Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbl 44773
Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoimbl.s 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
hoimbl.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoimbl.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
hoimbl (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐡,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem hoimbl
Dummy variables 𝑙 π‘₯ 𝑦 β„Ž 𝑗 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoimbl.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
21adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
32rrnmbl 44756 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
4 reex 11100 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
5 mapdm0 8738 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ V β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…}
76eqcomi 2746 . . . . . . 7 {βˆ…} = (ℝ ↑m βˆ…)
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ {βˆ…} = (ℝ ↑m βˆ…))
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…)
109ixpeq1d 8805 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)))
11 ixp0x 8822 . . . . . . . 8 X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…}
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…})
1310, 12eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…})
14 oveq2 7359 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m βˆ…))
158, 13, 143eqtr4d 2787 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = (ℝ ↑m 𝑋))
1615adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) = (ℝ ↑m 𝑋))
17 hoimbl.s . . . . 5 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
1817a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹))
1916, 18eleq12d 2832 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆 ↔ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹)))
203, 19mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
211adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
229necon3bi 2968 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2322adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
24 hoimbl.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
2524adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
26 hoimbl.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
2726adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
28 id 22 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ 𝑀 = π‘₯)
29 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ ℝ = ℝ)
3028ixpeq1d 8805 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑗 ∈ π‘₯ if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))
31 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 = β„Ž ↔ 𝑖 = β„Ž))
3231ifbid 4507 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3332cbvixpv 8811 . . . . . . . 8 X𝑗 ∈ π‘₯ if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ X𝑗 ∈ π‘₯ if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3530, 34eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3628, 29, 35mpoeq123dv 7426 . . . . 5 (𝑀 = π‘₯ β†’ (β„Ž ∈ 𝑀, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (β„Ž ∈ π‘₯, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)))
37 eqeq2 2749 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝑙 β†’ (𝑖 = β„Ž ↔ 𝑖 = 𝑙))
3837ifbid 4507 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝑙 β†’ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
3938ixpeq2dv 8809 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝑙 β†’ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
40 oveq2 7359 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 β†’ (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑦))
4140ifeq1d 4503 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4241ixpeq2dv 8809 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 β†’ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4339, 42cbvmpov 7446 . . . . . 6 (β„Ž ∈ π‘₯, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
4443a1i 11 . . . . 5 (𝑀 = π‘₯ β†’ (β„Ž ∈ π‘₯, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4536, 44eqtrd 2777 . . . 4 (𝑀 = π‘₯ β†’ (β„Ž ∈ 𝑀, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4645cbvmptv 5216 . . 3 (𝑀 ∈ Fin ↦ (β„Ž ∈ 𝑀, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑗 = β„Ž, (-∞(,)𝑧), ℝ))) = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ π‘₯ if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
4721, 23, 17, 25, 27, 46hoimbllem 44772 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
4820, 47pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  Vcvv 3443  βˆ…c0 4280  ifcif 4484  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5631  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   ∈ cmpo 7353   ↑m cmap 8723  Xcixp 8793  Fincfn 8841  β„cr 11008  -∞cmnf 11145  (,)cioo 13218  [,)cico 13220  volncvoln 44680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cc 10329  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-oadd 8408  df-omul 8409  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-dju 9795  df-card 9833  df-acn 9836  df-ac 10010  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-prod 15749  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-rest 17264  df-0g 17283  df-topgen 17285  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-subg 18884  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-drng 20140  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-bases 22248  df-cmp 22690  df-ovol 24780  df-vol 24781  df-salg 44451  df-sumge0 44505  df-mea 44592  df-ome 44632  df-caragen 44634  df-ovoln 44679  df-voln 44681
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  44775  hoimbl2  44807  vonhoi  44809  vonioolem1  44822  vonioolem2  44823  vonicclem1  44825  vonicclem2  44826
  Copyright terms: Public domain W3C validator