Theorem opnvonmbl 47077

Description: An open subset of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
opnvonmbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
opnvonmbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
opnvonmbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
opnvonmbl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem opnvonmbl

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnvonmbl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		opnvonmbl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
3		opnvonmbl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
4		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖))
5	4	cbvixpv 8854	. . . . . 6 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ℎ → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖))
7		coeq2 5805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → ([,) ∘ 𝑓) = ([,) ∘ ℎ))
8	7	fveq1d 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ℎ → (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖) = (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
9	8	ixpeq2dv 8852	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ℎ → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
10	6, 9	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ℎ → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
11	10	sseq1d 3954	. . 3 ⊢ (𝑓 = ℎ → (X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) ⊆ 𝐺 ↔ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
12	11	cbvrabv 3400	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) ⊆ 𝐺} = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
13	1, 2, 3, 12	opnvonmbllem2 47076	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890   × cxp 5620  dom cdm 5622   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8764  Xcixp 8836  Fincfn 8884  ℚcq 12887  [,)cico 13289  TopOpenctopn 17373  ℝ^crrx 25359  volncvoln 46981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cc 10346  ax-ac2 10374  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-acn 9855  df-ac 10027  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-prod 15858  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-rhm 20441  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-drng 20697  df-field 20698  df-abv 20775  df-staf 20805  df-srng 20806  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lmhm 21007  df-lvec 21088  df-sra 21158  df-rgmod 21159  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-cnfld 21343  df-refld 21593  df-phl 21614  df-dsmm 21720  df-frlm 21735  df-top 22868  df-topon 22885  df-topsp 22907  df-bases 22920  df-cmp 23361  df-xms 24294  df-ms 24295  df-nm 24556  df-ngp 24557  df-tng 24558  df-nrg 24559  df-nlm 24560  df-clm 25039  df-cph 25144  df-tcph 25145  df-rrx 25361  df-ovol 25440  df-vol 25441  df-salg 46752  df-sumge0 46806  df-mea 46893  df-ome 46933  df-caragen 46935  df-ovoln 46980  df-voln 46982

This theorem is referenced by:  borelmbl  47079  ioovonmbl  47120