) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β β) |
41 | 20, 23, 40 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β π) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β β) |
42 | 41 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β β) |
43 | | fvixp2 43883 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β Xπ β
π ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β§ π β π) β (πβπ) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
44 | 43 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (πβπ) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
45 | 42, 44 | sseldd 3982 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (πβπ) β β) |
46 | 39, 45 | resubcld 11638 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β ((πβπ) β (πβπ)) β β) |
47 | | 2nn0 12485 |
. . . . . . . . . 10
β’ 2 β
β0 |
48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β 2 β
β0) |
49 | 46, 48 | reexpcld 14124 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (((πβπ) β (πβπ))β2) β β) |
50 | 33, 35, 49 | fsumreclf 44278 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β Ξ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2) β β) |
51 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (πΆβπ) = (πΆβπ)) |
52 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (π·βπ) = (π·βπ)) |
53 | 51, 52 | oveq12d 7423 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) = ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
54 | 53 | cbvixpv 8905 |
. . . . . . . . . . 11
β’ Xπ β
π ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) = Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) |
55 | 54 | eleq2i 2825 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β Xπ β
π ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
56 | 55 | biimpi 215 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β Xπ β
π ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
57 | 56 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
58 | 1 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β π β Fin) |
59 | | simpll 765 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β π) |
60 | 55 | biimpri 227 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β Xπ β
π ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
61 | 60 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
62 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β π β π) |
63 | 59, 61, 62, 49 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (((πβπ) β (πβπ))β2) β β) |
64 | 46 | sqge0d 14098 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β 0 β€ (((πβπ) β (πβπ))β2)) |
65 | 59, 61, 62, 64 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β 0 β€ (((πβπ) β (πβπ))β2)) |
66 | 58, 63, 65 | fsumge0 15737 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β 0 β€ Ξ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2)) |
67 | 34, 57, 66 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β 0 β€ Ξ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2)) |
68 | 50, 67 | resqrtcld 15360 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (ββΞ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2)) β β) |
69 | 29, 68 | eqeltrd 2833 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (π(distβ(β^βπ))π) β β) |
70 | 22, 20 | resubcld 11638 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β π) β ((π·βπ) β (πΆβπ)) β β) |
71 | 70 | resqcld 14086 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π) β (((π·βπ) β (πΆβπ))β2) β β) |
72 | 1, 71 | fsumrecl 15676 |
. . . . . . 7
β’ (π β Ξ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2) β β) |
73 | 70 | sqge0d 14098 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π) β 0 β€ (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) |
74 | 1, 71, 73 | fsumge0 15737 |
. . . . . . 7
β’ (π β 0 β€ Ξ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) |
75 | 72, 74 | resqrtcld 15360 |
. . . . . 6
β’ (π β
(ββΞ£π
β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) β β) |
76 | 75 | adantr 481 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (ββΞ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) β β) |
77 | | hoiqssbllem2.e |
. . . . . . 7
β’ (π β πΈ β
β+) |
78 | 77 | rpred 13012 |
. . . . . 6
β’ (π β πΈ β β) |
79 | 78 | adantr 481 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β πΈ β β) |
80 | | hoiqssbllem2.n |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β β
) |
81 | 80 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β π β β
) |
82 | 71 | adantlr 713 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (((π·βπ) β (πΆβπ))β2) β β) |
83 | 34, 22 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (π·βπ) β β) |
