Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxsnicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxsnicc 42882
 Description: A multidimensional singleton expressed as a multidimensional closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxsnicc.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
rrxsnicc (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {𝐴})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Proof of Theorem rrxsnicc
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfn 8454 . . . . . 6 (𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) → 𝑓 Fn 𝑋)
21adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) → 𝑓 Fn 𝑋)
3 rrxsnicc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
4 elmapfn 8416 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐴 Fn 𝑋)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 Fn 𝑋)
65adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) → 𝐴 Fn 𝑋)
7 simpll 766 . . . . . 6 (((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) ∧ 𝑗𝑋) → 𝜑)
8 fveq2 6652 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
98, 8oveq12d 7158 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
109cbvixpv 8466 . . . . . . . . 9 X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))
1110eleq2i 2905 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
1211biimpi 219 . . . . . . 7 (𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
1312ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) ∧ 𝑗𝑋) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
14 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) ∧ 𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
15 elmapi 8415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
163, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
1716ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
1817adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
1918, 18iccssred 12812 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)) ⊆ ℝ)
20 fvixp2 41766 . . . . . . . . . 10 ((𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ∈ ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
2120adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ∈ ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗)))
2219, 21sseldd 3943 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ∈ ℝ)
2322rexrd 10680 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ∈ ℝ*)
2418rexrd 10680 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ*)
25 iccleub 12780 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑗) ∈ ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) → (𝑓𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
2624, 24, 21, 25syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
27 iccgelb 12781 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑗) ∈ ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) → (𝐴𝑗) ≤ (𝑓𝑗))
2824, 24, 21, 27syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ≤ (𝑓𝑗))
2923, 24, 26, 28xrletrid 12536 . . . . . 6 (((𝜑𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)[,](𝐴𝑗))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) = (𝐴𝑗))
307, 13, 14, 29syl21anc 836 . . . . 5 (((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) ∧ 𝑗𝑋) → (𝑓𝑗) = (𝐴𝑗))
312, 6, 30eqfnfvd 6787 . . . 4 ((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) → 𝑓 = 𝐴)
32 velsn 4555 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝐴} ↔ 𝑓 = 𝐴)
3332bicomi 227 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴𝑓 ∈ {𝐴})
3433biimpi 219 . . . 4 (𝑓 = 𝐴𝑓 ∈ {𝐴})
3531, 34syl 17 . . 3 ((𝜑𝑓X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))) → 𝑓 ∈ {𝐴})
3635ssd 41651 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ⊆ {𝐴})
373elexd 3489 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
3816ffvelrnda 6833 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
3938leidd 11195 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
4038, 38, 38, 39, 39eliccd 42081 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
4140ralrimiva 3174 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
4237, 5, 413jca 1125 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
43 elixp2 8452 . . . 4 (𝐴X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
4442, 43sylibr 237 . . 3 (𝜑𝐴X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
45 snssg 4691 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → (𝐴X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ↔ {𝐴} ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
463, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) ↔ {𝐴} ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘))))
4744, 46mpbid 235 . 2 (𝜑 → {𝐴} ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)))
4836, 47eqssd 3959 1 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐴𝑘)) = {𝐴})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908  {csn 4539   class class class wbr 5042   Fn wfn 6329  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8393  Xcixp 8448  ℝcr 10525  ℝ*cxr 10663   ≤ cle 10665  [,]cicc 12729 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-icc 12733 This theorem is referenced by:  snvonmbl  43265  vonsn  43270
 Copyright terms: Public domain W3C validator