MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquadlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquadlem3 26875
Description: Lemma for lgsquad 26876. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
lgsquad.4 ๐‘€ = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
lgsquad.5 ๐‘ = ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)
lgsquad.6 ๐‘† = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}
Assertion
Ref Expression
lgsquadlem3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ /L ๐‘„) ยท (๐‘„ /L ๐‘ƒ)) = (-1โ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘„,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฆ,๐‘†

Proof of Theorem lgsquadlem3
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 lgseisen.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
3 lgseisen.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
43necomd 2997 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ)
5 lgsquad.5 . . . . 5 ๐‘ = ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)
6 lgsquad.4 . . . . 5 ๐‘€ = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
7 eleq1w 2817 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†” ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)))
8 eleq1w 2817 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘) โ†” ๐‘ค โˆˆ (1...๐‘)))
97, 8bi2anan9 638 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†” (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ค โˆˆ (1...๐‘))))
109biancomd 465 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†” (๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€))))
11 oveq1 7413 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) = (๐‘ง ยท ๐‘„))
12 oveq1 7413 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))
1311, 12breqan12d 5164 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†” (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ)))
1410, 13anbi12d 632 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โ†” ((๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))))
1514ancoms 460 . . . . . 6 ((๐‘ฆ = ๐‘ค โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ง) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โ†” ((๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))))
1615cbvopabv 5221 . . . . 5 {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} = {โŸจ๐‘ค, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))}
171, 2, 4, 5, 6, 16lgsquadlem2 26874 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ /L ๐‘„) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})))
18 relopabv 5820 . . . . . . . 8 Rel {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}
19 fzfid 13935 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘€) โˆˆ Fin)
20 fzfid 13935 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
21 xpfi 9314 . . . . . . . . . 10 (((1...๐‘€) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin)
2219, 20, 21syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin)
23 opabssxp 5767 . . . . . . . . 9 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โŠ† ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))
24 ssfi 9170 . . . . . . . . 9 ((((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin โˆง {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โŠ† ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin)
2522, 23, 24sylancl 587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin)
26 cnven 9030 . . . . . . . 8 ((Rel {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆง {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin) โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ โ—ก{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})
2718, 25, 26sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ โ—ก{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})
28 cnvopab 6136 . . . . . . 7 โ—ก{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} = {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}
2927, 28breqtrdi 5189 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})
30 hasheni 14305 . . . . . 6 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) = (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}))
3129, 30syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) = (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}))
3231oveq2d 7422 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})))
3317, 32eqtr4d 2776 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ /L ๐‘„) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})))
34 lgsquad.6 . . . 4 ๐‘† = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}
352, 1, 3, 6, 5, 34lgsquadlem2 26874 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘†)))
3633, 35oveq12d 7424 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ /L ๐‘„) ยท (๐‘„ /L ๐‘ƒ)) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘†))))
37 neg1cn 12323 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
3837a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
39 opabssxp 5767 . . . . . 6 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))} โŠ† ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))
4034, 39eqsstri 4016 . . . . 5 ๐‘† โŠ† ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))
41 ssfi 9170 . . . . 5 ((((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โŠ† ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
4222, 40, 41sylancl 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
43 hashcl 14313 . . . 4 (๐‘† โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•0)
4442, 43syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•0)
45 hashcl 14313 . . . 4 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) โˆˆ โ„•0)
4625, 45syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) โˆˆ โ„•0)
4738, 44, 46expaddd 14110 . 2 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘†))))
481eldifad 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
50 prmnn 16608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
521, 5gausslemma2dlem0b 26850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5453nnzd 12582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
55 prmz 16609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
5649, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
57 peano2zm 12602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘„ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5953nnred 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
6058zred 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
61 prmuz2 16630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6249, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
63 uz2m1nn 12904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘„ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
6564nnrpd 13011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
66 rphalflt 13000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘„ โˆ’ 1))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘„ โˆ’ 1))
685, 67eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ < (๐‘„ โˆ’ 1))
6959, 60, 68ltled 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘„ โˆ’ 1))
70 eluz2 12825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘„ โˆ’ 1)))
7154, 58, 69, 70syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
72 fzss2 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (1...๐‘) โŠ† (1...(๐‘„ โˆ’ 1)))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (1...๐‘) โŠ† (1...(๐‘„ โˆ’ 1)))
74 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))
7573, 74sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘„ โˆ’ 1)))
76 fzm1ndvds 16262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘„ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ)
7751, 75, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ)
784adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ)
792eldifad 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
8079adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
81 prmrp 16646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†” ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ))
8249, 80, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†” ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ))
