Theorem opnvonmbl 46663

Description: An open subset of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
opnvonmbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
opnvonmbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
opnvonmbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
opnvonmbl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem opnvonmbl

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnvonmbl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		opnvonmbl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
3		opnvonmbl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
4		fveq2 6876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖))
5	4	cbvixpv 8929	. . . . . 6 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ℎ → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖))
7		coeq2 5838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → ([,) ∘ 𝑓) = ([,) ∘ ℎ))
8	7	fveq1d 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ℎ → (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖) = (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
9	8	ixpeq2dv 8927	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ℎ → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
10	6, 9	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ℎ → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
11	10	sseq1d 3990	. . 3 ⊢ (𝑓 = ℎ → (X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) ⊆ 𝐺 ↔ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
12	11	cbvrabv 3426	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) ⊆ 𝐺} = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
13	1, 2, 3, 12	opnvonmbllem2 46662	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415   ⊆ wss 3926   × cxp 5652  dom cdm 5654   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  Xcixp 8911  Fincfn 8959  ℚcq 12964  [,)cico 13364  TopOpenctopn 17435  ℝ^crrx 25335  volncvoln 46567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-ac2 10477  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-acn 9956  df-ac 10130  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-prod 15920  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-drng 20691  df-field 20692  df-abv 20769  df-staf 20799  df-srng 20800  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lmhm 20980  df-lvec 21061  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-refld 21565  df-phl 21586  df-dsmm 21692  df-frlm 21707  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cmp 23325  df-xms 24259  df-ms 24260  df-nm 24521  df-ngp 24522  df-tng 24523  df-nrg 24524  df-nlm 24525  df-clm 25014  df-cph 25120  df-tcph 25121  df-rrx 25337  df-ovol 25417  df-vol 25418  df-salg 46338  df-sumge0 46392  df-mea 46479  df-ome 46519  df-caragen 46521  df-ovoln 46566  df-voln 46568

This theorem is referenced by:  borelmbl  46665  ioovonmbl  46706