Theorem cnven 8955

Description: A relational set is equinumerous to its converse. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnven	⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≈ ◡𝐴)

Proof of Theorem cnven

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		cnvexg 7854	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ◡𝐴 ∈ V)
4		cnvf1o 8041	. . 3 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∪ ◡{𝑥}):𝐴–1-1-onto→◡𝐴)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∪ ◡{𝑥}):𝐴–1-1-onto→◡𝐴)
6		f1oen2g 8891	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∪ ◡{𝑥}):𝐴–1-1-onto→◡𝐴) → 𝐴 ≈ ◡𝐴)
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≈ ◡𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  {csn 4573  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613  Rel wrel 5619  –1-1-onto→wf1o 6480   ≈ cen 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-en 8870

This theorem is referenced by:  cnvct  8956  cnvfiALT  9223  lgsquadlem3  27320