MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquadlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquadlem3 27231
Description: Lemma for lgsquad 27232. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
lgsquad.4 ๐‘€ = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
lgsquad.5 ๐‘ = ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)
lgsquad.6 ๐‘† = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}
Assertion
Ref Expression
lgsquadlem3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ /L ๐‘„) ยท (๐‘„ /L ๐‘ƒ)) = (-1โ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘„,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฆ,๐‘†

Proof of Theorem lgsquadlem3
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 lgseisen.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
3 lgseisen.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
43necomd 2988 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ)
5 lgsquad.5 . . . . 5 ๐‘ = ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)
6 lgsquad.4 . . . . 5 ๐‘€ = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
7 eleq1w 2808 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†” ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)))
8 eleq1w 2808 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘) โ†” ๐‘ค โˆˆ (1...๐‘)))
97, 8bi2anan9 636 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†” (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ค โˆˆ (1...๐‘))))
109biancomd 463 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†” (๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€))))
11 oveq1 7408 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) = (๐‘ง ยท ๐‘„))
12 oveq1 7408 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))
1311, 12breqan12d 5154 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†” (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ)))
1410, 13anbi12d 630 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โ†” ((๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))))
1514ancoms 458 . . . . . 6 ((๐‘ฆ = ๐‘ค โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ง) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โ†” ((๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))))
1615cbvopabv 5211 . . . . 5 {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} = {โŸจ๐‘ค, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))}
171, 2, 4, 5, 6, 16lgsquadlem2 27230 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ /L ๐‘„) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})))
18 relopabv 5811 . . . . . . . 8 Rel {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}
19 fzfid 13935 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘€) โˆˆ Fin)
20 fzfid 13935 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
21 xpfi 9313 . . . . . . . . . 10 (((1...๐‘€) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin)
2219, 20, 21syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin)
23 opabssxp 5758 . . . . . . . . 9 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โІ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))
24 ssfi 9169 . . . . . . . . 9 ((((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin โˆง {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โІ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin)
2522, 23, 24sylancl 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin)
26 cnven 9029 . . . . . . . 8 ((Rel {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆง {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin) โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ โ—ก{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})
2718, 25, 26sylancr 586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ โ—ก{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})
28 cnvopab 6128 . . . . . . 7 โ—ก{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} = {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}
2927, 28breqtrdi 5179 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})
30 hasheni 14305 . . . . . 6 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) = (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}))
3129, 30syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) = (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}))
3231oveq2d 7417 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})))
3317, 32eqtr4d 2767 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ /L ๐‘„) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})))
34 lgsquad.6 . . . 4 ๐‘† = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}
352, 1, 3, 6, 5, 34lgsquadlem2 27230 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘†)))
3633, 35oveq12d 7419 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ /L ๐‘„) ยท (๐‘„ /L ๐‘ƒ)) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘†))))
37 neg1cn 12323 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
3837a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
39 opabssxp 5758 . . . . . 6 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))} โІ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))
4034, 39eqsstri 4008 . . . . 5 ๐‘† โІ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))
41 ssfi 9169 . . . . 5 ((((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โІ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
4222, 40, 41sylancl 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
43 hashcl 14313 . . . 4 (๐‘† โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•0)
4442, 43syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•0)
45 hashcl 14313 . . . 4 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) โˆˆ โ„•0)
4625, 45syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) โˆˆ โ„•0)
4738, 44, 46expaddd 14110 . 2 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘†))))
481eldifad 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
50 prmnn 16608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
521, 5gausslemma2dlem0b 27206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5453nnzd 12582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
55 prmz 16609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
5649, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
57 peano2zm 12602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘„ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5953nnred 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
6058zred 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
61 prmuz2 16630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6249, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
63 uz2m1nn 12904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘„ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
6564nnrpd 13011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
66 rphalflt 13000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘„ โˆ’ 1))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘„ โˆ’ 1))
685, 67eqbrtrid 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ < (๐‘„ โˆ’ 1))
6959, 60, 68ltled 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘„ โˆ’ 1))
70 eluz2 12825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘„ โˆ’ 1)))
7154, 58, 69, 70syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
72 fzss2 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (1...๐‘) โІ (1...(๐‘„ โˆ’ 1)))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (1...๐‘) โІ (1...(๐‘„ โˆ’ 1)))
74 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))
7573, 74sseldd 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘„ โˆ’ 1)))
76 fzm1ndvds 16262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘„ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ)
7751, 75, 76syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ)
784adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ)
792eldifad 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
81 prmrp 16646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†” ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ))
8249, 80, 81syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†” ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ))
