Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbl 44804
Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoimbl.s 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
hoimbl.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoimbl.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
hoimbl (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐡,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem hoimbl
Dummy variables 𝑙 π‘₯ 𝑦 β„Ž 𝑗 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoimbl.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
21adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
32rrnmbl 44787 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
4 reex 11138 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
5 mapdm0 8776 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ V β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…}
76eqcomi 2745 . . . . . . 7 {βˆ…} = (ℝ ↑m βˆ…)
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ {βˆ…} = (ℝ ↑m βˆ…))
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…)
109ixpeq1d 8843 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)))
11 ixp0x 8860 . . . . . . . 8 X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…}
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…})
1310, 12eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…})
14 oveq2 7361 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m βˆ…))
158, 13, 143eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = (ℝ ↑m 𝑋))
1615adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = (ℝ ↑m 𝑋))
17 hoimbl.s . . . . 5 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
1817a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹))
1916, 18eleq12d 2832 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆 ↔ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹)))
203, 19mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
211adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
229necon3bi 2968 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2322adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
24 hoimbl.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
2524adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
26 hoimbl.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
2726adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
28 id 22 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ 𝑀 = π‘₯)
29 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ ℝ = ℝ)
3028ixpeq1d 8843 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑗 ∈ π‘₯ if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))
31 eqeq1 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 = β„Ž ↔ 𝑖 = β„Ž))
3231ifbid 4507 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3332cbvixpv 8849 . . . . . . . 8 X𝑗 ∈ π‘₯ if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ X𝑗 ∈ π‘₯ if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3530, 34eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3628, 29, 35mpoeq123dv 7428 . . . . 5 (𝑀 = π‘₯ β†’ (β„Ž ∈ 𝑀, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (β„Ž ∈ π‘₯, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)))
37 eqeq2 2748 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝑙 β†’ (𝑖 = β„Ž ↔ 𝑖 = 𝑙))
3837ifbid 4507 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝑙 β†’ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3938ixpeq2dv 8847 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝑙 β†’ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
40 oveq2 7361 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 β†’ (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑦))
4140ifeq1d 4503 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4241ixpeq2dv 8847 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 β†’ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4339, 42cbvmpov 7448 . . . . . 6 (β„Ž ∈ π‘₯, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4443a1i 11 . . . . 5 (𝑀 = π‘₯ β†’ (β„Ž ∈ π‘₯, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4536, 44eqtrd 2776 . . . 4 (𝑀 = π‘₯ β†’ (β„Ž ∈ 𝑀, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4645cbvmptv 5216 . . 3 (𝑀 ∈ Fin ↦ (β„Ž ∈ 𝑀, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))) = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4721, 23, 17, 25, 27, 46hoimbllem 44803 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
4820, 47pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  Vcvv 3443  βˆ…c0 4280  ifcif 4484  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5631  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355   ↑m cmap 8761  Xcixp 8831  Fincfn 8879  β„cr 11046  -∞cmnf 11183  (,)cioo 13256  [,)cico 13258  volncvoln 44711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cc 10367  ax-ac2 10395  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-tpos 8153  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-oadd 8412  df-omul 8413  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-dju 9833  df-card 9871  df-acn 9874  df-ac 10048  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-prod 15781  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-rest 17296  df-0g 17315  df-topgen 17317  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-subg 18916  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-cring 19953  df-oppr 20034  df-dvdsr 20055  df-unit 20056  df-invr 20086  df-dvr 20097  df-drng 20172  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-bases 22280  df-cmp 22722  df-ovol 24812  df-vol 24813  df-salg 44482  df-sumge0 44536  df-mea 44623  df-ome 44663  df-caragen 44665  df-ovoln 44710  df-voln 44712
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  44806  hoimbl2  44838  vonhoi  44840  vonioolem1  44853  vonioolem2  44854  vonicclem1  44856  vonicclem2  44857
  Copyright terms: Public domain W3C validator