Theorem hoimbl 46587

Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoimbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoimbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoimbl	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hoimbl

Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 ℎ 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoimbl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
3	2	rrnmbl 46570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋))
4		reex 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
5		mapdm0 8881	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
7	6	eqcomi 2744	. . . . . . 7 ⊢ {∅} = (ℝ ↑m ∅)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → {∅} = (ℝ ↑m ∅))
9		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
10	9	ixpeq1d 8948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
11		ixp0x 8965	. . . . . . . 8 ⊢ X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = {∅}
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
13	10, 12	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
14		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
15	8, 13, 14	3eqtr4d 2785	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = (ℝ ↑m 𝑋))
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = (ℝ ↑m 𝑋))
17		hoimbl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑆 = dom (voln‘𝑋))
19	16, 18	eleq12d 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆 ↔ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋)))
20	3, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)
21	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
22	9	necon3bi 2965	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24		hoimbl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
26		hoimbl.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
28		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → 𝑤 = 𝑥)
29		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ℝ = ℝ)
30	28	ixpeq1d 8948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑗 ∈ 𝑥 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))
31		eqeq1 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = ℎ ↔ 𝑖 = ℎ))
32	31	ifbid 4554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))
33	32	cbvixpv 8954	. . . . . . . 8 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑥 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → X𝑗 ∈ 𝑥 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))
35	30, 34	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))
36	28, 29, 35	mpoeq123dv 7508	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (ℎ ∈ 𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (ℎ ∈ 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)))
37		eqeq2 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (𝑖 = ℎ ↔ 𝑖 = 𝑙))
38	37	ifbid 4554	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑙 → if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
39	38	ixpeq2dv 8952	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑙 → X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
40		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑦))
41	40	ifeq1d 4550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
42	41	ixpeq2dv 8952	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
43	39, 42	cbvmpov 7528	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (ℎ ∈ 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
45	36, 44	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (ℎ ∈ 𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
46	45	cbvmptv 5261	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Fin ↦ (ℎ ∈ 𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
47	21, 23, 17, 25, 27, 46	hoimbllem 46586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)
48	20, 47	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478  ∅c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ↑_m cmap 8865  Xcixp 8936  Fincfn 8984  ℝcr 11152  -∞cmnf 11291  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  volncvoln 46494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-prod 15937  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-salg 46265  df-sumge0 46319  df-mea 46406  df-ome 46446  df-caragen 46448  df-ovoln 46493  df-voln 46495

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  46589  hoimbl2  46621  vonhoi  46623  vonioolem1  46636  vonioolem2  46637  vonicclem1  46639  vonicclem2  46640