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Theorem hspdifhsp 42783
Description: A n-dimensional half-open interval is the intersection of the difference of half spaces. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hspdifhsp.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hspdifhsp.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hspdifhsp.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hspdifhsp.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hspdifhsp.h 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
Assertion
Ref Expression
hspdifhsp (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦

Proof of Theorem hspdifhsp
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑖𝜑
2 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑖𝑓
3 nfixp1 8476 . . . . . . . . 9 𝑖X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))
42, 3nfel 2997 . . . . . . . 8 𝑖 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))
51, 4nfan 1893 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
6 ixpfn 8461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) → 𝑓 Fn 𝑋)
76ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 Fn 𝑋)
8 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
98oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵𝑘)) = (-∞(,)(𝐵𝑖)))
10 iftrue 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) = (-∞(,)(𝐵𝑖)))
119, 10eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵𝑘)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
12 eqimss 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞(,)(𝐵𝑘)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) → (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
14 ioossre 12793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ ℝ
15 iffalse 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) = ℝ)
1614, 15sseqtrrid 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
1713, 16pm2.61i 183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ)
18 mnfxr 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → -∞ ∈ ℝ*)
20 hspdifhsp.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
2120ffvelrnda 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
2221rexrd 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
2322adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
24 hspdifhsp.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2524ffvelrnda 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
26 icossre 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ℝ)
2725, 22, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ℝ)
2827adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ℝ)
29 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
31 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑘 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑘))
32 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑘 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑘))
3331, 32oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
3433fvixp 8460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
3529, 30, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
3635adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
3728, 36sseldd 3972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
3837mnfltd 12514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → -∞ < (𝑓𝑘))
3925rexrd 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
4039adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
41 icoltub 41668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) → (𝑓𝑘) < (𝐵𝑘))
4240, 23, 36, 41syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) < (𝐵𝑘))
4319, 23, 37, 38, 42eliood 41657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ (-∞(,)(𝐵𝑘)))
4417, 43sseldi 3969 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
4544adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
4645ralrimiva 3187 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
477, 46jca 512 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ)))
48 vex 3503 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
4948elixp 8462 . . . . . . . . . . 11 (𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ)))
5047, 49sylibr 235 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
51 hspdifhsp.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
52 equequ1 2025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝑙𝑘 = 𝑙))
5352ifbid 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
5453cbvixpv 8473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑙𝑥𝑦 ∈ ℝ) → X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
5655mpoeq3ia 7226 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
5756mpteq2i 5155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
5851, 57eqtri 2849 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
59 hspdifhsp.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
61 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
6220adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
6362, 61ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6458, 60, 61, 63hspval 42776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
6564adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
6650, 65eleqtrrd 2921 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
6718a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → -∞ ∈ ℝ*)
6824adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6968, 61ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
7069rexrd 10685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
72 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
7358, 60, 61, 69hspval 42776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
7473adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
7572, 74eleqtrd 2920 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
7661adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑖𝑋)
77 iftrue 4476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) = (-∞(,)(𝐴𝑖)))
7877fvixp 8460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
7975, 76, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
80 iooltub 41670 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖))) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
8167, 71, 79, 80syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
8281adantllr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
8370adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
8463rexrd 10685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
8584adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
8648elixp 8462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
8786biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
8887simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) → ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
89 rspa 3211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
9088, 89sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
9190adantll 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
92 icogelb 12783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) → (𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖))
9383, 85, 91, 92syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖))
9469adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
95 icossre 12812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
9669, 84, 95syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
9796adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
9897, 91sseldd 3972 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
9994, 98lenltd 10780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖) ↔ ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)))
10093, 99mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
101100adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
10282, 101pm2.65da 813 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
10366, 102eldifd 3951 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
104103ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) → (𝑖𝑋𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
1055, 104ralrimi 3221 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) → ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
106 eliin 4922 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ V → (𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
10748, 106ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
108105, 107sylibr 235 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) → 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
109108ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) → 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
110 hspdifhsp.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
111 n0 4314 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘𝑋)
112111biimpi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑘 𝑘𝑋)
113110, 112syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 𝑘𝑋)
114113adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → ∃𝑘 𝑘𝑋)
115 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
116 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
117 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑘𝑖 = 𝑘)
118117, 32oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) = (𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)))
119117, 31oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) = (𝑘(𝐻𝑋)(𝐴𝑘)))
120118, 119difeq12d 4104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) = ((𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)) ∖ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐴𝑘))))
