Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem2 46638
Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem2.i 𝑖𝜑
hoiqssbllem2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem2.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem2.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem2.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem2.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem2.l ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
hoiqssbllem2.r ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem2 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐸   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbllem2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem2.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
3 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋)
42, 3rrxdsfi 25445 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2))))
7 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑌 → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
87adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
9 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑓 → (𝑖) = (𝑓𝑖))
109adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (𝑖) = (𝑓𝑖))
118, 10oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → ((𝑔𝑖) − (𝑖)) = ((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖)))
1211oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2) = (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
1312sumeq2sdv 15739 . . . . . . . . 9 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2) = Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
1413fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝑔 = 𝑌 = 𝑓) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
1514adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ (𝑔 = 𝑌 = 𝑓)) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑔𝑖) − (𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
16 hoiqssbllem2.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
18 hoiqssbllem2.i . . . . . . . . . 10 𝑖𝜑
19 hoiqssbllem2.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
2019ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
21 hoiqssbllem2.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
2221ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
2322rexrd 11311 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ*)
2418, 20, 23hoissrrn2 46593 . . . . . . . . 9 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
26 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
2725, 26sseldd 3984 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
28 fvexd 6921 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) ∈ V)
296, 15, 17, 27, 28ovmpod 7585 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) = (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)))
30 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑓
31 nfixp1 8958 . . . . . . . . . 10 𝑖X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))
3230, 31nfel 2920 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))
3318, 32nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
34 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝜑)
3534, 1syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
36 elmapi 8889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
3716, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
3837ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
3934, 38sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
40 icossre 13468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℝ*) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
4120, 23, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
4241adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ ℝ)
43 fvixp2 45204 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4443adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4542, 44sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
4639, 45resubcld 11691 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
47 2nn0 12543 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 2 ∈ ℕ0)
4946, 48reexpcld 14203 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5033, 35, 49fsumreclf 45591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
51 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑗))
52 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝐷𝑖) = (𝐷𝑗))
5351, 52oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) = ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5453cbvixpv 8955 . . . . . . . . . . 11 X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) = X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))
5554eleq2i 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5655biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
5756adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
581adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
59 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
6055biimpri 228 . . . . . . . . . . 11 (𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
6160ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
62 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
6359, 61, 62, 49syl21anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) ∈ ℝ)
6446sqge0d 14177 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6559, 61, 62, 64syl21anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6658, 63, 65fsumge0 15831 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6734, 57, 66syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2))
6850, 67resqrtcld 15456 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
6929, 68eqeltrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) ∈ ℝ)
7022, 20resubcld 11691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
7170resqcld 14165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
721, 71fsumrecl 15770 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
7370sqge0d 14177 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
741, 71, 73fsumge0 15831 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
7572, 74resqrtcld 15456 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
7675adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
77 hoiqssbllem2.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
7877rpred 13077 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7978adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝐸 ∈ ℝ)
80 hoiqssbllem2.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
8180adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
8271adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
8334, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
8434, 20sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
8583, 84resubcld 11691 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
8620rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ*)
8738rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
88 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
90 hashnncl 14405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
911, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9280, 91mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
9392nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
9492nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑋))
9593, 94elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
9695rpsqrtcld 15450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
9789, 96rpmulcld 13093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
9877, 97rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
9998rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
10138, 100resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
102101rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
103 hoiqssbllem2.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
104 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
105102, 87, 103, 104syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
10620, 38, 105ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ≤ (𝑌𝑖))
10738, 100readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
108107rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
109 hoiqssbllem2.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
110 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
11187, 108, 109, 110syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
11286, 23, 87, 106, 111elicod 13437 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
11334, 112sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
114 icodiamlt 15474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ∧ (𝑓𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
11584, 83, 113, 44, 114syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
116 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ∈ ℝ)
11720, 38, 22, 106, 111lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝐷𝑖))
11820, 22posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐶𝑖) < (𝐷𝑖) ↔ 0 < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
119117, 118mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
120116, 70, 119ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
12170, 120absidd 15461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)))
122121eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) = (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
123122adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) = (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
