Theorem ioorrnopnxr 44701

Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). Similar to ioorrnopn 44699 but here unbounded intervals are allowed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioorrnopnxr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
ioorrnopnxr	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopnxr

Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 5359	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
2	1	prid2 4744	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ {∅, {∅}}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4		ixpeq1 8868	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
5		ixp0x 8886	. . . . . . 7 ⊢ X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅}
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
7	4, 6	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
8		2fveq3 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
9		rrxtopn0b 44690	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
11	8, 10	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
12	7, 11	eleq12d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
13	3, 12	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
14	13	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
15		neqne 2947	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
16	15	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
17		fveq2 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
18		fveq2 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
19	17, 18	oveq12d 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
20	19	cbvixpv 8875	. . . . . . . . 9 ⊢ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))
21	20	eleq2i 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ↔ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
22	21	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) → 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
23	22	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
24		ioorrnopnxr.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
25	24	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
26		ioorrnopnxr.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ*)
27	26	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ*)
28		ioorrnopnxr.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ*)
29	28	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ*)
30	21	biimpri 227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
31	30	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
32		fveq2 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑖))
33	32	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑗) = -∞ ↔ (𝐴‘𝑖) = -∞))
34		fveq2 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑖))
35	34	oveq1d 7392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓‘𝑗) − 1) = ((𝑓‘𝑖) − 1))
36	33, 35, 32	ifbieq12d 4534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if((𝐴‘𝑗) = -∞, ((𝑓‘𝑗) − 1), (𝐴‘𝑗)) = if((𝐴‘𝑖) = -∞, ((𝑓‘𝑖) − 1), (𝐴‘𝑖)))
37	36	cbvmptv 5238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if((𝐴‘𝑗) = -∞, ((𝑓‘𝑗) − 1), (𝐴‘𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if((𝐴‘𝑖) = -∞, ((𝑓‘𝑖) − 1), (𝐴‘𝑖)))
38		fveq2 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
39	38	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵‘𝑗) = +∞ ↔ (𝐵‘𝑖) = +∞))
40	34	oveq1d 7392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓‘𝑗) + 1) = ((𝑓‘𝑖) + 1))
41	39, 40, 38	ifbieq12d 4534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if((𝐵‘𝑗) = +∞, ((𝑓‘𝑗) + 1), (𝐵‘𝑗)) = if((𝐵‘𝑖) = +∞, ((𝑓‘𝑖) + 1), (𝐵‘𝑖)))
42	41	cbvmptv 5238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if((𝐵‘𝑗) = +∞, ((𝑓‘𝑗) + 1), (𝐵‘𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if((𝐵‘𝑖) = +∞, ((𝑓‘𝑖) + 1), (𝐵‘𝑖)))
43		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ X𝑖 ∈ 𝑋 (((𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if((𝐴‘𝑗) = -∞, ((𝑓‘𝑗) − 1), (𝐴‘𝑗)))‘𝑖)(,)((𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if((𝐵‘𝑗) = +∞, ((𝑓‘𝑗) + 1), (𝐵‘𝑗)))‘𝑖)) = X𝑖 ∈ 𝑋 (((𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if((𝐴‘𝑗) = -∞, ((𝑓‘𝑗) − 1), (𝐴‘𝑗)))‘𝑖)(,)((𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if((𝐵‘𝑗) = +∞, ((𝑓‘𝑗) + 1), (𝐵‘𝑗)))‘𝑖))
44	25, 27, 29, 31, 37, 42, 43	ioorrnopnxrlem 44700	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
45	23, 44	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
46	45	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
47		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
48	47	rrxtop 44683	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
49	24, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
50	49	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
51		eltop2 22377	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))))
52	50, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))))
53	46, 52	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
54	16, 53	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
55	14, 54	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3928  ∅c0 4302  ifcif 4506  {csn 4606  {cpr 4608   ↦ cmpt 5208  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  Xcixp 8857  Fincfn 8905  1c1 11076   + caddc 11078  +∞cpnf 11210  -∞cmnf 11211  ℝ^*cxr 11212   − cmin 11409  (,)cioo 13289  TopOpenctopn 17332  Topctop 22294  ℝ^crrx 24799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-supp 8113  df-tpos 8177  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fsupp 9328  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-clim 15397  df-sum 15598  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-starv 17177  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-ip 17180  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-unif 17185  df-hom 17186  df-cco 17187  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-mhm 18630  df-submnd 18631  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-subg 18954  df-ghm 19035  df-cntz 19126  df-cmn 19593  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-cring 19996  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-invr 20130  df-dvr 20141  df-rnghom 20177  df-drng 20242  df-field 20243  df-subrg 20283  df-abv 20347  df-staf 20375  df-srng 20376  df-lmod 20395  df-lss 20465  df-lmhm 20555  df-lvec 20636  df-sra 20707  df-rgmod 20708  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-cnfld 20849  df-refld 21061  df-phl 21082  df-dsmm 21190  df-frlm 21205  df-top 22295  df-topon 22312  df-topsp 22334  df-bases 22348  df-xms 23725  df-ms 23726  df-nm 23990  df-ngp 23991  df-tng 23992  df-nrg 23993  df-nlm 23994  df-clm 24478  df-cph 24584  df-tcph 24585  df-rrx 24801

This theorem is referenced by:  ioovonmbl  45071