Theorem ioorrnopn 44666

Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioorrnopn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ioorrnopn	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopn

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑗 𝑘 𝑣 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 5344	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
2	1	prid2 4729	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ {∅, {∅}}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4		ixpeq1 8853	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
5		ixp0x 8871	. . . . . . 7 ⊢ X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅}
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
7	4, 6	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = {∅})
8		2fveq3 6852	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
9		rrxtopn0b 44657	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
11	8, 10	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
12	7, 11	eleq12d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
13	3, 12	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
14	13	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
15		neqne 2947	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
16	15	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
17		fveq2 6847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
18		fveq2 6847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
19	17, 18	oveq12d 7380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
20	19	cbvixpv 8860	. . . . . . . . 9 ⊢ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) = X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))
21	20	eleq2i 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ↔ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
22	21	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) → 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
23	22	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗)))
24		ioorrnopn.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
25	24	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
26	21, 25	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
27		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑋 ≠ ∅)
28	21, 27	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
29		ioorrnopn.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
30	29	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
31	21, 30	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
32		ioorrnopn.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
33	32	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
34	21, 33	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
35		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
36	21, 35	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))
37		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
38		fveq2 6847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
39		fveq2 6847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑖))
40	38, 39	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)))
41		fveq2 6847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑖))
42	39, 41	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
43	40, 42	breq12d 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) ↔ ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
44	43, 40, 42	ifbieq12d 4519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
45	44	cbvmptv 5223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
46	45	rneqi 5897	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
47	46	infeq1i 9423	. . . . . . 7 ⊢ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)) ≤ ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)), ((𝐵‘𝑖) − (𝑓‘𝑖)), ((𝑓‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))), ℝ, < )
48		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < )) = (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)) ≤ ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), ((𝐵‘𝑗) − (𝑓‘𝑗)), ((𝑓‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)))), ℝ, < ))
49		fveq1 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑎‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
50	49	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)) = ((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)))
51	50	oveq1d 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))
52	51	sumeq2sdv 15600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))
53	52	fveq2d 6851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)))
54		fveq1 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑏‘𝑘) = (ℎ‘𝑘))
55	54	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘)) = ((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘)))
56	55	oveq1d 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ℎ → (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2))
57	56	sumeq2sdv 15600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ℎ → Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2))
58	57	fveq2d 6851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ℎ → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2)))
59	53, 58	cbvmpov 7457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑎‘𝑘) − (𝑏‘𝑘))↑2))) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑔‘𝑘) − (ℎ‘𝑘))↑2)))
60	26, 28, 31, 34, 36, 37, 47, 48, 59	ioorrnopnlem 44665	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑗)(,)(𝐵‘𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
61	23, 60	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
62	61	ralrimiva 3139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))))
63		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
64	63	rrxtop 44650	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
65	24, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
66	65	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
67		eltop2 22362	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))))
68	66, 67	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓 ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)))))
69	62, 68	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
70	16, 69	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
71	14, 70	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)(,)(𝐵‘𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3913  ∅c0 4287  ifcif 4491  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   ↑_m cmap 8772  Xcixp 8842  Fincfn 8890  infcinf 9386  ℝcr 11059   < clt 11198   ≤ cle 11199   − cmin 11394  2c2 12217  (,)cioo 13274  ↑cexp 13977  √csqrt 15130  Σcsu 15582  TopOpenctopn 17317  ballcbl 20820  Topctop 22279  ℝ^crrx 24784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ico 13280  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-sum 15583  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-prds 17343  df-pws 17345  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-mhm 18615  df-submnd 18616  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-subg 18939  df-ghm 19020  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-abl 19579  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980  df-cring 19981  df-oppr 20063  df-dvdsr 20084  df-unit 20085  df-invr 20115  df-dvr 20126  df-rnghom 20162  df-drng 20227  df-field 20228  df-subrg 20268  df-abv 20332  df-staf 20360  df-srng 20361  df-lmod 20380  df-lss 20450  df-lmhm 20540  df-lvec 20621  df-sra 20692  df-rgmod 20693  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-cnfld 20834  df-refld 21046  df-phl 21067  df-dsmm 21175  df-frlm 21190  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-xms 23710  df-ms 23711  df-nm 23975  df-ngp 23976  df-tng 23977  df-nrg 23978  df-nlm 23979  df-clm 24463  df-cph 24569  df-tcph 24570  df-rrx 24786

This theorem is referenced by:  ioorrnopnxrlem  44667