Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopnxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopnxr 45481
Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). Similar to ioorrnopn 45479 but here unbounded intervals are allowed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnxr.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnxr.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxr.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnxr (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopnxr
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 p0ex 5382 . . . . . 6 {∅} ∈ V
21prid2 4767 . . . . 5 {∅} ∈ {∅, {∅}}
32a1i 11 . . . 4 (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4 ixpeq1 8908 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
5 ixp0x 8926 . . . . . . 7 X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅}
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
74, 6eqtrd 2771 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
8 2fveq3 6896 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
9 rrxtopn0b 45470 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
118, 10eqtrd 2771 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
127, 11eleq12d 2826 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
133, 12mpbird 257 . . 3 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
1413adantl 481 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
15 neqne 2947 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1615adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
17 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
18 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
1917, 18oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2019cbvixpv 8915 . . . . . . . . 9 X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))
2120eleq2i 2824 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2221biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2322adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
24 ioorrnopnxr.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2524ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
26 ioorrnopnxr.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
2726ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ*)
28 ioorrnopnxr.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
2928ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ*)
3021biimpri 227 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
3130adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
32 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑖))
3332eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐴𝑗) = -∞ ↔ (𝐴𝑖) = -∞))
34 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑖))
3534oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓𝑗) − 1) = ((𝑓𝑖) − 1))
3633, 35, 32ifbieq12d 4556 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗)) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝑓𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
3736cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (𝑗𝑋 ↦ if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗))) = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝑓𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
38 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑖))
3938eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵𝑗) = +∞ ↔ (𝐵𝑖) = +∞))
4034oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓𝑗) + 1) = ((𝑓𝑖) + 1))
4139, 40, 38ifbieq12d 4556 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗)) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝑓𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
4241cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (𝑗𝑋 ↦ if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗))) = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝑓𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
43 eqid 2731 . . . . . . 7 X𝑖𝑋 (((𝑗𝑋 ↦ if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗)))‘𝑖)(,)((𝑗𝑋 ↦ if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗)))‘𝑖)) = X𝑖𝑋 (((𝑗𝑋 ↦ if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗)))‘𝑖)(,)((𝑗𝑋 ↦ if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗)))‘𝑖))
4425, 27, 29, 31, 37, 42, 43ioorrnopnxrlem 45480 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
4523, 44syldan 590 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
4645ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
47 eqid 2731 . . . . . . . 8 (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
4847rrxtop 45463 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
4924, 48syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
5049adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
51 eltop2 22797 . . . . 5 ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
5250, 51syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
5346, 52mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
5416, 53syldan 590 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
5514, 54pm2.61dan 810 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  wss 3948  c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  Xcixp 8897  Fincfn 8945  1c1 11117   + caddc 11119  +∞cpnf 11252  -∞cmnf 11253  *cxr 11254  cmin 11451  (,)cioo 13331  TopOpenctopn 17374  Topctop 22714  ℝ^crrx 25230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-field 20586  df-abv 20656  df-staf 20684  df-srng 20685  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lmhm 20865  df-lvec 20946  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-psmet 21224  df-xmet 21225  df-met 21226  df-bl 21227  df-mopn 21228  df-cnfld 21233  df-refld 21467  df-phl 21488  df-dsmm 21596  df-frlm 21611  df-top 22715  df-topon 22732  df-topsp 22754  df-bases 22768  df-xms 24145  df-ms 24146  df-nm 24410  df-ngp 24411  df-tng 24412  df-nrg 24413  df-nlm 24414  df-clm 24909  df-cph 25015  df-tcph 25016  df-rrx 25232
This theorem is referenced by:  ioovonmbl  45851
  Copyright terms: Public domain W3C validator