Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbl 43197
 Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoimbl.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbl.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbl.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoimbl (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hoimbl
Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoimbl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
32rrnmbl 43180 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋))
4 reex 10627 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
5 mapdm0 8418 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m ∅) = {∅}
76eqcomi 2833 . . . . . . 7 {∅} = (ℝ ↑m ∅)
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → {∅} = (ℝ ↑m ∅))
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
109ixpeq1d 8470 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
11 ixp0x 8487 . . . . . . . 8 X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = {∅}
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = {∅})
1310, 12eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = {∅})
14 oveq2 7158 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
158, 13, 143eqtr4d 2869 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = (ℝ ↑m 𝑋))
1615adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = (ℝ ↑m 𝑋))
17 hoimbl.s . . . . 5 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
1817a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑆 = dom (voln‘𝑋))
1916, 18eleq12d 2910 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆 ↔ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋)))
203, 19mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
211adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
229necon3bi 3040 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2322adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24 hoimbl.a . . . 4 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2524adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
26 hoimbl.b . . . 4 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
2726adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
28 id 22 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑥)
29 eqidd 2825 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → ℝ = ℝ)
3028ixpeq1d 8470 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑗𝑥 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))
31 eqeq1 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = 𝑖 = ))
3231ifbid 4473 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))
3332cbvixpv 8476 . . . . . . . 8 X𝑗𝑥 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥X𝑗𝑥 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))
3530, 34eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))
3628, 29, 35mpoeq123dv 7223 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)))
37 eqeq2 2836 . . . . . . . . 9 ( = 𝑙 → (𝑖 = 𝑖 = 𝑙))
3837ifbid 4473 . . . . . . . 8 ( = 𝑙 → if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3938ixpeq2dv 8474 . . . . . . 7 ( = 𝑙X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
40 oveq2 7158 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑦))
4140ifeq1d 4469 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4241ixpeq2dv 8474 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4339, 42cbvmpov 7243 . . . . . 6 (𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4443a1i 11 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4536, 44eqtrd 2859 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4645cbvmptv 5156 . . 3 (𝑤 ∈ Fin ↦ (𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4721, 23, 17, 25, 27, 46hoimbllem 43196 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
4820, 47pm2.61dan 812 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  Vcvv 3481  ∅c0 4277  ifcif 4451  {csn 4551   ↦ cmpt 5133  dom cdm 5543  ⟶wf 6340  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152   ↑m cmap 8403  Xcixp 8458  Fincfn 8506  ℝcr 10535  -∞cmnf 10672  (,)cioo 12738  [,)cico 12740  volncvoln 43104 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cc 9856  ax-ac2 9884  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7889  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-omul 8104  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fi 8873  df-sup 8904  df-inf 8905  df-oi 8972  df-dju 9328  df-card 9366  df-acn 9369  df-ac 9541  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-ioo 12742  df-ico 12744  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-fl 13169  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-prod 15263  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-rest 16699  df-0g 16718  df-topgen 16720  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-subg 18279  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428  df-dvr 19439  df-drng 19507  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557  df-cmp 21998  df-ovol 24074  df-vol 24075  df-salg 42878  df-sumge0 42929  df-mea 43016  df-ome 43056  df-caragen 43058  df-ovoln 43103  df-voln 43105 This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  43199  hoimbl2  43231  vonhoi  43233  vonioolem1  43246  vonioolem2  43247  vonicclem1  43249  vonicclem2  43250
 Copyright terms: Public domain W3C validator