84 | 34, 20 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (πΆβπ) β β) |
85 | 83, 84 | resubcld 11638 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β ((π·βπ) β (πΆβπ)) β β) |
86 | 20 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β π) β (πΆβπ) β
β*) |
87 | 38 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β π) β (πβπ) β
β*) |
88 | | 2rp 12975 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ 2 β
β+ |
89 | 88 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β 2 β
β+) |
90 | | hashnncl 14322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π β Fin β
((β―βπ) β
β β π β
β
)) |
91 | 1, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π β ((β―βπ) β β β π β β
)) |
92 | 80, 91 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π β (β―βπ) β
β) |
93 | 92 | nnred 12223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β (β―βπ) β
β) |
94 | 92 | nngt0d 12257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β 0 <
(β―βπ)) |
95 | 93, 94 | elrpd 13009 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (β―βπ) β
β+) |
96 | 95 | rpsqrtcld 15354 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β
(ββ(β―βπ)) β
β+) |
97 | 89, 96 | rpmulcld 13028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (2 Β·
(ββ(β―βπ))) β
β+) |
98 | 77, 97 | rpdivcld 13029 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))) β
β+) |
99 | 98 | rpred 13012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))) β β) |
100 | 99 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β π) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))) β β) |
101 | 38, 100 | resubcld 11638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β π) β ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β β) |
102 | 101 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β π) β ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β
β*) |
103 | | hoiqssbllem2.l |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β π) β (πΆβπ) β (((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))))(,)(πβπ))) |
104 | | iooltub 44209 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β β* β§
(πβπ) β β* β§ (πΆβπ) β (((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))))(,)(πβπ))) β (πΆβπ) < (πβπ)) |
105 | 102, 87, 103, 104 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β π) β (πΆβπ) < (πβπ)) |
106 | 20, 38, 105 | ltled 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β π) β (πΆβπ) β€ (πβπ)) |
107 | 38, 100 | readdcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β π) β ((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β β) |
108 | 107 | rexrd 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β π) β ((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β
β*) |
109 | | hoiqssbllem2.r |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β π) β (π·βπ) β ((πβπ)(,)((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))))) |
110 | | ioogtlb 44194 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πβπ) β β* β§ ((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β β* β§
(π·βπ) β ((πβπ)(,)((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))))) β (πβπ) < (π·βπ)) |
111 | 87, 108, 109, 110 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β π) β (πβπ) < (π·βπ)) |
112 | 86, 23, 87, 106, 111 | elicod 13370 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β π) β (πβπ) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
113 | 34, 112 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (πβπ) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
114 | | icodiamlt 15378 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΆβπ) β β β§ (π·βπ) β β) β§ ((πβπ) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β§ (πβπ) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ)))) β (absβ((πβπ) β (πβπ))) < ((π·βπ) β (πΆβπ))) |
115 | 84, 83, 113, 44, 114 | syl22anc 837 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (absβ((πβπ) β (πβπ))) < ((π·βπ) β (πΆβπ))) |
116 | | 0red 11213 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β π) β 0 β β) |
117 | 20, 38, 22, 106, 111 | lelttrd 11368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β π) β (πΆβπ) < (π·βπ)) |
118 | 20, 22 | posdifd 11797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β π) β ((πΆβπ) < (π·βπ) β 0 < ((π·βπ) β (πΆβπ)))) |
119 | 117, 118 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β π) β 0 < ((π·βπ) β (πΆβπ))) |
120 | 116, 70, 119 | ltled 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β π) β 0 β€ ((π·βπ) β (πΆβπ))) |
121 | 70, 120 | absidd 15365 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β π) β (absβ((π·βπ) β (πΆβπ))) = ((π·βπ) β (πΆβπ))) |
