Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdw 18770
 Description: The property of being a finitely supported function in the family 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdff.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dprdff.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprdw (𝜑 → (𝐹𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝐹   𝑥,𝐺   ,𝑖,𝐼,𝑥   0 ,   𝜑,𝑥   𝑆,,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(,𝑖)   𝑊(𝑥,,𝑖)   0 (𝑥,𝑖)

Proof of Theorem dprdw
StepHypRef Expression
1 elex 3429 . . . . 5 (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) → 𝐹 ∈ V)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) → 𝐹 ∈ V))
3 dprdff.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
4 dprdff.2 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
53, 4dprddomcld 18761 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
6 fnex 6742 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐼𝐼 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
76expcom 404 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → (𝐹 Fn 𝐼𝐹 ∈ V))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐼𝐹 ∈ V))
98adantrd 487 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)) → 𝐹 ∈ V))
10 fveq2 6437 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (𝑆𝑖) = (𝑆𝑥))
1110cbvixpv 8199 . . . . . . . 8 X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) = X𝑥𝐼 (𝑆𝑥)
1211eleq2i 2898 . . . . . . 7 (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ↔ 𝐹X𝑥𝐼 (𝑆𝑥))
13 elixp2 8185 . . . . . . 7 (𝐹X𝑥𝐼 (𝑆𝑥) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)))
14 3anass 1120 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))))
1512, 13, 143bitri 289 . . . . . 6 (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))))
1615baib 531 . . . . 5 (𝐹 ∈ V → (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))))
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ V → (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)))))
182, 9, 17pm5.21ndd 371 . . 3 (𝜑 → (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))))
1918anbi1d 623 . 2 (𝜑 → ((𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ↔ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
20 breq1 4878 . . 3 ( = 𝐹 → ( finSupp 0𝐹 finSupp 0 ))
21 dprdff.w . . 3 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
2220, 21elrab2 3589 . 2 (𝐹𝑊 ↔ (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
23 df-3an 1113 . 2 ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ↔ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
2419, 22, 233bitr4g 306 1 (𝜑 → (𝐹𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  {crab 3121  Vcvv 3414   class class class wbr 4875  dom cdm 5346   Fn wfn 6122  ‘cfv 6127  Xcixp 8181   finSupp cfsupp 8550   DProd cdprd 18753 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pr 5129  ax-un 7214 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-ixp 8182  df-dprd 18755 This theorem is referenced by:  dprdff  18772  dprdfcl  18773  dprdffsupp  18774  dprdsubg  18784
 Copyright terms: Public domain W3C validator