Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsubadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsubadd 44887
Description: (voln*β€˜π‘‹) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubadd.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ovnsubadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ovnsubadd (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑋   πœ‘,𝑛

Proof of Theorem ovnsubadd
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑙 𝑦 𝑧 𝑏 𝑑 𝑓 π‘š β„Ž π‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (voln*β€˜π‘‹) = (voln*β€˜βˆ…))
21fveq1d 6849 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) = ((voln*β€˜βˆ…)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)))
32adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) = ((voln*β€˜βˆ…)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)))
4 ovnsubadd.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
54adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
6 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
75, 6ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
8 elpwi 4572 . . . . . . . . . 10 ((π΄β€˜π‘›) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
109ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
11 iunss 5010 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
1210, 11sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
1312adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
14 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m βˆ…))
1514adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m βˆ…))
1613, 15sseqtrd 3989 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m βˆ…))
1716ovn0val 44865 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜βˆ…)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) = 0)
183, 17eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) = 0)
19 nnex 12166 . . . . . 6 β„• ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
21 ovnsubadd.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2221adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2322, 9ovncl 44882 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
24 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
2523, 24fmptd 7067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
2620, 25sge0ge0 44699 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))))
2726adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))))
2818, 27eqbrtrd 5132 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))))
2921, 12ovnxrcl 44884 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
3029adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
3120, 25sge0xrcl 44700 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
3231adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
3321ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
34 neqne 2952 . . . . 5 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
3534ad2antlr 726 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
364ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
37 simpr 486 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
38 eqid 2737 . . . 4 (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))}) = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))})
39 sseq1 3974 . . . . . 6 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ↔ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
4039rabbidv 3418 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} = {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
4140cbvmptv 5223 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)}) = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
42 eqid 2737 . . . 4 (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜))) = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
43 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘œ = 𝑗 β†’ (π‘™β€˜π‘œ) = (π‘™β€˜π‘—))
4443coeq2d 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘œ = 𝑗 β†’ ([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ)) = ([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—)))
4544fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘œ = 𝑗 β†’ (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘) = (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘‘))
4645ixpeq2dv 8858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘œ = 𝑗 β†’ X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘) = X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘‘))
47 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = π‘˜ β†’ (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘‘) = (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
4847cbvixpv 8860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘‘) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)
4946, 48eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘œ = 𝑗 β†’ X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
5049cbviunv 5005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)
5150sseq2i 3978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘) ↔ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
5251rabbii 3416 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)} = {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)}
5352mpteq2i 5215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)}) = (𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
5453fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) = ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘‘)
55 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = π‘Ž β†’ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘‘) = ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž))
5654, 55eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = π‘Ž β†’ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) = ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž))
5756eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = π‘Ž β†’ (π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ↔ π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž)))
58 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = π‘˜ β†’ (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)) = (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
5958cbvprodv 15806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜))
6059mpteq2i 5215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘))) = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘œ = 𝑗 β†’ (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘))) = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜))))
62 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘œ = 𝑗 β†’ (π‘šβ€˜π‘œ) = (π‘šβ€˜π‘—))
6361, 62fveq12d 6854 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘œ = 𝑗 β†’ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)) = ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))
6463cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))
6564fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . 12 (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—))))
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = π‘Ž β†’ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))))
67 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = π‘Ž β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž))
6867oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = π‘Ž β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓))
6966, 68breq12d 5123 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = π‘Ž β†’ ((Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)))
7057, 69anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = π‘Ž β†’ ((π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ∧ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓)) ↔ (π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓))))
7170rabbidva2 3412 . . . . . . . 8 (𝑑 = π‘Ž β†’ {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓)} = {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)})
72 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑖 β†’ (π‘šβ€˜π‘—) = (π‘–β€˜π‘—))
7372fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑖 β†’ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)) = ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))
7473mpteq2dv 5212 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑖 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—))))
7574fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑖 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))))
7675breq1d 5120 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑖 β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)))
7776cbvrabv 3420 . . . . . . . 8 {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)} = {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)}
7871, 77eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑑 = π‘Ž β†’ {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓)} = {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)})
7978mpteq2dv 5212 . . . . . 6 (𝑑 = π‘Ž β†’ (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓)}) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)}))
80 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑒 β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒))
8180breq2d 5122 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑒 β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)))
8281rabbidv 3418 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑒 β†’ {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)} = {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)})
8382cbvmptv 5223 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)}) = (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)})
8479, 83eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑑 = π‘Ž β†’ (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓)}) = (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)}))
8584cbvmptv 5223 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓)})) = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)}))
8633, 35, 36, 37, 38, 41, 42, 85ovnsubaddlem2 44886 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝑦))
8730, 32, 86xrlexaddrp 43660 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))))
8828, 87pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  Xcixp 8842  Fincfn 8890  β„cr 11057  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197  β„•cn 12160  β„+crp 12922   +𝑒 cxad 13038  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  βˆcprod 15795  volcvol 24843  Ξ£^csumge0 44677  voln*covoln 44851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-rest 17311  df-0g 17330  df-topgen 17332  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-subg 18932  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-sumge0 44678  df-ovoln 44852
This theorem is referenced by:  ovnome  44888  ovnsubadd2lem  44960
  Copyright terms: Public domain W3C validator