8378, 82mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1)
84 prmz 16609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8580, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
86 elfzelz 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
8786ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
88 coprmdvds 16587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ))
8956, 85, 87, 88syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ))
9083, 89mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ))
9177, 90mtod 197 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ))
92 prmnn 16608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9380, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9493nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
95 elfznn 13527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
9695ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
9796nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
9894, 97mulcomd 11232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))
9998breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
10091, 99mtbid 324 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))
101 elfzelz 13498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
102101ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
103 dvdsmul2 16219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘„))
104102, 56, 103syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘„))
105 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ†” ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
106104, 105syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
107106necon3bd 2955 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (ยฌ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ‰  (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
108100, 107mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ‰  (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))
109 elfznn 13527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
110109ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
111110, 51nnmulcld 12262 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„•)
112111nnred 12224 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
11396, 93nnmulcld 12262 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
114113nnred 12224 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
115112, 114lttri2d 11350 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ‰  (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
116108, 115mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))
117116ex 414 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
118117pm4.71rd 564 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†” (((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)))))
119 ancom 462 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
120118, 119bitr2di 288 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))))
121120opabbidv 5214 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))})
122 unopab 5230 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆจ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
12334uneq2i 4160 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†) = ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))})
124 andi 1007 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆจ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
125124opabbii 5215 . . . . . . 7 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆจ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
126122, 123, 1253eqtr4i 2771 . . . . . 6 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
127 df-xp 5682 . . . . . 6 ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))}
128121, 126, 1273eqtr4g 2798 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†) = ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)))
129128fveq2d 6893 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†)) = (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))))
130 inopab 5828 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
13134ineq2i 4209 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))})
132 anandi 675 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
133132opabbii 5215 . . . . . . 7 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
134130, 131, 1333eqtr4i 2771 . . . . . 6 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
135 ltnsym2 11310 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))
136112, 114, 135syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))
137136ex 414 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
138 imnan 401 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” ยฌ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
139137, 138sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
140139nexdv 1940 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
141140nexdv 1940 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
142 opabn0 5553 . . . . . . . 8 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
143142necon1bbii 2991 . . . . . . 7 (ยฌ โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = โˆ…)
144141, 143sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = โˆ…)
145134, 144eqtrid 2785 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = โˆ…)
146 hashun 14339 . . . . 5 (({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โˆˆ Fin โˆง ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†)) = ((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†)))
14725, 42, 145, 146syl3anc 1372 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†)) = ((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†)))
148 hashxp 14391 . . . . . 6 (((1...๐‘€) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(1...๐‘))))
14919, 20, 148syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(1...๐‘))))
1502, 6gausslemma2dlem0b 26850 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
151150nnnn0d 12529 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
152 hashfz1 14303 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) = ๐‘€)
153151, 152syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) = ๐‘€)
15452nnnn0d 12529 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
155 hashfz1 14303 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
156154, 155syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
157153, 156oveq12d 7424 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(1...๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
158149, 157eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
159129, 147, 1583eqtr3d 2781 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
160159oveq2d 7422 . 2 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†))) = (-1โ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
16136, 47, 1603eqtr2d 2779 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ /L ๐‘„) ยท (๐‘„ /L ๐‘ƒ)) = (-1โ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆ– cdif 3945   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  {copab 5210   ร— cxp 5674  โ—กccnv 5675  Rel wrel 5681  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   โ‰ˆ cen 8933  Fincfn 8936  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   < clt 11245   โ‰ค cle 11246   โˆ’ cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  โ„•cn 12209  2c2 12264  โ„•0cn0 12469  โ„คcz 12555  โ„คโ‰ฅcuz 12819  โ„+crp 12971  ...cfz 13481  โ†‘cexp 14024  โ™ฏchash 14287   โˆฅ cdvds 16194   gcd cgcd 16432  โ„™cprime 16605   /L clgs 26787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-phi 16696  df-pc 16767  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-imas 17451  df-qus 17452  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-nsg 18999  df-eqg 19000  df-ghm 19085  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-rnghom 20244  df-nzr 20285  df-drng 20310  df-field 20311  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-lidl 20780  df-rsp 20781  df-2idl 20850  df-rlreg 20892  df-domn 20893  df-idom 20894  df-cnfld 20938  df-zring 21011  df-zrh 21045  df-zn 21048  df-lgs 26788
This theorem is referenced by:  lgsquad  26876
  Copyright terms: Public domain W3C validator