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Theorem hspdifhsp 46572
Description: A n-dimensional half-open interval is the intersection of the difference of half spaces. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hspdifhsp.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hspdifhsp.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hspdifhsp.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hspdifhsp.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hspdifhsp.h 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
Assertion
Ref Expression
hspdifhsp (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦

Proof of Theorem hspdifhsp
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑖𝜑
2 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑖𝑓
3 nfixp1 8957 . . . . . . . . 9 𝑖X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))
42, 3nfel 2918 . . . . . . . 8 𝑖 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))
51, 4nfan 1897 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
6 ixpfn 8942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) → 𝑓 Fn 𝑋)
76ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 Fn 𝑋)
8 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
98oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵𝑘)) = (-∞(,)(𝐵𝑖)))
10 iftrue 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) = (-∞(,)(𝐵𝑖)))
119, 10eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵𝑘)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
12 eqimss 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞(,)(𝐵𝑘)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) → (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
14 ioossre 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ ℝ
15 iffalse 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) = ℝ)
1614, 15sseqtrrid 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
1713, 16pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞(,)(𝐵𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ)
18 mnfxr 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → -∞ ∈ ℝ*)
20 hspdifhsp.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
2120ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
2221rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
2322adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
24 hspdifhsp.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2524ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
26 icossre 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ℝ)
2725, 22, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ℝ)
2827adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ℝ)
29 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
31 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑘 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑘))
32 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑘 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑘))
3331, 32oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
3433fvixp 8941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
3529, 30, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
3635adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
3728, 36sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
3837mnfltd 13164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → -∞ < (𝑓𝑘))
3925rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
4039adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
41 icoltub 45461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑘) ∈ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) → (𝑓𝑘) < (𝐵𝑘))
4240, 23, 36, 41syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) < (𝐵𝑘))
4319, 23, 37, 38, 42eliood 45451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ (-∞(,)(𝐵𝑘)))
4417, 43sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
4544adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
4645ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
477, 46jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ)))
48 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
4948elixp 8943 . . . . . . . . . . 11 (𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ)))
5047, 49sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
51 hspdifhsp.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
52 equequ1 2022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝑙𝑘 = 𝑙))
5352ifbid 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
5453cbvixpv 8954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑙𝑥𝑦 ∈ ℝ) → X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
5655mpoeq3ia 7511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
5756mpteq2i 5253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
5851, 57eqtri 2763 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
59 hspdifhsp.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
6220adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
6362, 61ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6458, 60, 61, 63hspval 46565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
6564adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
6650, 65eleqtrrd 2842 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
6718a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → -∞ ∈ ℝ*)
6824adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6968, 61ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
7069rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
72 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
7358, 60, 61, 69hspval 46565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
7572, 74eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
7661adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑖𝑋)
77 iftrue 4537 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) = (-∞(,)(𝐴𝑖)))
7877fvixp 8941 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
7975, 76, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
80 iooltub 45463 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖))) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
8167, 71, 79, 80syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
8281adantllr 719 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
8370adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
8463rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
8584adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
8648elixp 8943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
8786biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
8887simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) → ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
89 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
9088, 89sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
9190adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
92 icogelb 13435 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) → (𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖))
9383, 85, 91, 92syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖))
9469adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
95 icossre 13465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
9669, 84, 95syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
9796adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
9897, 91sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
9994, 98lenltd 11405 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖) ↔ ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)))
10093, 99mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
101100adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
10282, 101pm2.65da 817 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
10366, 102eldifd 3974 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
104103ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) → (𝑖𝑋𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
1055, 104ralrimi 3255 . . . . . 6 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) → ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
106 eliin 5001 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ V → (𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
10748, 106ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
108105, 107sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))) → 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
109108ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) → 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
110 hspdifhsp.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
111 n0 4359 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘𝑋)
112111biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑘 𝑘𝑋)
113110, 112syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 𝑘𝑋)
114113adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → ∃𝑘 𝑘𝑋)
115 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
116 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
117 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑘𝑖 = 𝑘)
118117, 32oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) = (𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)))
119117, 31oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) = (𝑘(𝐻𝑋)(𝐴𝑘)))
120118, 119difeq12d 4137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) = ((𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)) ∖ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐴𝑘))))
121120eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → (𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ↔ 𝑓 ∈ ((𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)) ∖ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐴𝑘)))))