122 | 121 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π) β ((π·βπ) β (πΆβπ)) = (absβ((π·βπ) β (πΆβπ)))) |
123 | 122 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β ((π·βπ) β (πΆβπ)) = (absβ((π·βπ) β (πΆβπ)))) |
124 | 115, 123 | breqtrd 5173 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (absβ((πβπ) β (πβπ))) < (absβ((π·βπ) β (πΆβπ)))) |
125 | 46, 85, 124 | abslt2sqd 44056 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (((πβπ) β (πβπ))β2) < (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) |
126 | 59, 61, 62, 125 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β§ π β π) β (((πβπ) β (πβπ))β2) < (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) |
127 | 58, 81, 63, 82, 126 | fsumlt 15742 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β Ξ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2) < Ξ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) |
128 | 34, 57, 127 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β Ξ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2) < Ξ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) |
129 | 34, 72 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β Ξ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2) β β) |
130 | 34, 74 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β 0 β€ Ξ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) |
131 | 50, 67, 129, 130 | sqrtltd 15370 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (Ξ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2) < Ξ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2) β (ββΞ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2)) < (ββΞ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)))) |
132 | 128, 131 | mpbid 231 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (ββΞ£π β π (((πβπ) β (πβπ))β2)) < (ββΞ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2))) |
133 | 29, 132 | eqbrtrd 5169 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (π(distβ(β^βπ))π) < (ββΞ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2))) |
134 | 78, 96 | rerpdivcld 13043 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πΈ / (ββ(β―βπ))) β
β) |
135 | 134 | resqcld 14086 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2) β
β) |
136 | 135 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β π) β ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2) β
β) |
137 | 22, 20 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π) β ((π·βπ) β β β§ (πΆβπ) β β)) |
138 | 107, 101 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π) β (((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β β β§ ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β β)) |
139 | 137, 138 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β π) β (((π·βπ) β β β§ (πΆβπ) β β) β§ (((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β β β§ ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β β))) |
140 | | iooltub 44209 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πβπ) β β* β§ ((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β β* β§
(π·βπ) β ((πβπ)(,)((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))))) β (π·βπ) < ((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))))) |
141 | 87, 108, 109, 140 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π) β (π·βπ) < ((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))))) |
142 | | ioogtlb 44194 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β β* β§
(πβπ) β β* β§ (πΆβπ) β (((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))))(,)(πβπ))) β ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) < (πΆβπ)) |
143 | 102, 87, 103, 142 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π) β ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) < (πΆβπ)) |
144 | 141, 143 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β π) β ((π·βπ) < ((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β§ ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) < (πΆβπ))) |
145 | | lt2sub 11708 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π·βπ) β β β§ (πΆβπ) β β) β§ (((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β β β§ ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β β)) β (((π·βπ) < ((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β§ ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) < (πΆβπ)) β ((π·βπ) β (πΆβπ)) < (((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))))))) |
146 | 139, 144,
145 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β π) β ((π·βπ) β (πΆβπ)) < (((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))))) |
147 | 38 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π) β (πβπ) β β) |
