Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxsnicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxsnicc 45593
Description: A multidimensional singleton expressed as a multidimensional closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxsnicc.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
rrxsnicc (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {𝐴})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Proof of Theorem rrxsnicc
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfn 8899 . . . . . 6 (𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) → 𝑓 Fn 𝑋)
21adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) → 𝑓 Fn 𝑋)
3 rrxsnicc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
4 elmapfn 8861 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐴 Fn 𝑋)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 Fn 𝑋)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) → 𝐴 Fn 𝑋)
7 simpll 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) ∧ 𝑗𝑋) → 𝜑)
8 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
98, 8oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
109cbvixpv 8911 . . . . . . . . 9 X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))
1110eleq2i 2819 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
1211biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
1312ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) ∧ 𝑗𝑋) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
14 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) ∧ 𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
15 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
163, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
1716ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
1817adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
1918, 18iccssred 13417 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)) ⊆ ℝ)
20 fvixp2 44475 . . . . . . . . . 10 ((𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ∈ ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
2120adantll 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ∈ ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
2219, 21sseldd 3978 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ∈ ℝ)
2322rexrd 11268 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ∈ ℝ*)
2418rexrd 11268 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ*)
25 iccleub 13385 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑗) ∈ ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) → (𝑓𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
2624, 24, 21, 25syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
27 iccgelb 13386 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑗) ∈ ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) → (𝐴𝑗) ≤ (𝑓𝑗))
2824, 24, 21, 27syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ≤ (𝑓𝑗))
2923, 24, 26, 28xrletrid 13140 . . . . . 6 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) = (𝐴𝑗))
307, 13, 14, 29syl21anc 835 . . . . 5 (((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) = (𝐴𝑗))
312, 6, 30eqfnfvd 7029 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) → 𝑓 = 𝐴)
32 velsn 4639 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝐴} ↔ 𝑓 = 𝐴)
3332bicomi 223 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴𝑓 ∈ {𝐴})
3433biimpi 215 . . . 4 (𝑓 = 𝐴𝑓 ∈ {𝐴})
3531, 34syl 17 . . 3 ((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) → 𝑓 ∈ {𝐴})
3635ssd 44349 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ⊆ {𝐴})
373elexd 3489 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
3816ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
3938leidd 11784 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
4038, 38, 38, 39, 39eliccd 44794 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
4140ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
4237, 5, 413jca 1125 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
43 elixp2 8897 . . . 4 (𝐴X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
4442, 43sylibr 233 . . 3 (𝜑𝐴X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
45 snssg 4782 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → (𝐴X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ↔ {𝐴} ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
463, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ↔ {𝐴} ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
4744, 46mpbid 231 . 2 (𝜑 → {𝐴} ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
4836, 47eqssd 3994 1 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  Vcvv 3468  wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   Fn wfn 6532  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  m cmap 8822  Xcixp 8893  cr 11111  *cxr 11251  cle 11253  [,]cicc 13333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-icc 13337
This theorem is referenced by:  snvonmbl  45979  vonsn  45984
  Copyright terms: Public domain W3C validator