122115, 116, 121eliind 45011 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)) ∖ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐴𝑘))))
123122eldifad 3975 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)))
124123adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)))
125 equequ1 2022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = → (𝑖 = 𝑙 = 𝑙))
126125ifbid 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
127126cbvixpv 8954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑙𝑥𝑦 ∈ ℝ) → X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
129128mpoeq3ia 7511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)) = (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
130129mpteq2i 5253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
13151, 130eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑥 if( = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
13259ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
133 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
13421adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
135131, 132, 133, 134hspval 46565 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑘(𝐻𝑋)(𝐵𝑘)) = X𝑋 if( = 𝑘, (-∞(,)(𝐵𝑘)), ℝ))
136124, 135eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓X𝑋 if( = 𝑘, (-∞(,)(𝐵𝑘)), ℝ))
137 ixpfn 8942 . . . . . . . . . . 11 (𝑓X𝑋 if( = 𝑘, (-∞(,)(𝐵𝑘)), ℝ) → 𝑓 Fn 𝑋)
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓 Fn 𝑋)
139138ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (𝑘𝑋𝑓 Fn 𝑋))
140139exlimdv 1931 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (∃𝑘 𝑘𝑋𝑓 Fn 𝑋))
141114, 140mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → 𝑓 Fn 𝑋)
142 nfii1 5034 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
1432, 142nfel 2918 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
1441, 143nfan 1897 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
145 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
146107biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
147146adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → ∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
148 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
149 rspa 3246 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑖𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
150147, 148, 149syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
151150adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
152 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
15370adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
15484adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
155 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
156 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
157156ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
158 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
159 ioossre 13445 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ
160 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
16164adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) = X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
162160, 161eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
163 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
16410fvixp 8941 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐵𝑖)))
165162, 163, 164syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐵𝑖)))
166159, 165sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
167155, 157, 158, 166syl21anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
168167rexrd 11309 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ*)
169 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → 𝜑)
170156adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)))
171169, 170jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))))
172171ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))))
173 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑖𝑋)
174 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
175 ixpfn 8942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) → 𝑓 Fn 𝑋)
176162, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 Fn 𝑋)
177176adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑓 Fn 𝑋)
178 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑖))
179178adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑖))
18018a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → -∞ ∈ ℝ*)
18170ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
182166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
183182mnfltd 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → -∞ < (𝑓𝑖))
184 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
185180, 181, 182, 183, 184eliood 45451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
186185adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
187179, 186eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
188187adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ (-∞(,)(𝐴𝑖)))
18977eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐴𝑖)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
190189adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (-∞(,)(𝐴𝑖)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
191188, 190eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
19210, 159eqsstrdi 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ⊆ ℝ)
193 ssid 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℝ ⊆ ℝ
19415, 193eqsstrdi 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ⊆ ℝ)
195192, 194pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ⊆ ℝ
196162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
197 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
198 fvixp2 45142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
199196, 197, 198syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵𝑖)), ℝ))
200195, 199sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
201200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
202 iffalse 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) = ℝ)
203202eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘 = 𝑖 → ℝ = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
204203adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → ℝ = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
205201, 204eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ 𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
206205adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
207191, 206pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
208207ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
209177, 208jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ)))
21048elixp 8943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑓𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ)))
211209, 210sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑓X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ))
21273eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) = (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
213212ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → X𝑘𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴𝑖)), ℝ) = (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
214211, 213eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
215172, 173, 174, 214syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
216 eldifn 4142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
217216ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) ∧ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))
218215, 217pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖))
219155, 158, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
220219, 167lenltd 11405 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖) ↔ ¬ (𝑓𝑖) < (𝐴𝑖)))
221218, 220mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ (𝑓𝑖))
22218a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → -∞ ∈ ℝ*)
22384adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
224 iooltub 45463 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑓𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐵𝑖))) → (𝑓𝑖) < (𝐵𝑖))
225222, 223, 165, 224syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) < (𝐵𝑖))
226155, 157, 158, 225syl21anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) < (𝐵𝑖))
227153, 154, 168, 221, 226elicod 13434 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
228145, 151, 152, 227syl21anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
229228ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (𝑖𝑋 → (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
230144, 229ralrimi 3255 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
231141, 230jca 511 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
232231, 86sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)))
233232ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖))))
234109, 233impbid 212 . . 3 (𝜑 → (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
235234alrimiv 1925 . 2 (𝜑 → ∀𝑓(𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
236 dfcleq 2728 . 2 (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑓(𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)))))
237235, 236sylibr 234 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1535   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531   ciin 4997   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Xcixp 8936  Fincfn 8984  cr 11152  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  (,)cioo 13384  [,)cico 13386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ioo 13388  df-ico 13390
This theorem is referenced by:  hoimbllem  46586
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