Theorem ioorrnopn 46342

Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioorrnopn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ioorrnopn	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopn

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑗 𝑘 𝑣 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 5322	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
2	1	prid2 4716	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ {∅, {∅}}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4		ixpeq1 8832	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
5		ixp0x 8850	. . . . . . 7 ⊢ X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅}
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
7	4, 6	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
8		2fveq3 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
9		rrxtopn0b 46333	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
11	8, 10	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
12	7, 11	eleq12d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
13	3, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
15		neqne 2936	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
17		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
18		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
19	17, 18	oveq12d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
20	19	cbvixpv 8839	. . . . . . . . 9 ⊢ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))
21	20	eleq2i 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ↔ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
22	21	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) → 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
24		ioorrnopn.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
26	21, 25	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
27		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑋 ≠ ∅)
28	21, 27	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
29		ioorrnopn.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
31	21, 30	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
32		ioorrnopn.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
34	21, 33	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
35		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
36	21, 35	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
37		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
38		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
39		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑖))
40	38, 39	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)))
41		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑖))
42	39, 41	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
43	40, 42	breq12d 5104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) ↔ ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
44	43, 40, 42	ifbieq12d 4504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
45	44	cbvmptv 5195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
46	45	rneqi 5877	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
47	46	infeq1i 9363	. . . . . . 7 ⊢ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))), ℝ, < )
48		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < )) = (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < ))
49		fveq1 6821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑎‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
50	49	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)) = ((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)))
51	50	oveq1d 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))
52	51	sumeq2sdv 15607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))
53	52	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)))
54		fveq1 6821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑏‘𝑘) = (ℎ‘𝑘))
55	54	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)) = ((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘)))
56	55	oveq1d 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ℎ → (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2))
57	56	sumeq2sdv 15607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ℎ → Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2))
58	57	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ℎ → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2)))
59	53, 58	cbvmpov 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2)))
60	26, 28, 31, 34, 36, 37, 47, 48, 59	ioorrnopnlem 46341	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
61	23, 60	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
62	61	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
63		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
64	63	rrxtop 46326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
65	24, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
66	65	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
67		eltop2 22888	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))))
68	66, 67	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))))
69	62, 68	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
70	16, 69	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
71	14, 70	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ifcif 4475  {csn 4576  {cpr 4578   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ran crn 5617  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ↑_m cmap 8750  Xcixp 8821  Fincfn 8869  infcinf 9325  ℝcr 11002   < clt 11143   ≤ cle 11144   − cmin 11341  2c2 12177  (,)cioo 13242  ↑cexp 13965  √csqrt 15137  Σcsu 15590  TopOpenctopn 17322  ballcbl 21276  Topctop 22806  ℝ^crrx 25308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082  ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ico 13248  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-sum 15591  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-prds 17348  df-pws 17350  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-drng 20644  df-field 20645  df-abv 20722  df-staf 20752  df-srng 20753  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lmhm 20954  df-lvec 21035  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-cnfld 21290  df-refld 21540  df-phl 21561  df-dsmm 21667  df-frlm 21682  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-xms 24233  df-ms 24234  df-nm 24495  df-ngp 24496  df-tng 24497  df-nrg 24498  df-nlm 24499  df-clm 24988  df-cph 25093  df-tcph 25094  df-rrx 25310

This theorem is referenced by:  ioorrnopnxrlem  46343