Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopn 45100
Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^β€˜π‘‹). (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopn.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
ioorrnopn.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
ioorrnopn (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐡,𝑖   𝑖,𝑋   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopn
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑗 π‘˜ 𝑣 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 p0ex 5382 . . . . . 6 {βˆ…} ∈ V
21prid2 4767 . . . . 5 {βˆ…} ∈ {βˆ…, {βˆ…}}
32a1i 11 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ {βˆ…} ∈ {βˆ…, {βˆ…}})
4 ixpeq1 8904 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
5 ixp0x 8922 . . . . . . 7 X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…}
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…})
74, 6eqtrd 2772 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) = {βˆ…})
8 2fveq3 6896 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))
9 rrxtopn0b 45091 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) = {βˆ…, {βˆ…}}
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) = {βˆ…, {βˆ…}})
118, 10eqtrd 2772 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = {βˆ…, {βˆ…}})
127, 11eleq12d 2827 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ↔ {βˆ…} ∈ {βˆ…, {βˆ…}}))
133, 12mpbird 256 . . 3 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
1413adantl 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
15 neqne 2948 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1615adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
17 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘—))
18 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΅β€˜π‘–) = (π΅β€˜π‘—))
1917, 18oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) = ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—)))
2019cbvixpv 8911 . . . . . . . . 9 X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) = X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))
2120eleq2i 2825 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ↔ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—)))
2221biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) β†’ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—)))
2322adantl 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—)))
24 ioorrnopn.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2524ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2621, 25sylan2br 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
27 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2821, 27sylan2br 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
29 ioorrnopn.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
3029ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
3121, 30sylan2br 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
32 ioorrnopn.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
3332ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
3421, 33sylan2br 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
35 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
3621, 35sylan2br 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))) β†’ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))
37 eqid 2732 . . . . . . 7 ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)), ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)), ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
38 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π΅β€˜π‘–))
39 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π‘“β€˜π‘–))
4038, 39oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)))
41 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘–))
4239, 41oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))
4340, 42breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 β†’ (((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) ↔ ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
4443, 40, 42ifbieq12d 4556 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ if(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)), ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))) = if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)), ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
4544cbvmptv 5261 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)), ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)), ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
4645rneqi 5936 . . . . . . . 8 ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)), ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)))) = ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)), ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–))))
4746infeq1i 9475 . . . . . . 7 inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)), ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)) ≀ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)), ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π‘“β€˜π‘–)), ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))), ℝ, < )
48 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑓(ballβ€˜(π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)), ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)))), ℝ, < )) = (𝑓(ballβ€˜(π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2))))inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)) ≀ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π‘“β€˜π‘—)), ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)))), ℝ, < ))
49 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑔 β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = (π‘”β€˜π‘˜))
5049oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑔 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))
5150oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑔 β†’ (((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2))
5251sumeq2sdv 15652 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑔 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2))
5352fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑔 β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2)))
54 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = β„Ž β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (β„Žβ€˜π‘˜))
5554oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = β„Ž β†’ ((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜)))
5655oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = β„Ž β†’ (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜))↑2))
5756sumeq2sdv 15652 . . . . . . . . 9 (𝑏 = β„Ž β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜))↑2))
5857fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑏 = β„Ž β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜))↑2)))
5953, 58cbvmpov 7506 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘Žβ€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))↑2))) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘”β€˜π‘˜) βˆ’ (β„Žβ€˜π‘˜))↑2)))
6026, 28, 31, 34, 36, 37, 47, 48, 59ioorrnopnlem 45099 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑗 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘—)(,)(π΅β€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
6123, 60syldan 591 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
6261ralrimiva 3146 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘“ ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))))
63 eqid 2732 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))
6463rrxtop 45084 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ Top)
6524, 64syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ Top)
6665adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ Top)
67 eltop2 22485 . . . . 5 ((TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ Top β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))))
6866, 67syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ X 𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–))βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)))))
6962, 68mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
7016, 69syldan 591 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
7114, 70pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)(,)(π΅β€˜π‘–)) ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑m cmap 8822  Xcixp 8893  Fincfn 8941  infcinf 9438  β„cr 11111   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  2c2 12269  (,)cioo 13326  β†‘cexp 14029  βˆšcsqrt 15182  Ξ£csu 15634  TopOpenctopn 17369  ballcbl 20937  Topctop 22402  β„^crrx 24907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-field 20364  df-abv 20429  df-staf 20457  df-srng 20458  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lmhm 20638  df-lvec 20719  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-refld 21164  df-phl 21185  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-xms 23833  df-ms 23834  df-nm 24098  df-ngp 24099  df-tng 24100  df-nrg 24101  df-nlm 24102  df-clm 24586  df-cph 24692  df-tcph 24693  df-rrx 24909
This theorem is referenced by:  ioorrnopnxrlem  45101
  Copyright terms: Public domain W3C validator