Theorem cnven 9016

Description: A relational set is equinumerous to its converse. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnven	⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≈ ◡𝐴)

Proof of Theorem cnven

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		cnvexg 7907	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)
3	2	adantl 485	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ◡𝐴 ∈ V)
4		cnvf1o 8092	. . 3 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∪ ◡{𝑥}):𝐴–1-1-onto→◡𝐴)
5	4	adantr 484	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∪ ◡{𝑥}):𝐴–1-1-onto→◡𝐴)
6		f1oen2g 8951	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∪ ◡{𝑥}):𝐴–1-1-onto→◡𝐴) → 𝐴 ≈ ◡𝐴)
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1392	1 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≈ ◡𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456  {csn 4584  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5648  Rel wrel 5654  –1-1-onto→wf1o 6522   ≈ cen 8926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-en 8930

This theorem is referenced by:  cnvct  9017  cnvfiALT  9284  lgsquadlem3  27448