Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopn 46325
Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopn.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopn.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopn.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
ioorrnopn (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑣 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 p0ex 5383 . . . . . 6 {∅} ∈ V
21prid2 4762 . . . . 5 {∅} ∈ {∅, {∅}}
32a1i 11 . . . 4 (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4 ixpeq1 8949 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
5 ixp0x 8967 . . . . . . 7 X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅}
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
74, 6eqtrd 2776 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
8 2fveq3 6910 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
9 rrxtopn0b 46316 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
118, 10eqtrd 2776 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
127, 11eleq12d 2834 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
133, 12mpbird 257 . . 3 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
1413adantl 481 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
15 neqne 2947 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1615adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
17 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
18 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
1917, 18oveq12d 7450 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2019cbvixpv 8956 . . . . . . . . 9 X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))
2120eleq2i 2832 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2221biimpi 216 . . . . . . 7 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2322adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
24 ioorrnopn.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2524ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑋 ∈ Fin)
2621, 25sylan2br 595 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
27 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑋 ≠ ∅)
2821, 27sylan2br 595 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑋 ≠ ∅)
29 ioorrnopn.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
3029ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
3121, 30sylan2br 595 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
32 ioorrnopn.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
3332ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
3421, 33sylan2br 595 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
35 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
3621, 35sylan2br 595 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
37 eqid 2736 . . . . . . 7 ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)))) = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
38 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑖))
39 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑖))
4038, 39oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) = ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)))
41 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑖))
4239, 41oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)))
4340, 42breq12d 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)) ↔ ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
4443, 40, 42ifbieq12d 4553 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗))) = if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
4544cbvmptv 5254 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))) = (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
4645rneqi 5947 . . . . . . . 8 ran (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))) = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖))))
4746infeq1i 9519 . . . . . . 7 inf(ran (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)) ≤ ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝑓𝑖)), ((𝑓𝑖) − (𝐴𝑖)))), ℝ, < )
48 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))), ℝ, < )) = (𝑓(ball‘(𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))))inf(ran (𝑗𝑋 ↦ if(((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)) ≤ ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)), ((𝐵𝑗) − (𝑓𝑗)), ((𝑓𝑗) − (𝐴𝑗)))), ℝ, < ))
49 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑔 → (𝑎𝑘) = (𝑔𝑘))
5049oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑔 → ((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘)) = ((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘)))
5150oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑔 → (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2) = (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))
5251sumeq2sdv 15740 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑔 → Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2) = Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))
5352fveq2d 6909 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑔 → (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2)))
54 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = → (𝑏𝑘) = (𝑘))
5554oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = → ((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘)) = ((𝑔𝑘) − (𝑘)))
5655oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = → (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2) = (((𝑔𝑘) − (𝑘))↑2))
5756sumeq2sdv 15740 . . . . . . . . 9 (𝑏 = → Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2) = Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑘))↑2))
5857fveq2d 6909 . . . . . . . 8 (𝑏 = → (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑏𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑘))↑2)))
5953, 58cbvmpov 7529 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑎𝑘) − (𝑏𝑘))↑2))) = (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑔𝑘) − (𝑘))↑2)))
6026, 28, 31, 34, 36, 37, 47, 48, 59ioorrnopnlem 46324 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
6123, 60syldan 591 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
6261ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
63 eqid 2736 . . . . . . . 8 (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
6463rrxtop 46309 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
6524, 64syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
6665adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
67 eltop2 22983 . . . . 5 ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
6866, 67syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
6962, 68mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
7016, 69syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
7114, 70pm2.61dan 812 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5142  cmpt 5224  ran crn 5685  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cmpo 7434  m cmap 8867  Xcixp 8938  Fincfn 8986  infcinf 9482  cr 11155   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  2c2 12322  (,)cioo 13388  cexp 14103  csqrt 15273  Σcsu 15723  TopOpenctopn 17467  ballcbl 21352  Topctop 22900  ℝ^crrx 25418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-field 20733  df-abv 20811  df-staf 20841  df-srng 20842  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lmhm 21022  df-lvec 21103  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-refld 21624  df-phl 21645  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-xms 24331  df-ms 24332  df-nm 24596  df-ngp 24597  df-tng 24598  df-nrg 24599  df-nlm 24600  df-clm 25097  df-cph 25203  df-tcph 25204  df-rrx 25420
This theorem is referenced by:  ioorrnopnxrlem  46326
  Copyright terms: Public domain W3C validator