Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbl 46646
Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoimbl.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbl.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbl.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoimbl (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hoimbl
Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoimbl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
32rrnmbl 46629 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋))
4 reex 11246 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
5 mapdm0 8882 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m ∅) = {∅}
76eqcomi 2746 . . . . . . 7 {∅} = (ℝ ↑m ∅)
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → {∅} = (ℝ ↑m ∅))
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
109ixpeq1d 8949 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
11 ixp0x 8966 . . . . . . . 8 X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = {∅}
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = {∅})
1310, 12eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = {∅})
14 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
158, 13, 143eqtr4d 2787 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = (ℝ ↑m 𝑋))
1615adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = (ℝ ↑m 𝑋))
17 hoimbl.s . . . . 5 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
1817a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑆 = dom (voln‘𝑋))
1916, 18eleq12d 2835 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆 ↔ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋)))
203, 19mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
211adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
229necon3bi 2967 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2322adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24 hoimbl.a . . . 4 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2524adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
26 hoimbl.b . . . 4 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
2726adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
28 id 22 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑥)
29 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → ℝ = ℝ)
3028ixpeq1d 8949 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑗𝑥 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))
31 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = 𝑖 = ))
3231ifbid 4549 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))
3332cbvixpv 8955 . . . . . . . 8 X𝑗𝑥 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥X𝑗𝑥 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))
3530, 34eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))
3628, 29, 35mpoeq123dv 7508 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)))
37 eqeq2 2749 . . . . . . . . 9 ( = 𝑙 → (𝑖 = 𝑖 = 𝑙))
3837ifbid 4549 . . . . . . . 8 ( = 𝑙 → if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3938ixpeq2dv 8953 . . . . . . 7 ( = 𝑙X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
40 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑦))
4140ifeq1d 4545 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4241ixpeq2dv 8953 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4339, 42cbvmpov 7528 . . . . . 6 (𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4443a1i 11 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4536, 44eqtrd 2777 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4645cbvmptv 5255 . . 3 (𝑤 ∈ Fin ↦ (𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗𝑤 if(𝑗 = , (-∞(,)𝑧), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4721, 23, 17, 25, 27, 46hoimbllem 46645 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
4820, 47pm2.61dan 813 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  Xcixp 8937  Fincfn 8985  cr 11154  -∞cmnf 11293  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  volncvoln 46553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-salg 46324  df-sumge0 46378  df-mea 46465  df-ome 46505  df-caragen 46507  df-ovoln 46552  df-voln 46554
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  46648  hoimbl2  46680  vonhoi  46682  vonioolem1  46695  vonioolem2  46696  vonicclem1  46698  vonicclem2  46699
  Copyright terms: Public domain W3C validator