Theorem ioorrnopn 41317

Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioorrnopn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ioorrnopn	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopn

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑗 𝑘 𝑣 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 5084	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
2	1	prid2 4517	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ {∅, {∅}}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4		ixpeq1 8187	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
5		ixp0x 8204	. . . . . . 7 ⊢ X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅}
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
7	4, 6	eqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
8		2fveq3 6439	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
9		rrxtopn0b 41308	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
11	8, 10	eqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
12	7, 11	eleq12d 2901	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
13	3, 12	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
14	13	adantl 475	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
15		neqne 3008	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
16	15	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
17		fveq2 6434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
18		fveq2 6434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
19	17, 18	oveq12d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
20	19	cbvixpv 8194	. . . . . . . . 9 ⊢ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))
21	20	eleq2i 2899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ↔ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
22	21	biimpi 208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) → 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
23	22	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
24		ioorrnopn.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
25	24	ad2antrr 719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
26	21, 25	sylan2br 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
27		simplr 787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑋 ≠ ∅)
28	21, 27	sylan2br 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
29		ioorrnopn.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
30	29	ad2antrr 719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
31	21, 30	sylan2br 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
32		ioorrnopn.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
33	32	ad2antrr 719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
34	21, 33	sylan2br 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
35		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
36	21, 35	sylan2br 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
37		eqid 2826	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
38		fveq2 6434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
39		fveq2 6434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑖))
40	38, 39	oveq12d 6924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)))
41		fveq2 6434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑖))
42	39, 41	oveq12d 6924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
43	40, 42	breq12d 4887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) ↔ ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
44	43, 40, 42	ifbieq12d 4334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
45	44	cbvmptv 4974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
46	45	rneqi 5585	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
47	46	infeq1i 8654	. . . . . . 7 ⊢ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))), ℝ, < )
48		eqid 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < )) = (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < ))
49		fveq1 6433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑎‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
50	49	oveq1d 6921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)) = ((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)))
51	50	oveq1d 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))
52	51	sumeq2ad 14812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))
53	52	fveq2d 6438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)))
54		fveq1 6433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑏‘𝑘) = (ℎ‘𝑘))
55	54	oveq2d 6922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)) = ((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘)))
56	55	oveq1d 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ℎ → (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2))
57	56	sumeq2ad 14812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ℎ → Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2))
58	57	fveq2d 6438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ℎ → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2)))
59	53, 58	cbvmpt2v 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), ℎ ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2)))
60	26, 28, 31, 34, 36, 37, 47, 48, 59	ioorrnopnlem 41316	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
61	23, 60	syldan 587	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
62	61	ralrimiva 3176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
63		eqid 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
64	63	rrxtop 41301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
65	24, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
66	65	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
67		eltop2 21151	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))))
68	66, 67	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))))
69	62, 68	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
70	16, 69	syldan 587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
71	14, 70	pm2.61dan 849	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ∀wral 3118  ∃wrex 3119   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145  ifcif 4307  {csn 4398  {cpr 4400   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953  ran crn 5344  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ↦ cmpt2 6908   ↑_𝑚 cmap 8123  Xcixp 8176  Fincfn 8223  infcinf 8617  ℝcr 10252   < clt 10392   ≤ cle 10393   − cmin 10586  2c2 11407  (,)cioo 12464  ↑cexp 13155  √csqrt 14351  Σcsu 14794  TopOpenctopn 16436  ballcbl 20094  Topctop 21069  ℝ^crrx 23552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-ico 12470  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-clim 14597  df-sum 14795  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-rest 16437  df-topn 16438  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-topgen 16458  df-prds 16462  df-pws 16464  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-mhm 17689  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-ghm 18010  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-cring 18905  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-rnghom 19072  df-drng 19106  df-field 19107  df-subrg 19135  df-abv 19174  df-staf 19202  df-srng 19203  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lmhm 19382  df-lvec 19463  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-cnfld 20108  df-refld 20313  df-phl 20334  df-dsmm 20440  df-frlm 20455  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-xms 22496  df-ms 22497  df-nm 22758  df-ngp 22759  df-tng 22760  df-nrg 22761  df-nlm 22762  df-clm 23233  df-cph 23338  df-tcph 23339  df-rrx 23554

This theorem is referenced by:  ioorrnopnxrlem  41318