Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsubadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsubadd 45274
Description: (voln*β€˜π‘‹) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubadd.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ovnsubadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ovnsubadd (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑋   πœ‘,𝑛

Proof of Theorem ovnsubadd
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑙 𝑦 𝑧 𝑏 𝑑 𝑓 π‘š β„Ž π‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (voln*β€˜π‘‹) = (voln*β€˜βˆ…))
21fveq1d 6890 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) = ((voln*β€˜βˆ…)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)))
32adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) = ((voln*β€˜βˆ…)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)))
4 ovnsubadd.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
54adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
6 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
75, 6ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
8 elpwi 4608 . . . . . . . . . 10 ((π΄β€˜π‘›) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
109ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
11 iunss 5047 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
1210, 11sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
1312adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
14 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m βˆ…))
1514adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m βˆ…))
1613, 15sseqtrd 4021 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m βˆ…))
1716ovn0val 45252 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜βˆ…)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) = 0)
183, 17eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) = 0)
19 nnex 12214 . . . . . 6 β„• ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
21 ovnsubadd.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2322, 9ovncl 45269 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
24 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
2523, 24fmptd 7110 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
2620, 25sge0ge0 45086 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))))
2726adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))))
2818, 27eqbrtrd 5169 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))))
2921, 12ovnxrcl 45271 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
3029adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
3120, 25sge0xrcl 45087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
3231adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
3321ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
34 neqne 2948 . . . . 5 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
3534ad2antlr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
364ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
37 simpr 485 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
38 eqid 2732 . . . 4 (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))}) = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))})
39 sseq1 4006 . . . . . 6 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ↔ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
4039rabbidv 3440 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} = {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
4140cbvmptv 5260 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)}) = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
42 eqid 2732 . . . 4 (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜))) = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
43 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘œ = 𝑗 β†’ (π‘™β€˜π‘œ) = (π‘™β€˜π‘—))
4443coeq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘œ = 𝑗 β†’ ([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ)) = ([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—)))
4544fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘œ = 𝑗 β†’ (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘) = (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘‘))
4645ixpeq2dv 8903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘œ = 𝑗 β†’ X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘) = X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘‘))
47 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = π‘˜ β†’ (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘‘) = (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
4847cbvixpv 8905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘‘) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)
4946, 48eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘œ = 𝑗 β†’ X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
5049cbviunv 5042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)
5150sseq2i 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘) ↔ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
5251rabbii 3438 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)} = {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)}
5352mpteq2i 5252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)}) = (𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
5453fveq1i 6889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) = ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘‘)
55 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = π‘Ž β†’ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘‘) = ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž))
5654, 55eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = π‘Ž β†’ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) = ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž))
5756eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = π‘Ž β†’ (π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ↔ π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž)))
58 2fveq3 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = π‘˜ β†’ (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)) = (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
5958cbvprodv 15856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜))
6059mpteq2i 5252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘))) = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘œ = 𝑗 β†’ (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘))) = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜))))
62 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘œ = 𝑗 β†’ (π‘šβ€˜π‘œ) = (π‘šβ€˜π‘—))
6361, 62fveq12d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘œ = 𝑗 β†’ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)) = ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))
6463cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))
6564fveq2i 6891 . . . . . . . . . . . 12 (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—))))
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = π‘Ž β†’ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))))
67 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = π‘Ž β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž))
6867oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = π‘Ž β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓))
6966, 68breq12d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = π‘Ž β†’ ((Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)))
7057, 69anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑑 = π‘Ž β†’ ((π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ∧ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓)) ↔ (π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓))))
7170rabbidva2 3434 . . . . . . . 8 (𝑑 = π‘Ž β†’ {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓)} = {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)})
72 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑖 β†’ (π‘šβ€˜π‘—) = (π‘–β€˜π‘—))
7372fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑖 β†’ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)) = ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))
7473mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑖 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—))))
7574fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑖 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))))
7675breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑖 β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)))
7776cbvrabv 3442 . . . . . . . 8 {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘šβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)} = {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)}
7871, 77eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (𝑑 = π‘Ž β†’ {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓)} = {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)})
7978mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑑 = π‘Ž β†’ (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓)}) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)}))
80 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑒 β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒))
8180breq2d 5159 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑒 β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)))
8281rabbidv 3440 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑒 β†’ {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)} = {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)})
8382cbvmptv 5260 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑓)}) = (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)})
8479, 83eqtrdi 2788 . . . . 5 (𝑑 = π‘Ž β†’ (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓)}) = (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)}))
8584cbvmptv 5260 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ {π‘š ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ π‘œ ∈ β„• X𝑑 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘œ))β€˜π‘‘)})β€˜π‘‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘œ ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘‘)))β€˜(π‘šβ€˜π‘œ)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘‘) +𝑒 𝑓)})) = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ ((𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})β€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))β€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)}))
8633, 35, 36, 37, 38, 41, 42, 85ovnsubaddlem2 45273 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝑦))
8730, 32, 86xrlexaddrp 44048 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))))
8828, 87pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Xcixp 8887  Fincfn 8935  β„cr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  β„+crp 12970   +𝑒 cxad 13086  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  βˆcprod 15845  volcvol 24971  Ξ£^csumge0 45064  voln*covoln 45238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-sumge0 45065  df-ovoln 45239
This theorem is referenced by:  ovnome  45275  ovnsubadd2lem  45347
  Copyright terms: Public domain W3C validator