Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxsnicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxsnicc 46256
Description: A multidimensional singleton expressed as a multidimensional closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxsnicc.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
rrxsnicc (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {𝐴})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Proof of Theorem rrxsnicc
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfn 8942 . . . . . 6 (𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) → 𝑓 Fn 𝑋)
21adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) → 𝑓 Fn 𝑋)
3 rrxsnicc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
4 elmapfn 8904 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐴 Fn 𝑋)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 Fn 𝑋)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) → 𝐴 Fn 𝑋)
7 simpll 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) ∧ 𝑗𝑋) → 𝜑)
8 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
98, 8oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
109cbvixpv 8954 . . . . . . . . 9 X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))
1110eleq2i 2831 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
1211biimpi 216 . . . . . . 7 (𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
1312ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) ∧ 𝑗𝑋) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
14 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) ∧ 𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
15 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
163, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
1716ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
1817adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
1918, 18iccssred 13471 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)) ⊆ ℝ)
20 fvixp2 45142 . . . . . . . . . 10 ((𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ∈ ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
2120adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ∈ ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
2219, 21sseldd 3996 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ∈ ℝ)
2322rexrd 11309 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ∈ ℝ*)
2418rexrd 11309 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ*)
25 iccleub 13439 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑗) ∈ ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) → (𝑓𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
2624, 24, 21, 25syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
27 iccgelb 13440 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑗) ∈ ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) → (𝐴𝑗) ≤ (𝑓𝑗))
2824, 24, 21, 27syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ≤ (𝑓𝑗))
2923, 24, 26, 28xrletrid 13194 . . . . . 6 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) = (𝐴𝑗))
307, 13, 14, 29syl21anc 838 . . . . 5 (((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) = (𝐴𝑗))
312, 6, 30eqfnfvd 7054 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) → 𝑓 = 𝐴)
32 velsn 4647 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝐴} ↔ 𝑓 = 𝐴)
3332bicomi 224 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴𝑓 ∈ {𝐴})
3433biimpi 216 . . . 4 (𝑓 = 𝐴𝑓 ∈ {𝐴})
3531, 34syl 17 . . 3 ((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) → 𝑓 ∈ {𝐴})
3635ssd 45020 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ⊆ {𝐴})
373elexd 3502 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
3816ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
3938leidd 11827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
4038, 38, 38, 39, 39eliccd 45457 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
4140ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
4237, 5, 413jca 1127 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
43 elixp2 8940 . . . 4 (𝐴X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
4442, 43sylibr 234 . . 3 (𝜑𝐴X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
45 snssg 4788 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → (𝐴X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ↔ {𝐴} ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
463, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ↔ {𝐴} ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
4744, 46mpbid 232 . 2 (𝜑 → {𝐴} ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
4836, 47eqssd 4013 1 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Xcixp 8936  cr 11152  *cxr 11292  cle 11294  [,]cicc 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-icc 13391
This theorem is referenced by:  snvonmbl  46642  vonsn  46647
  Copyright terms: Public domain W3C validator