121120eleq2d 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → (𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ↔ 𝑓 ∈ ((𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)) ∖ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐴𝑘)))))
122115, 116, 121eliind 41217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)) ∖ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐴𝑘))))
123122eldifad 3952 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)))
124123adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)))
125 equequ1 2025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = → (𝑖 = 𝑙 = 𝑙))
126125ifbid 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
127126cbvixpv 8473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑙𝑥𝑦 ∈ ℝ) → X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
129128mpoeq3ia 7226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
130129mpteq2i 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
13151, 130eqtri 2849 . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
13259ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
133 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
13421adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
135131, 132, 133, 134hspval 42776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)) = X𝑋 if( = 𝑘, (-∞(,)(𝐵𝑘)), ℝ))
136124, 135eleqtrd 2920 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓X𝑋 if( = 𝑘, (-∞(,)(𝐵𝑘)), ℝ))
137 ixpfn 8461 . . . . . . . . . . 11 (𝑓X𝑋 if( = 𝑘, (-∞(,)(𝐵𝑘)), ℝ) → 𝑓 Fn 𝑋)
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 Fn 𝑋)
139138ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (𝑘𝑋𝑓 Fn 𝑋))
140139exlimdv 1927 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (∃𝑘 𝑘𝑋𝑓 Fn 𝑋))
141114, 140mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → 𝑓 Fn 𝑋)
142 nfii1 4951 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
1432, 142nfel 2997 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
1441, 143nfan 1893 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
145 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
146107biimpi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
147146adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
148 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
149 rspa 3211 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
150147, 148, 149syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
151150adantll 710 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
152 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
15370adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
15484adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
155 simpll 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
156 eldifi 4107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
157156ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
158 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
159 ioossre 12793 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ
160 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
16164adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
162160, 161eleqtrd 2920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
163 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
16410fvixp 8460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐵𝑖)))
165162, 163, 164syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐵𝑖)))
166159, 165sseldi 3969 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
167155, 157, 158, 166syl21anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
168167rexrd 10685 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ*)
169 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → 𝜑)
170156adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
171169, 170jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))))
172171ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))))
173 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑖𝑋)
174 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
175 ixpfn 8461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) → 𝑓 Fn 𝑋)
176162, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 Fn 𝑋)
177176adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑓 Fn 𝑋)
178 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑖))
179178adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑖))
18018a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → -∞ ∈ ℝ*)
18170ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
182166adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
183182mnfltd 12514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → -∞ < (𝑓𝑖))
184 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
185180, 181, 182, 183, 184eliood 41657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
186185adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
187179, 186eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
188187adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
18977eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐴𝑖)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
190189adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (-∞(,)(𝐴𝑖)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
191188, 190eleqtrd 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
19210, 159eqsstrdi 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ⊆ ℝ)
193 ssid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℝ ⊆ ℝ
19415, 193eqsstrdi 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ⊆ ℝ)
195192, 194pm2.61i 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ⊆ ℝ
196162adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
197 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
198 fvixp2 41345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
199196, 197, 198syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
200195, 199sseldi 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
201200adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
202 iffalse 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) = ℝ)
203202eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘 = 𝑖 → ℝ = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
204203adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → ℝ = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
205201, 204eleqtrd 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
206205adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
207191, 206pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
208207ralrimiva 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
209177, 208jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ)))
21048elixp 8462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ)))
211209, 210sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
21273eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) = (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
213212ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) = (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
214211, 213eleqtrd 2920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
215172, 173, 174, 214syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
216 eldifn 4108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
217216ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
218215, 217pm2.65da 813 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
219155, 158, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
220219, 167lenltd 10780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖) ↔ ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)))
221218, 220mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖))
22218a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → -∞ ∈ ℝ*)
22384adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
224 iooltub 41670 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐵𝑖))) → (𝑓𝑖) < (𝐵𝑖))
225222, 223, 165, 224syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) < (𝐵𝑖))
226155, 157, 158, 225syl21anc 835 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) < (𝐵𝑖))
227153, 154, 168, 221, 226elicod 12782 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
228145, 151, 152, 227syl21anc 835 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
229228ex 413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (𝑖𝑋 → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
230144, 229ralrimi 3221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
231141, 230jca 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
232231, 86sylibr 235 . . . . 5 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
233232ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
234109, 233impbid 213 . . 3 (𝜑 → (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
235234alrimiv 1921 . 2 (𝜑 → ∀𝑓(𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
236 dfcleq 2820 . 2 (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑓(𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
237235, 236sylibr 235 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wal 1528   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  Vcvv 3500  cdif 3937  wss 3940  c0 4295  ifcif 4470   ciin 4918   class class class wbr 5063  cmpt 5143   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cmpo 7152  Xcixp 8455  Fincfn 8503  cr 10530  -∞cmnf 10667  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  (,)cioo 12733  [,)cico 12735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-er 8284  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ioo 12737  df-ico 12739
This theorem is referenced by:  hoimbllem  42797
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