124115, 123breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))) < (abs‘((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))))
12546, 85, 124abslt2sqd 45371 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12659, 61, 62, 125syl21anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12758, 81, 63, 82, 126fsumlt 15836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12834, 57, 127syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
12934, 72syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
13034, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
13150, 67, 129, 130sqrtltd 15466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ↔ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))))
132128, 131mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝑌𝑖) − (𝑓𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
13329, 132eqbrtrd 5165 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
13478, 96rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ)
135134resqcld 14165 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
136135adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
13722, 20jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ))
138107, 101jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ))
139137, 138jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)))
140 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
14187, 108, 109, 140syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
142 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖))
143102, 87, 103, 142syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖))
144141, 143jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖)))
145 lt2sub 11761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)) → (((𝐷𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∧ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝐶𝑖)) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
146139, 144, 145sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
14738recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℂ)
148100recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℂ)
149147, 148, 148pnncand 11659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))) = ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
15078recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
15196rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℂ)
152 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
15396rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ≠ 0)
15489rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≠ 0)
155150, 151, 152, 153, 154divdiv3d 45370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2) = (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))
156155eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) = ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2))
157156, 156oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = (((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2) + ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2)))
158150, 151, 153divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℂ)
1591582halvesd 12512 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2) + ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) / 2)) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
160157, 159eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
162149, 161eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) − ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
163146, 162breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
164134adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ)
165 0red 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16696rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
16777rpgt0d 13080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐸)
16896rpgt0d 13080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (√‘(♯‘𝑋)))
16978, 166, 167, 168divgt0d 12203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
170165, 134, 169ltled 11409 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
171170adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))
172 lt2sq 14173 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))) ∧ ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))))) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ↔ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
17370, 120, 164, 171, 172syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝑋))) ↔ (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
174163, 173mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
1751, 80, 71, 136, 174fsumlt 15836 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
1761, 136fsumrecl 15770 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℝ)
177164sqge0d 14177 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 ≤ ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
1781, 136, 177fsumge0 15831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))
17972, 74, 176, 178sqrtltd 15466 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) < Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ↔ (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2))))
180175, 179mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
181135recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℂ)
182 fsumconst 15826 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ Fin ∧ ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((♯‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
1831, 181, 182syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((♯‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)))
184 sqdiv 14161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℂ ∧ (√‘(♯‘𝑋)) ≠ 0) → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / ((√‘(♯‘𝑋))↑2)))
185150, 151, 153, 184syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / ((√‘(♯‘𝑋))↑2)))
18693recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
187 sqrtth 15403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑋) ∈ ℂ → ((√‘(♯‘𝑋))↑2) = (♯‘𝑋))
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘(♯‘𝑋))↑2) = (♯‘𝑋))
189188oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸↑2) / ((√‘(♯‘𝑋))↑2)) = ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋)))
190185, 189eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋)))
191190oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑋) · ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)) = ((♯‘𝑋) · ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋))))
192150sqcld 14184 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
193165, 94gtned 11396 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑋) ≠ 0)
194192, 186, 193divcan2d 12045 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑋) · ((𝐸↑2) / (♯‘𝑋))) = (𝐸↑2))
195183, 191, 1943eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2) = (𝐸↑2))
196195fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)) = (√‘(𝐸↑2)))
197165, 78, 167ltled 11409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
198 sqrtsq 15308 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
19978, 197, 198syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
200 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = 𝐸)
201196, 199, 2003eqtrd 2781 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 ((𝐸 / (√‘(♯‘𝑋)))↑2)) = 𝐸)
202180, 201breqtrd 5169 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < 𝐸)
203202adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (√‘Σ𝑖𝑋 (((𝐷𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) < 𝐸)
20469, 76, 79, 133, 203lttrd 11422 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸)
205 eqid 2737 . . . . . . . 8 (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
206205rrxmetfi 25446 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
207 metxmet 24344 . . . . . . 7 ((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
2081, 206, 2073syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
209208adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
21079rexrd 11311 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝐸 ∈ ℝ*)
21127, 3eleqtrdi 2851 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
212 elbl2 24400 . . . . 5 ((((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) ∧ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))) → (𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸))
213209, 210, 17, 211, 212syl22anc 839 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → (𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ (𝑌(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑓) < 𝐸))
214204, 213mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
215214ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
216 dfss3 3972 . 2 (X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))𝑓 ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
217215, 216sylibr 234 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  Xcixp 8937  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  cexp 14102  chash 14369  csqrt 15272  abscabs 15273  Σcsu 15722  distcds 17306  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  ballcbl 21351  ℝ^crrx 25417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-nm 24595  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419
This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  46639
  Copyright terms: Public domain W3C validator