Theorem hoimbl 47345

Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoimbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoimbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoimbl	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hoimbl

Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 ℎ 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoimbl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
3	2	rrnmbl 47328	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋))
4		reex 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
5		mapdm0 8835	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
7	6	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ {∅} = (ℝ ↑m ∅)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → {∅} = (ℝ ↑m ∅))
9		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
10	9	ixpeq1d 8903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
11		ixp0x 8920	. . . . . . . 8 ⊢ X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = {∅}
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
13	10, 12	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
14		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
15	8, 13, 14	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = (ℝ ↑m 𝑋))
16	15	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = (ℝ ↑m 𝑋))
17		hoimbl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑆 = dom (voln‘𝑋))
19	16, 18	eleq12d 2857	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆 ↔ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋)))
20	3, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)
21	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
22	9	necon3bi 2984	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
23	22	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24		hoimbl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
25	24	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
26		hoimbl.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
27	26	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
28		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → 𝑤 = 𝑥)
29		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ℝ = ℝ)
30	28	ixpeq1d 8903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑗 ∈ 𝑥 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))
31		eqeq1 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = ℎ ↔ 𝑖 = ℎ))
32	31	ifbid 4511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))
33	32	cbvixpv 8909	. . . . . . . 8 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑥 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → X𝑗 ∈ 𝑥 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))
35	30, 34	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))
36	28, 29, 35	mpoeq123dv 7485	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (ℎ ∈ 𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (ℎ ∈ 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)))
37		eqeq2 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (𝑖 = ℎ ↔ 𝑖 = 𝑙))
38	37	ifbid 4511	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑙 → if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
39	38	ixpeq2dv 8907	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑙 → X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
40		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑦))
41	40	ifeq1d 4507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
42	41	ixpeq2dv 8907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
43	39, 42	cbvmpov 7505	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (ℎ ∈ 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
45	36, 44	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (ℎ ∈ 𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
46	45	cbvmptv 5215	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Fin ↦ (ℎ ∈ 𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
47	21, 23, 17, 25, 27, 46	hoimbllem 47344	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)
48	20, 47	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  ∅c0 4286  ifcif 4487  {csn 4589   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   ↑_m cmap 8820  Xcixp 8891  Fincfn 8939  ℝcr 11094  -∞cmnf 11236  (,)cioo 13367  [,)cico 13369  volncvoln 47252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-ac2 10442  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-prod 15954  df-rest 17470  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103  df-cmp 23544  df-ovol 25623  df-vol 25624  df-salg 47023  df-sumge0 47077  df-mea 47164  df-ome 47204  df-caragen 47206  df-ovoln 47251  df-voln 47253

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  47347  hoimbl2  47379  vonhoi  47381  vonioolem1  47394  vonioolem2  47395  vonicclem1  47397  vonicclem2  47398