Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem2 42782
Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem2.i 𝑖𝜑
hoiqssbllem2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem2.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem2.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem2.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem2.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem2.l ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
hoiqssbllem2.r ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem2 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐸   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbllem2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem2.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
3 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋)
42, 3rrxdsfi 23941 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
65adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
7 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑌 → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
87adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
9 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑓 → (𝑖) = (𝑓𝑖))
109adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (𝑖) = (𝑓𝑖))
118, 10oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → ((𝑔𝑖) − (𝑖)) = ((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖)))
1211oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2) = (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
1312sumeq2sdv 15049 . . . . . . . . 9 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2) = Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
1413fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ (𝑔 = 𝑌 = 𝑓)) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
16 hoiqssbllem2.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
18 hoiqssbllem2.i . . . . . . . . . 10 𝑖𝜑
19 hoiqssbllem2.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
2019ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
21 hoiqssbllem2.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
2221ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
2322rexrd 10679 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ*)
2418, 20, 23hoissrrn2 42737 . . . . . . . . 9 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
2524adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
26 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
2725, 26sseldd 3965 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
28 fvexd 6678 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) ∈ V)
296, 15, 17, 27, 28ovmpod 7291 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
30 nfcv 2974 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑓
31 nfixp1 8470 . . . . . . . . . 10 𝑖X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))
3230, 31nfel 2989 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))
3318, 32nfan 1891 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
34 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝜑)
3534, 1syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
36 elmapi 8417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
3716, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
3837ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
3934, 38sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
40 icossre 12805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℝ*) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
4120, 23, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
4241adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
43 fvixp2 41337 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4443adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4542, 44sseldd 3965 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
4639, 45resubcld 11056 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
47 2nn0 11902 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 2 ∈ ℕ0)
4946, 48reexpcld 13515 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5033, 35, 49fsumreclf 41733 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
51 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑗))
52 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝐷𝑖) = (𝐷𝑗))
5351, 52oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) = ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5453cbvixpv 8467 . . . . . . . . . . 11 X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) = X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))
5554eleq2i 2901 . . . . . . . . . 10 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5655biimpi 217 . . . . . . . . 9 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5756adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
581adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
59 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
6055biimpri 229 . . . . . . . . . . 11 (𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
6160ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
62 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
6359, 61, 62, 49syl21anc 833 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
6446sqge0d 13600 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6559, 61, 62, 64syl21anc 833 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6658, 63, 65fsumge0 15138 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6734, 57, 66syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6850, 67resqrtcld 14765 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
6929, 68eqeltrd 2910 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) ∈ ℝ)
7022, 20resubcld 11056 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
7170resqcld 13599 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
721, 71fsumrecl 15079 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
7370sqge0d 13600 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
741, 71, 73fsumge0 15138 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
7572, 74resqrtcld 14765 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
7675adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
77 hoiqssbllem2.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
7877rpred 12419 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7978adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝐸 ∈ ℝ)
80 hoiqssbllem2.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
8180adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
8271adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
8334, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
8434, 20sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
8583, 84resubcld 11056 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
8620rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ*)
8738rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
88 2rp 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
90 hashnncl 13715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
911, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9280, 91mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
9392nnred 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
9492nngt0d 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑋))
9593, 94elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
9695rpsqrtcld 14759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
9789, 96rpmulcld 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
9877, 97rpdivcld 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
9998rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
10138, 100resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
102101rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
103 hoiqssbllem2.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
104 iooltub 41662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
105102, 87, 103, 104syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
10620, 38, 105ltled 10776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ≤ (𝑌𝑖))
10738, 100readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
108107rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
109 hoiqssbllem2.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
110 ioogtlb 41646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
11187, 108, 109, 110syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
11286, 23, 87, 106, 111elicod 12775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
11334, 112sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
114 icodiamlt 14783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ∧ (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
11584, 83, 113, 44, 114syl22anc 834 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
116 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ∈ ℝ)
11720, 38, 22, 106, 111lelttrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝐷𝑖))
11820, 22posdifd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖) < (𝐷𝑖) ↔ 0 < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
119117, 118mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
120116, 70, 119ltled 10776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
12170, 120absidd 14770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
