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Theorem ptuni2 23071
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1 𝐡 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
Assertion
Ref Expression
ptuni2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘₯,𝑔,𝑦,π‘˜,𝑧,𝐴   𝑔,𝐹,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑔,𝑉,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔)
Proof of Theorem ptuni2
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4 𝐡 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
21ptbasid 23070 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡)
3 elssuni 4940 . . 3 (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐡)
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐡)
5 simpr2 1195 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))
6 elssuni 4940 . . . . . . . . . . 11 ((π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))
76ralimi 3083 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))
8 ss2ixp 8900 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))
95, 7, 83syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))
10 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘˜))
1110unieqd 4921 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘˜ β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
1211cbvixpv 8905 . . . . . . . . 9 X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)
139, 12sseqtrdi 4031 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
14 velpw 4606 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ π‘₯ βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
15 sseq1 4006 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) β†’ (π‘₯ βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
1614, 15bitrid 282 . . . . . . . 8 (π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
1713, 16syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
1817expimpd 454 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
1918exlimdv 1936 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
2019abssdv 4064 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† 𝒫 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
211, 20eqsstrid 4029 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ 𝐡 βŠ† 𝒫 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
22 sspwuni 5102 . . 3 (𝐡 βŠ† 𝒫 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆͺ 𝐡 βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
2321, 22sylib 217 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ βˆͺ 𝐡 βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
244, 23eqssd 3998 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  Xcixp 8887  Fincfn 8935  Topctop 22386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-ixp 8888  df-en 8936  df-fin 8939  df-top 22387
This theorem is referenced by:  ptbasin2  23073  ptbasfi  23076  ptuni  23089
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