Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbl 46162
Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoimbl.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbl.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbl.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoimbl (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hoimbl
Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoimbl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
32rrnmbl 46145 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋))
4 reex 11236 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
5 mapdm0 8861 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m ∅) = {∅}
76eqcomi 2734 . . . . . . 7 {∅} = (ℝ ↑m ∅)
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → {∅} = (ℝ ↑m ∅))
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
109ixpeq1d 8928 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
11 ixp0x 8945 . . . . . . . 8 X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = {∅}
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = {∅})
1310, 12eqtrd 2765 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = {∅})
14 oveq2 7427 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
158, 13, 143eqtr4d 2775 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = (ℝ ↑m 𝑋))
1615adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = (ℝ ↑m 𝑋))
17 hoimbl.s . . . . 5 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
1817a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑆 = dom (voln‘𝑋))
1916, 18eleq12d 2819 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆 ↔ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋)))
203, 19mpbird 256 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
211adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
229necon3bi 2956 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2322adantl 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24 hoimbl.a . . . 4 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2524adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
26 hoimbl.b . . . 4 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
2726adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
28 id 22 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑥)
29 eqidd 2726 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → ℝ = ℝ)
3028ixpeq1d 8928 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑗𝑥 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))
31 eqeq1 2729 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = 𝑖 = ))
3231ifbid 4553 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))
3332cbvixpv 8934 . . . . . . . 8 X𝑗𝑥 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥X𝑗𝑥 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))
3530, 34eqtrd 2765 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))
3628, 29, 35mpoeq123dv 7495 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)))
37 eqeq2 2737 . . . . . . . . 9 ( = 𝑙 → (𝑖 = 𝑖 = 𝑙))
3837ifbid 4553 . . . . . . . 8 ( = 𝑙 → if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3938ixpeq2dv 8932 . . . . . . 7 ( = 𝑙X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
40 oveq2 7427 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑦))
4140ifeq1d 4549 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4241ixpeq2dv 8932 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4339, 42cbvmpov 7515 . . . . . 6 (𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4443a1i 11 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4536, 44eqtrd 2765 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4645cbvmptv 5262 . . 3 (𝑤 ∈ Fin ↦ (𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4721, 23, 17, 25, 27, 46hoimbllem 46161 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
4820, 47pm2.61dan 811 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461  c0 4322  ifcif 4530  {csn 4630  cmpt 5232  dom cdm 5678  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  m cmap 8845  Xcixp 8916  Fincfn 8964  cr 11144  -∞cmnf 11283  (,)cioo 13364  [,)cico 13366  volncvoln 46069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cc 10465  ax-ac2 10493  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224  ax-mulf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-dju 9931  df-card 9969  df-acn 9972  df-ac 10146  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14334  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-clim 15476  df-rlim 15477  df-sum 15677  df-prod 15894  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-starv 17267  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-unif 17275  df-rest 17423  df-0g 17442  df-topgen 17444  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-subg 19103  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-mgp 20104  df-rng 20122  df-ur 20151  df-ring 20204  df-cring 20205  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-drng 20655  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22857  df-topon 22874  df-bases 22910  df-cmp 23352  df-ovol 25454  df-vol 25455  df-salg 45840  df-sumge0 45894  df-mea 45981  df-ome 46021  df-caragen 46023  df-ovoln 46068  df-voln 46070
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  46164  hoimbl2  46196  vonhoi  46198  vonioolem1  46211  vonioolem2  46212  vonicclem1  46214  vonicclem2  46215
  Copyright terms: Public domain W3C validator