Theorem hoimbl 46612

Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoimbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoimbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoimbl	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hoimbl

Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 ℎ 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoimbl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
3	2	rrnmbl 46595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋))
4		reex 11100	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
5		mapdm0 8769	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
7	6	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ {∅} = (ℝ ↑m ∅)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → {∅} = (ℝ ↑m ∅))
9		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
10	9	ixpeq1d 8836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
11		ixp0x 8853	. . . . . . . 8 ⊢ X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = {∅}
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
13	10, 12	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
14		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
15	8, 13, 14	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = (ℝ ↑m 𝑋))
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = (ℝ ↑m 𝑋))
17		hoimbl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑆 = dom (voln‘𝑋))
19	16, 18	eleq12d 2822	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆 ↔ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋)))
20	3, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)
21	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
22	9	necon3bi 2951	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24		hoimbl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
26		hoimbl.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
28		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → 𝑤 = 𝑥)
29		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ℝ = ℝ)
30	28	ixpeq1d 8836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑗 ∈ 𝑥 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))
31		eqeq1 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = ℎ ↔ 𝑖 = ℎ))
32	31	ifbid 4500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))
33	32	cbvixpv 8842	. . . . . . . 8 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑥 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → X𝑗 ∈ 𝑥 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))
35	30, 34	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))
36	28, 29, 35	mpoeq123dv 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (ℎ ∈ 𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (ℎ ∈ 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)))
37		eqeq2 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (𝑖 = ℎ ↔ 𝑖 = 𝑙))
38	37	ifbid 4500	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑙 → if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
39	38	ixpeq2dv 8840	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑙 → X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ))
40		oveq2 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (-∞(,)𝑧) = (-∞(,)𝑦))
41	40	ifeq1d 4496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
42	41	ixpeq2dv 8840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑧), ℝ) = X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
43	39, 42	cbvmpov 7444	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (ℎ ∈ 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
45	36, 44	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (ℎ ∈ 𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ)) = (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
46	45	cbvmptv 5196	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Fin ↦ (ℎ ∈ 𝑤, 𝑧 ∈ ℝ ↦ X𝑗 ∈ 𝑤 if(𝑗 = ℎ, (-∞(,)𝑧), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
47	21, 23, 17, 25, 27, 46	hoimbllem 46611	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)
48	20, 47	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436  ∅c0 4284  ifcif 4476  {csn 4577   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351   ↑_m cmap 8753  Xcixp 8824  Fincfn 8872  ℝcr 11008  -∞cmnf 11147  (,)cioo 13248  [,)cico 13250  volncvoln 46519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-ac 10010  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-prod 15811  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-cmp 23272  df-ovol 25363  df-vol 25364  df-salg 46290  df-sumge0 46344  df-mea 46431  df-ome 46471  df-caragen 46473  df-ovoln 46518  df-voln 46520

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  46614  hoimbl2  46646  vonhoi  46648  vonioolem1  46661  vonioolem2  46662  vonicclem1  46664  vonicclem2  46665