Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxsnicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxsnicc 45016
Description: A multidimensional singleton expressed as a multidimensional closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxsnicc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
rrxsnicc (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) = {𝐴})
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑋   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem rrxsnicc
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfn 8897 . . . . . 6 (𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) β†’ 𝑓 Fn 𝑋)
21adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) β†’ 𝑓 Fn 𝑋)
3 rrxsnicc.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
4 elmapfn 8859 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ 𝐴 Fn 𝑋)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn 𝑋)
65adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) β†’ 𝐴 Fn 𝑋)
7 simpll 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ πœ‘)
8 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘—))
98, 8oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)))
109cbvixpv 8909 . . . . . . . . 9 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) = X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))
1110eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) ↔ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)))
1211biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) β†’ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)))
1312ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)))
14 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
15 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
163, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
1716ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ)
1817adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ)
1918, 18iccssred 13411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
20 fvixp2 43898 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)))
2120adantll 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)))
2219, 21sseldd 3984 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ ℝ)
2322rexrd 11264 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ ℝ*)
2418rexrd 11264 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ*)
25 iccleub 13379 . . . . . . . 8 (((π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π‘“β€˜π‘—) ∈ ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
2624, 24, 21, 25syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
27 iccgelb 13380 . . . . . . . 8 (((π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π‘“β€˜π‘—) ∈ ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) β†’ (π΄β€˜π‘—) ≀ (π‘“β€˜π‘—))
2824, 24, 21, 27syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘—) ≀ (π‘“β€˜π‘—))
2923, 24, 26, 28xrletrid 13134 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘—))
307, 13, 14, 29syl21anc 837 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘—))
312, 6, 30eqfnfvd 7036 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) β†’ 𝑓 = 𝐴)
32 velsn 4645 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝐴} ↔ 𝑓 = 𝐴)
3332bicomi 223 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 ↔ 𝑓 ∈ {𝐴})
3433biimpi 215 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 β†’ 𝑓 ∈ {𝐴})
3531, 34syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) β†’ 𝑓 ∈ {𝐴})
3635ssd 43769 . 2 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) βŠ† {𝐴})
373elexd 3495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
3816ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3938leidd 11780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜))
4038, 38, 38, 39, 39eliccd 44217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)))
4140ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)))
4237, 5, 413jca 1129 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))))
43 elixp2 8895 . . . 4 (𝐴 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))))
4442, 43sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)))
45 snssg 4788 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) ↔ {𝐴} βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))))
463, 45syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) ↔ {𝐴} βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))))
4744, 46mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)))
4836, 47eqssd 4000 1 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Xcixp 8891  β„cr 11109  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249  [,]cicc 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-icc 13331
This theorem is referenced by:  snvonmbl  45402  vonsn  45407
  Copyright terms: Public domain W3C validator