Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbl 45120
Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoimbl.s 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
hoimbl.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoimbl.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
hoimbl (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐡,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem hoimbl
Dummy variables 𝑙 π‘₯ 𝑦 β„Ž 𝑗 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoimbl.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
21adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
32rrnmbl 45103 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
4 reex 11183 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
5 mapdm0 8819 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ V β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…}
76eqcomi 2740 . . . . . . 7 {βˆ…} = (ℝ ↑m βˆ…)
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ {βˆ…} = (ℝ ↑m βˆ…))
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…)
109ixpeq1d 8886 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)))
11 ixp0x 8903 . . . . . . . 8 X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…}
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…})
1310, 12eqtrd 2771 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…})
14 oveq2 7401 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m βˆ…))
158, 13, 143eqtr4d 2781 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = (ℝ ↑m 𝑋))
1615adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = (ℝ ↑m 𝑋))
17 hoimbl.s . . . . 5 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
1817a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹))
1916, 18eleq12d 2826 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆 ↔ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹)))
203, 19mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
211adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
229necon3bi 2966 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2322adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
24 hoimbl.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
2524adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
26 hoimbl.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
2726adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
28 id 22 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ 𝑀 = π‘₯)
29 eqidd 2732 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ ℝ = ℝ)
3028ixpeq1d 8886 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑗 ∈ π‘₯ if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))
31 eqeq1 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 = β„Ž ↔ 𝑖 = β„Ž))
3231ifbid 4545 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3332cbvixpv 8892 . . . . . . . 8 X𝑗 ∈ π‘₯ if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ X𝑗 ∈ π‘₯ if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3530, 34eqtrd 2771 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3628, 29, 35mpoeq123dv 7468 . . . . 5 (𝑀 = π‘₯ β†’ (β„Ž ∈ 𝑀, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (β„Ž ∈ π‘₯, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)))
37 eqeq2 2743 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝑙 β†’ (𝑖 = β„Ž ↔ 𝑖 = 𝑙))
3837ifbid 4545 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝑙 β†’ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3938ixpeq2dv 8890 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝑙 β†’ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
40 oveq2 7401 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 β†’ (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑦))
4140ifeq1d 4541 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4241ixpeq2dv 8890 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 β†’ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4339, 42cbvmpov 7488 . . . . . 6 (β„Ž ∈ π‘₯, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4443a1i 11 . . . . 5 (𝑀 = π‘₯ β†’ (β„Ž ∈ π‘₯, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4536, 44eqtrd 2771 . . . 4 (𝑀 = π‘₯ β†’ (β„Ž ∈ 𝑀, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4645cbvmptv 5254 . . 3 (𝑀 ∈ Fin ↦ (β„Ž ∈ 𝑀, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))) = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4721, 23, 17, 25, 27, 46hoimbllem 45119 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
4820, 47pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  Vcvv 3473  βˆ…c0 4318  ifcif 4522  {csn 4622   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6528  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393   ∈ cmpo 7395   ↑m cmap 8803  Xcixp 8874  Fincfn 8922  β„cr 11091  -∞cmnf 11228  (,)cioo 13306  [,)cico 13308  volncvoln 45027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cc 10412  ax-ac2 10440  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-omul 8453  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-dju 9878  df-card 9916  df-acn 9919  df-ac 10093  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-prod 15832  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17350  df-0g 17369  df-topgen 17371  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-subg 18975  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-drng 20267  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-bases 22378  df-cmp 22820  df-ovol 24910  df-vol 24911  df-salg 44798  df-sumge0 44852  df-mea 44939  df-ome 44979  df-caragen 44981  df-ovoln 45026  df-voln 45028
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  45122  hoimbl2  45154  vonhoi  45156  vonioolem1  45169  vonioolem2  45170  vonicclem1  45172  vonicclem2  45173
  Copyright terms: Public domain W3C validator