122121eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) = (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
123122adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) = (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
124115, 123breqtrd 5083 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
12546, 85, 124abslt2sqd 41504 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12659, 61, 62, 125syl21anc 833 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12758, 81, 63, 82, 126fsumlt 15143 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12834, 57, 127syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12934, 72syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
13034, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
13150, 67, 129, 130sqrtltd 14775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ↔ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))))
132128, 131mpbid 233 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
13329, 132eqbrtrd 5079 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
13478, 96rerpdivcld 12450 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ)
135134resqcld 13599 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
136135adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
13722, 20jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ))
138107, 101jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ))
139137, 138jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)))
140 iooltub 41662 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
14187, 108, 109, 140syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
142 ioogtlb 41646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖))
143102, 87, 103, 142syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖))
144141, 143jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖)))
145 lt2sub 11126 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)) → (((𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖)) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
146139, 144, 145sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
14738recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℂ)
148100recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℂ)
149147, 148, 148pnncand 11024 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))) = ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
15078recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
15196rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℂ)
152 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15396rpne0d 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ≠ 0)
15489rpne0d 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≠ 0)
155150, 151, 152, 153, 154divdiv3d 41503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2) = (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))
156155eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) = ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2))
157156, 156oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = (((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2) + ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2)))
158150, 151, 153divcld 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℂ)
1591582halvesd 11871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2) + ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2)) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
160157, 159eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
161160adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
162149, 161eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
163146, 162breqtrd 5083 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
164134adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ)
165 0red 10632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16696rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
16777rpgt0d 12422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐸)
16896rpgt0d 12422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (√‘(♯‘𝑋)))
16978, 166, 167, 168divgt0d 11563 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
170165, 134, 169ltled 10776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
171170adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
172 lt2sq 13486 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))) ∧ ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ↔ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
17370, 120, 164, 171, 172syl22anc 834 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ↔ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
174163, 173mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
1751, 80, 71, 136, 174fsumlt 15143 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
1761, 136fsumrecl 15079 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
177164sqge0d 13600 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
1781, 136, 177fsumge0 15138 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
17972, 74, 176, 178sqrtltd 14775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ↔ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))))
180175, 179mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
181135recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℂ)
182 fsumconst 15133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ Fin ∧ ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((♯‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
1831, 181, 182syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((♯‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
184 sqdiv 13475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℂ ∧ (√‘(♯‘𝑋)) ≠ 0) → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / ((√‘(♯‘𝑋))↑2)))
185150, 151, 153, 184syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / ((√‘(♯‘𝑋))↑2)))
18693recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
187 sqrtth 14712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑋) ∈ ℂ → ((√‘(♯‘𝑋))↑2) = (♯‘𝑋))
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘(♯‘𝑋))↑2) = (♯‘𝑋))
189188oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸↑2) / ((√‘(♯‘𝑋))↑2)) = ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋)))
190185, 189eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋)))
191190oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)) = ((♯‘𝑋) · ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋))))
192150sqcld 13496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
193165, 94gtned 10763 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑋) ≠ 0)
194192, 186, 193divcan2d 11406 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑋) · ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋))) = (𝐸↑2))
195183, 191, 1943eqtrd 2857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = (𝐸↑2))
196195fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)) = (√‘(𝐸↑2)))
197165, 78, 167ltled 10776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
198 sqrtsq 14617 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
19978, 197, 198syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
200 eqidd 2819 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = 𝐸)
201196, 199, 2003eqtrd 2857 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)) = 𝐸)
202180, 201breqtrd 5083 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < 𝐸)
203202adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < 𝐸)
20469, 76, 79, 133, 203lttrd 10789 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸)
205 eqid 2818 . . . . . . . 8 (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
206205rrxmetfi 23942 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
207 metxmet 22871 . . . . . . 7 ((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
2081, 206, 2073syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
209208adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
21079rexrd 10679 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝐸 ∈ ℝ*)
21127, 3eleqtrdi 2920 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
212 elbl2 22927 . . . . 5 ((((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) ∧ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))) → (𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸))
213209, 210, 17, 211, 212syl22anc 834 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸))
214204, 213mpbird 258 . . 3 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
215214ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
216 dfss3 3953 . 2 (X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
217215, 216sylibr 235 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  m cmap 8395  Xcixp 8449  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  +crp 12377  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  cexp 13417  chash 13678  csqrt 14580  abscabs 14581  Σcsu 15030  distcds 16562  ∞Metcxmet 20458  Metcmet 20459  ballcbl 20460  ℝ^crrx 23913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-cnfld 20474  df-refld 20677  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-nm 23119  df-tng 23121  df-tcph 23700  df-rrx 23915
This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  42783
  Copyright terms: Public domain W3C validator