Theorem opnvonmbl 47348

Description: An open subset of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
opnvonmbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
opnvonmbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
opnvonmbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
opnvonmbl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem opnvonmbl

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnvonmbl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		opnvonmbl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
3		opnvonmbl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
4		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖))
5	4	cbvixpv 8909	. . . . . 6 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ℎ → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖))
7		coeq2 5844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → ([,) ∘ 𝑓) = ([,) ∘ ℎ))
8	7	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ℎ → (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖) = (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
9	8	ixpeq2dv 8907	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ℎ → X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑖) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
10	6, 9	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ℎ → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) = X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖))
11	10	sseq1d 3968	. . 3 ⊢ (𝑓 = ℎ → (X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) ⊆ 𝐺 ↔ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺))
12	11	cbvrabv 3426	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝑓)‘𝑘) ⊆ 𝐺} = {ℎ ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ ℎ)‘𝑖) ⊆ 𝐺}
13	1, 2, 3, 12	opnvonmbllem2 47347	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   ⊆ wss 3905   × cxp 5659  dom cdm 5661   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  Xcixp 8891  Fincfn 8939  ℚcq 12967  [,)cico 13369  TopOpenctopn 17469  ℝ^crrx 25542  volncvoln 47252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-ac2 10442  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-prod 15954  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-drng 20829  df-field 20830  df-abv 20912  df-staf 20942  df-srng 20943  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lmhm 21143  df-lvec 21224  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-refld 21755  df-phl 21776  df-dsmm 21882  df-frlm 21897  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cmp 23544  df-xms 24477  df-ms 24478  df-nm 24739  df-ngp 24740  df-tng 24741  df-nrg 24742  df-nlm 24743  df-clm 25222  df-cph 25327  df-tcph 25328  df-rrx 25544  df-ovol 25623  df-vol 25624  df-salg 47023  df-sumge0 47077  df-mea 47164  df-ome 47204  df-caragen 47206  df-ovoln 47251  df-voln 47253

This theorem is referenced by:  borelmbl  47350  ioovonmbl  47391