Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopn 45321
Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^β€˜π‘‹). (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopn.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
ioorrnopn.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
ioorrnopn (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐡,𝑖   𝑖,𝑋   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopn
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑗 π‘˜ 𝑣 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 p0ex 5383 . . . . . 6 {βˆ…} ∈ V
21prid2 4768 . . . . 5 {βˆ…} ∈ {βˆ…, {βˆ…}}
32a1i 11 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ {βˆ…} ∈ {βˆ…, {βˆ…}})
4 ixpeq1 8905 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
5 ixp0x 8923 . . . . . . 7 X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…}
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…})
74, 6eqtrd 2771 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…})
8 2fveq3 6897 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))
9 rrxtopn0b 45312 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) = {βˆ…, {βˆ…}}
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) = {βˆ…, {βˆ…}})
118, 10eqtrd 2771 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = {βˆ…, {βˆ…}})
127, 11eleq12d 2826 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ↔ {βˆ…} ∈ {βˆ…, {βˆ…}}))
133, 12mpbird 256 . . 3 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
1413adantl 481 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
15 neqne 2947 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1615adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
17 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘—))
18 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΅β€˜π‘–) = (π΅β€˜π‘—))
1917, 18oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) = ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—)))
2019cbvixpv 8912 . . . . . . . . 9 X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) = X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))
2120eleq2i 2824 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ↔ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—)))
2221biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) β†’ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—)))
2322adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—)))
24 ioorrnopn.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2524ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2621, 25sylan2br 594 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
27 simplr 766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2821, 27sylan2br 594 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
29 ioorrnopn.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
3029ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
3121, 30sylan2br 594 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
32 ioorrnopn.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
3332ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
3421, 33sylan2br 594 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
35 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
3621, 35sylan2br 594 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))) β†’ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
37 eqid 2731 . . . . . . 7 ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)), ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)), ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
38 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π΅β€˜π‘–))
39 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π‘“β€˜π‘–))
4038, 39oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)))
41 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘–))
4239, 41oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))
4340, 42breq12d 5162 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 β†’ (((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) ↔ ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
4443, 40, 42ifbieq12d 4557 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ if(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)), ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))) = if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)), ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
4544cbvmptv 5262 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)), ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)), ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
4645rneqi 5937 . . . . . . . 8 ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)), ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)), ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
4746infeq1i 9476 . . . . . . 7 inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)), ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)), ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))), ℝ, < )
48 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑓(ballβ€˜(π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)), ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)))), ℝ, < )) = (𝑓(ballβ€˜(π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)), ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)))), ℝ, < ))
49 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑔 β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = (π‘”β€˜π‘˜))
5049oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑔 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))
5150oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑔 β†’ (((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2))
5251sumeq2sdv 15655 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑔 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2))
5352fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑔 β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2)))
54 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = β„Ž β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (β„Žβ€˜π‘˜))
5554oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = β„Ž β†’ ((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜)))
5655oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = β„Ž β†’ (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜))↑2))
5756sumeq2sdv 15655 . . . . . . . . 9 (𝑏 = β„Ž β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜))↑2))
5857fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝑏 = β„Ž β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜))↑2)))
5953, 58cbvmpov 7507 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2))) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜))↑2)))
6026, 28, 31, 34, 36, 37, 47, 48, 59ioorrnopnlem 45320 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
6123, 60syldan 590 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
6261ralrimiva 3145 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘“ ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
63 eqid 2731 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))
6463rrxtop 45305 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ Top)
6524, 64syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ Top)
6665adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ Top)
67 eltop2 22699 . . . . 5 ((TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ Top β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))))
6866, 67syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))))
6962, 68mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
7016, 69syldan 590 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
7114, 70pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑m cmap 8823  Xcixp 8894  Fincfn 8942  infcinf 9439  β„cr 11112   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  2c2 12272  (,)cioo 13329  β†‘cexp 14032  βˆšcsqrt 15185  Ξ£csu 15637  TopOpenctopn 17372  ballcbl 21132  Topctop 22616  β„^crrx 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-field 20504  df-abv 20569  df-staf 20597  df-srng 20598  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lmhm 20778  df-lvec 20859  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-refld 21378  df-phl 21399  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-xms 24047  df-ms 24048  df-nm 24312  df-ngp 24313  df-tng 24314  df-nrg 24315  df-nlm 24316  df-clm 24811  df-cph 24917  df-tcph 24918  df-rrx 25134
This theorem is referenced by:  ioorrnopnxrlem  45322
  Copyright terms: Public domain W3C validator