Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxsnicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxsnicc 45314
Description: A multidimensional singleton expressed as a multidimensional closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxsnicc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
rrxsnicc (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) = {𝐴})
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑋   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem rrxsnicc
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfn 8899 . . . . . 6 (𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) β†’ 𝑓 Fn 𝑋)
21adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) β†’ 𝑓 Fn 𝑋)
3 rrxsnicc.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
4 elmapfn 8861 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ 𝐴 Fn 𝑋)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn 𝑋)
65adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) β†’ 𝐴 Fn 𝑋)
7 simpll 763 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ πœ‘)
8 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘—))
98, 8oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)))
109cbvixpv 8911 . . . . . . . . 9 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) = X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))
1110eleq2i 2823 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) ↔ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)))
1211biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) β†’ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)))
1312ad2antlr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)))
14 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
15 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
163, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
1716ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ)
1817adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ)
1918, 18iccssred 13415 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
20 fvixp2 44196 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)))
2120adantll 710 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—)))
2219, 21sseldd 3982 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ ℝ)
2322rexrd 11268 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ ℝ*)
2418rexrd 11268 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ*)
25 iccleub 13383 . . . . . . . 8 (((π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π‘“β€˜π‘—) ∈ ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
2624, 24, 21, 25syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
27 iccgelb 13384 . . . . . . . 8 (((π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π‘“β€˜π‘—) ∈ ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) β†’ (π΄β€˜π‘—) ≀ (π‘“β€˜π‘—))
2824, 24, 21, 27syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘—) ≀ (π‘“β€˜π‘—))
2923, 24, 26, 28xrletrid 13138 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)[,](π΄β€˜π‘—))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘—))
307, 13, 14, 29syl21anc 834 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘—))
312, 6, 30eqfnfvd 7034 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) β†’ 𝑓 = 𝐴)
32 velsn 4643 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝐴} ↔ 𝑓 = 𝐴)
3332bicomi 223 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 ↔ 𝑓 ∈ {𝐴})
3433biimpi 215 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 β†’ 𝑓 ∈ {𝐴})
3531, 34syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))) β†’ 𝑓 ∈ {𝐴})
3635ssd 44070 . 2 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) βŠ† {𝐴})
373elexd 3493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
3816ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3938leidd 11784 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜))
4038, 38, 38, 39, 39eliccd 44515 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)))
4140ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)))
4237, 5, 413jca 1126 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))))
43 elixp2 8897 . . . 4 (𝐴 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))))
4442, 43sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)))
45 snssg 4786 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) ↔ {𝐴} βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))))
463, 45syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) ↔ {𝐴} βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜))))
4744, 46mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)))
4836, 47eqssd 3998 1 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,](π΄β€˜π‘˜)) = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Xcixp 8893  β„cr 11111  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  [,]cicc 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-icc 13335
This theorem is referenced by:  snvonmbl  45700  vonsn  45705
  Copyright terms: Public domain W3C validator