148 | 100 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))) β β) |
149 | 147, 148,
148 | pnncand 11606 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β π) β (((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))))) = ((πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))))) |
150 | 78 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β πΈ β β) |
151 | 96 | rpcnd 13014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β
(ββ(β―βπ)) β β) |
152 | | 2cnd 12286 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β 2 β
β) |
153 | 96 | rpne0d 13017 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β
(ββ(β―βπ)) β 0) |
154 | 89 | rpne0d 13017 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β 2 β 0) |
155 | 150, 151,
152, 153, 154 | divdiv3d 44055 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β ((πΈ / (ββ(β―βπ))) / 2) = (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) |
156 | 155 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))) = ((πΈ / (ββ(β―βπ))) / 2)) |
157 | 156, 156 | oveq12d 7423 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ((πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) = (((πΈ / (ββ(β―βπ))) / 2) + ((πΈ / (ββ(β―βπ))) / 2))) |
158 | 150, 151,
153 | divcld 11986 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (πΈ / (ββ(β―βπ))) β
β) |
159 | 158 | 2halvesd 12454 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (((πΈ / (ββ(β―βπ))) / 2) + ((πΈ / (ββ(β―βπ))) / 2)) = (πΈ / (ββ(β―βπ)))) |
160 | 157, 159 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β ((πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) = (πΈ / (ββ(β―βπ)))) |
161 | 160 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β π) β ((πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) = (πΈ / (ββ(β―βπ)))) |
162 | 149, 161 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β π) β (((πβπ) + (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ))))) β ((πβπ) β (πΈ / (2 Β·
(ββ(β―βπ)))))) = (πΈ / (ββ(β―βπ)))) |
163 | 146, 162 | breqtrd 5173 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β π) β ((π·βπ) β (πΆβπ)) < (πΈ / (ββ(β―βπ)))) |
164 | 134 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β π) β (πΈ / (ββ(β―βπ))) β
β) |
165 | | 0red 11213 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β 0 β
β) |
166 | 96 | rpred 13012 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β
(ββ(β―βπ)) β β) |
167 | 77 | rpgt0d 13015 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β 0 < πΈ) |
168 | 96 | rpgt0d 13015 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β 0 <
(ββ(β―βπ))) |
169 | 78, 166, 167, 168 | divgt0d 12145 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β 0 < (πΈ / (ββ(β―βπ)))) |
170 | 165, 134,
169 | ltled 11358 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β 0 β€ (πΈ / (ββ(β―βπ)))) |
171 | 170 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β π) β 0 β€ (πΈ / (ββ(β―βπ)))) |
172 | | lt2sq 14094 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π·βπ) β (πΆβπ)) β β β§ 0 β€ ((π·βπ) β (πΆβπ))) β§ ((πΈ / (ββ(β―βπ))) β β β§ 0 β€
(πΈ /
(ββ(β―βπ))))) β (((π·βπ) β (πΆβπ)) < (πΈ / (ββ(β―βπ))) β (((π·βπ) β (πΆβπ))β2) < ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2))) |
173 | 70, 120, 164, 171, 172 | syl22anc 837 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β π) β (((π·βπ) β (πΆβπ)) < (πΈ / (ββ(β―βπ))) β (((π·βπ) β (πΆβπ))β2) < ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2))) |
174 | 163, 173 | mpbid 231 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β π) β (((π·βπ) β (πΆβπ))β2) < ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2)) |
175 | 1, 80, 71, 136, 174 | fsumlt 15742 |
. . . . . . . 8
β’ (π β Ξ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2) < Ξ£π β π ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2)) |
176 | 1, 136 | fsumrecl 15676 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β Ξ£π β π ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2) β
β) |
177 | 164 | sqge0d 14098 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β π) β 0 β€ ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2)) |
178 | 1, 136, 177 | fsumge0 15737 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β 0 β€ Ξ£π β π ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2)) |
179 | 72, 74, 176, 178 | sqrtltd 15370 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (Ξ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2) < Ξ£π β π ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2) β
(ββΞ£π
β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) < (ββΞ£π β π ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2)))) |