8378, 82mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1)
84 prmz 16609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8580, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
86 elfzelz 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
8786ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
88 coprmdvds 16587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ))
8956, 85, 87, 88syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ))
9083, 89mpan2d 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ))
9177, 90mtod 197 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ))
92 prmnn 16608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9380, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9493nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
95 elfznn 13527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
9695ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
9796nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
9894, 97mulcomd 11232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))
9998breq2d 5150 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
10091, 99mtbid 324 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))
101 elfzelz 13498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
102101ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
103 dvdsmul2 16219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘„))
104102, 56, 103syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘„))
105 breq2 5142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ†” ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
106104, 105syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
107106necon3bd 2946 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (ยฌ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ‰  (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
108100, 107mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ‰  (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))
109 elfznn 13527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
110109ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
111110, 51nnmulcld 12262 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„•)
112111nnred 12224 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
11396, 93nnmulcld 12262 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
114113nnred 12224 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
115112, 114lttri2d 11350 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ‰  (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
116108, 115mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))
117116ex 412 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
118117pm4.71rd 562 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†” (((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)))))
119 ancom 460 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
120118, 119bitr2di 288 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))))
121120opabbidv 5204 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))})
122 unopab 5220 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆจ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
12334uneq2i 4152 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†) = ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))})
124 andi 1004 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆจ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
125124opabbii 5205 . . . . . . 7 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆจ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
126122, 123, 1253eqtr4i 2762 . . . . . 6 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
127 df-xp 5672 . . . . . 6 ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))}
128121, 126, 1273eqtr4g 2789 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†) = ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)))
129128fveq2d 6885 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†)) = (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))))
130 inopab 5819 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
13134ineq2i 4201 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))})
132 anandi 673 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
133132opabbii 5205 . . . . . . 7 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
134130, 131, 1333eqtr4i 2762 . . . . . 6 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
135 ltnsym2 11310 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))
136112, 114, 135syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))
137136ex 412 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
138 imnan 399 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” ยฌ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
139137, 138sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
140139nexdv 1931 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
141140nexdv 1931 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
142 opabn0 5543 . . . . . . . 8 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
143142necon1bbii 2982 . . . . . . 7 (ยฌ โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = โˆ…)
144141, 143sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = โˆ…)
145134, 144eqtrid 2776 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = โˆ…)
146 hashun 14339 . . . . 5 (({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โˆˆ Fin โˆง ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†)) = ((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†)))
14725, 42, 145, 146syl3anc 1368 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†)) = ((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†)))
148 hashxp 14391 . . . . . 6 (((1...๐‘€) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(1...๐‘))))
14919, 20, 148syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(1...๐‘))))
1502, 6gausslemma2dlem0b 27206 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
151150nnnn0d 12529 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
152 hashfz1 14303 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) = ๐‘€)
153151, 152syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) = ๐‘€)
15452nnnn0d 12529 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
155 hashfz1 14303 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
156154, 155syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
157153, 156oveq12d 7419 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(1...๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
158149, 157eqtrd 2764 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
159129, 147, 1583eqtr3d 2772 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
160159oveq2d 7417 . 2 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†))) = (-1โ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
16136, 47, 1603eqtr2d 2770 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ /L ๐‘„) ยท (๐‘„ /L ๐‘ƒ)) = (-1โ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   โˆ– cdif 3937   โˆช cun 3938   โˆฉ cin 3939   โІ wss 3940  โˆ…c0 4314  {csn 4620   class class class wbr 5138  {copab 5200   ร— cxp 5664  โ—กccnv 5665  Rel wrel 5671  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   โ‰ˆ cen 8932  Fincfn 8935  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11245   โ‰ค cle 11246   โˆ’ cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  โ„•cn 12209  2c2 12264  โ„•0cn0 12469  โ„คcz 12555  โ„คโ‰ฅcuz 12819  โ„+crp 12971  ...cfz 13481  โ†‘cexp 14024  โ™ฏchash 14287   โˆฅ cdvds 16194   gcd cgcd 16432  โ„™cprime 16605   /L clgs 27143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-phi 16698  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-nzr 20405  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20579  df-field 20580  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-lidl 21057  df-rsp 21058  df-2idl 21097  df-rlreg 21183  df-domn 21184  df-idom 21185  df-cnfld 21229  df-zring 21302  df-zrh 21358  df-zn 21361  df-lgs 27144
This theorem is referenced by:  lgsquad  27232
  Copyright terms: Public domain W3C validator