Theorem ioorrnopn 46261

Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioorrnopn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ioorrnopn	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopn

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑗 𝑘 𝑣 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 5390	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
2	1	prid2 4768	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ {∅, {∅}}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4		ixpeq1 8947	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
5		ixp0x 8965	. . . . . . 7 ⊢ X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅}
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
7	4, 6	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
8		2fveq3 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
9		rrxtopn0b 46252	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
11	8, 10	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
12	7, 11	eleq12d 2833	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
13	3, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
15		neqne 2946	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
17		fveq2 6907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
18		fveq2 6907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
19	17, 18	oveq12d 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
20	19	cbvixpv 8954	. . . . . . . . 9 ⊢ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))
21	20	eleq2i 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ↔ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
22	21	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) → 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
24		ioorrnopn.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
26	21, 25	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
27		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑋 ≠ ∅)
28	21, 27	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
29		ioorrnopn.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
31	21, 30	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
32		ioorrnopn.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
34	21, 33	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
35		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
36	21, 35	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
37		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
38		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
39		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑖))
40	38, 39	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)))
41		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑖))
42	39, 41	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
43	40, 42	breq12d 5161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) ↔ ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
44	43, 40, 42	ifbieq12d 4559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
45	44	cbvmptv 5261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
46	45	rneqi 5951	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
47	46	infeq1i 9516	. . . . . . 7 ⊢ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))), ℝ, < )
48		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < )) = (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < ))
49		fveq1 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑎‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
50	49	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)) = ((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)))
51	50	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))
52	51	sumeq2sdv 15736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))
53	52	fveq2d 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)))
54		fveq1 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑏‘𝑘) = (ℎ‘𝑘))
55	54	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)) = ((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘)))
56	55	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ℎ → (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2))
57	56	sumeq2sdv 15736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ℎ → Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2))
58	57	fveq2d 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ℎ → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2)))
59	53, 58	cbvmpov 7528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2)))
60	26, 28, 31, 34, 36, 37, 47, 48, 59	ioorrnopnlem 46260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
61	23, 60	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
62	61	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
63		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
64	63	rrxtop 46245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
65	24, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
66	65	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
67		eltop2 22998	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))))
68	66, 67	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))))
69	62, 68	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
70	16, 69	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
71	14, 70	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ↑_m cmap 8865  Xcixp 8936  Fincfn 8984  infcinf 9479  ℝcr 11152   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  2c2 12319  (,)cioo 13384  ↑cexp 14099  √csqrt 15269  Σcsu 15719  TopOpenctopn 17468  ballcbl 21369  Topctop 22915  ℝ^crrx 25431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-abv 20827  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-phl 21662  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-xms 24346  df-ms 24347  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-tng 24613  df-nrg 24614  df-nlm 24615  df-clm 25110  df-cph 25216  df-tcph 25217  df-rrx 25433

This theorem is referenced by:  ioorrnopnxrlem  46262