180 | 175, 179 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
β’ (π β
(ββΞ£π
β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) < (ββΞ£π β π ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2))) |
181 | 135 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2) β
β) |
182 | | fsumconst 15732 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β Fin β§ ((πΈ /
(ββ(β―βπ)))β2) β β) β
Ξ£π β π ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2) =
((β―βπ) Β·
((πΈ /
(ββ(β―βπ)))β2))) |
183 | 1, 181, 182 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β Ξ£π β π ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2) =
((β―βπ) Β·
((πΈ /
(ββ(β―βπ)))β2))) |
184 | | sqdiv 14082 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΈ β β β§
(ββ(β―βπ)) β β β§
(ββ(β―βπ)) β 0) β ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2) = ((πΈβ2) /
((ββ(β―βπ))β2))) |
185 | 150, 151,
153, 184 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2) = ((πΈβ2) /
((ββ(β―βπ))β2))) |
186 | 93 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (β―βπ) β
β) |
187 | | sqrtth 15307 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
((β―βπ)
β β β ((ββ(β―βπ))β2) = (β―βπ)) |
188 | 186, 187 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β
((ββ(β―βπ))β2) = (β―βπ)) |
189 | 188 | oveq2d 7421 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((πΈβ2) /
((ββ(β―βπ))β2)) = ((πΈβ2) / (β―βπ))) |
190 | 185, 189 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2) = ((πΈβ2) / (β―βπ))) |
191 | 190 | oveq2d 7421 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((β―βπ) Β· ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2)) =
((β―βπ) Β·
((πΈβ2) /
(β―βπ)))) |
192 | 150 | sqcld 14105 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πΈβ2) β β) |
193 | 165, 94 | gtned 11345 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (β―βπ) β 0) |
194 | 192, 186,
193 | divcan2d 11988 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((β―βπ) Β· ((πΈβ2) / (β―βπ))) = (πΈβ2)) |
195 | 183, 191,
194 | 3eqtrd 2776 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β Ξ£π β π ((πΈ / (ββ(β―βπ)))β2) = (πΈβ2)) |
196 | 195 | fveq2d 6892 |
. . . . . . . 8
β’ (π β
(ββΞ£π
β π ((πΈ /
(ββ(β―βπ)))β2)) = (ββ(πΈβ2))) |
197 | 165, 78, 167 | ltled 11358 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β 0 β€ πΈ) |
198 | | sqrtsq 15212 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΈ β β β§ 0 β€
πΈ) β
(ββ(πΈβ2))
= πΈ) |
199 | 78, 197, 198 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (ββ(πΈβ2)) = πΈ) |
200 | | eqidd 2733 |
. . . . . . . 8
β’ (π β πΈ = πΈ) |
201 | 196, 199,
200 | 3eqtrd 2776 |
. . . . . . 7
β’ (π β
(ββΞ£π
β π ((πΈ /
(ββ(β―βπ)))β2)) = πΈ) |
202 | 180, 201 | breqtrd 5173 |
. . . . . 6
β’ (π β
(ββΞ£π
β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) < πΈ) |
203 | 202 | adantr 481 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (ββΞ£π β π (((π·βπ) β (πΆβπ))β2)) < πΈ) |
204 | 69, 76, 79, 133, 203 | lttrd 11371 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (π(distβ(β^βπ))π) < πΈ) |
205 | | eqid 2732 |
. . . . . . . 8
β’
(distβ(β^βπ)) = (distβ(β^βπ)) |
206 | 205 | rrxmetfi 24920 |
. . . . . . 7
β’ (π β Fin β
(distβ(β^βπ)) β (Metβ(β
βm π))) |
207 | | metxmet 23831 |
. . . . . . 7
β’
((distβ(β^βπ)) β (Metβ(β
βm π))
β (distβ(β^βπ)) β (βMetβ(β
βm π))) |
208 | 1, 206, 207 | 3syl 18 |
. . . . . 6
β’ (π β
(distβ(β^βπ)) β (βMetβ(β
βm π))) |
209 | 208 | adantr 481 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (distβ(β^βπ)) β
(βMetβ(β βm π))) |
210 | 79 | rexrd 11260 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β πΈ β
β*) |
211 | 27, 3 | eleqtrdi 2843 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β π β (β βm π)) |
212 | | elbl2 23887 |
. . . . 5
β’
((((distβ(β^βπ)) β (βMetβ(β
βm π))
β§ πΈ β
β*) β§ (π β (β βm π) β§ π β (β βm π))) β (π β (π(ballβ(distβ(β^βπ)))πΈ) β (π(distβ(β^βπ))π) < πΈ)) |
213 | 209, 210,
17, 211, 212 | syl22anc 837 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (π β (π(ballβ(distβ(β^βπ)))πΈ) β (π(distβ(β^βπ))π) < πΈ)) |
214 | 204, 213 | mpbird 256 |
. . 3
β’ ((π β§ π β Xπ β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β π β (π(ballβ(distβ(β^βπ)))πΈ)) |
215 | 214 | ralrimiva 3146 |
. 2
β’ (π β βπ β X π β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))π β (π(ballβ(distβ(β^βπ)))πΈ)) |
216 | | dfss3 3969 |
. 2
β’ (Xπ β
π ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β (π(ballβ(distβ(β^βπ)))πΈ) β βπ β X π β π ((πΆβπ)[,)(π·βπ))π β (π(ballβ(distβ(β^βπ)))πΈ)) |
217 | 215, 216 | sylibr 233 |
1
β’ (π β Xπ β
π ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β (π(ballβ(distβ(β^βπ)))πΈ)) |