MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquadlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquadlem3 26733
Description: Lemma for lgsquad 26734. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
lgsquad.4 ๐‘€ = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
lgsquad.5 ๐‘ = ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)
lgsquad.6 ๐‘† = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}
Assertion
Ref Expression
lgsquadlem3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ /L ๐‘„) ยท (๐‘„ /L ๐‘ƒ)) = (-1โ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘„,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฆ,๐‘†

Proof of Theorem lgsquadlem3
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 lgseisen.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
3 lgseisen.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
43necomd 3000 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ)
5 lgsquad.5 . . . . 5 ๐‘ = ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)
6 lgsquad.4 . . . . 5 ๐‘€ = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
7 eleq1w 2821 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†” ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)))
8 eleq1w 2821 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘) โ†” ๐‘ค โˆˆ (1...๐‘)))
97, 8bi2anan9 638 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†” (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ค โˆˆ (1...๐‘))))
109biancomd 465 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†” (๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€))))
11 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) = (๐‘ง ยท ๐‘„))
12 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))
1311, 12breqan12d 5122 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†” (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ)))
1410, 13anbi12d 632 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โ†” ((๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))))
1514ancoms 460 . . . . . 6 ((๐‘ฆ = ๐‘ค โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ง) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โ†” ((๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))))
1615cbvopabv 5179 . . . . 5 {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} = {โŸจ๐‘ค, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))}
171, 2, 4, 5, 6, 16lgsquadlem2 26732 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ /L ๐‘„) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})))
18 relopabv 5778 . . . . . . . 8 Rel {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}
19 fzfid 13879 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘€) โˆˆ Fin)
20 fzfid 13879 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
21 xpfi 9262 . . . . . . . . . 10 (((1...๐‘€) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin)
2219, 20, 21syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin)
23 opabssxp 5725 . . . . . . . . 9 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โŠ† ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))
24 ssfi 9118 . . . . . . . . 9 ((((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin โˆง {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โŠ† ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin)
2522, 23, 24sylancl 587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin)
26 cnven 8978 . . . . . . . 8 ((Rel {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆง {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin) โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ โ—ก{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})
2718, 25, 26sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ โ—ก{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})
28 cnvopab 6092 . . . . . . 7 โ—ก{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} = {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}
2927, 28breqtrdi 5147 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})
30 hasheni 14249 . . . . . 6 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) = (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}))
3129, 30syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) = (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}))
3231oveq2d 7374 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})))
3317, 32eqtr4d 2780 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ /L ๐‘„) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})))
34 lgsquad.6 . . . 4 ๐‘† = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}
352, 1, 3, 6, 5, 34lgsquadlem2 26732 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘†)))
3633, 35oveq12d 7376 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ /L ๐‘„) ยท (๐‘„ /L ๐‘ƒ)) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘†))))
37 neg1cn 12268 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
3837a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
39 opabssxp 5725 . . . . . 6 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))} โŠ† ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))
4034, 39eqsstri 3979 . . . . 5 ๐‘† โŠ† ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))
41 ssfi 9118 . . . . 5 ((((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โŠ† ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
4222, 40, 41sylancl 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
43 hashcl 14257 . . . 4 (๐‘† โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•0)
4442, 43syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•0)
45 hashcl 14257 . . . 4 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) โˆˆ โ„•0)
4625, 45syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) โˆˆ โ„•0)
4738, 44, 46expaddd 14054 . 2 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘†))))
481eldifad 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
50 prmnn 16551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
521, 5gausslemma2dlem0b 26708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5453nnzd 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
55 prmz 16552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
5649, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
57 peano2zm 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘„ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5953nnred 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
6058zred 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
61 prmuz2 16573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6249, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
63 uz2m1nn 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘„ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
6564nnrpd 12956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
66 rphalflt 12945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘„ โˆ’ 1))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘„ โˆ’ 1))
685, 67eqbrtrid 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ < (๐‘„ โˆ’ 1))
6959, 60, 68ltled 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘„ โˆ’ 1))
70 eluz2 12770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘„ โˆ’ 1)))
7154, 58, 69, 70syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
72 fzss2 13482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (1...๐‘) โŠ† (1...(๐‘„ โˆ’ 1)))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (1...๐‘) โŠ† (1...(๐‘„ โˆ’ 1)))
74 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))
7573, 74sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘„ โˆ’ 1)))
76 fzm1ndvds 16205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘„ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ)
7751, 75, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ)
784adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ)
792eldifad 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
8079adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
81 prmrp 16589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†” ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ))
8249, 80, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†” ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ))
8378, 82mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1)
84 prmz 16552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8580, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
86 elfzelz 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
8786ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
88 coprmdvds 16530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ))
8956, 85, 87, 88syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ))
9083, 89mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ))
9177, 90mtod 197 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ))
92 prmnn 16551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9380, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9493nncnd 12170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
95 elfznn 13471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
9695ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
9796nncnd 12170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
9894, 97mulcomd 11177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))
9998breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
10091, 99mtbid 324 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))
101 elfzelz 13442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
102101ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
103 dvdsmul2 16162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘„))
104102, 56, 103syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘„))
105 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ†” ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
106104, 105syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
107106necon3bd 2958 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (ยฌ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ‰  (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
108100, 107mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ‰  (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))
109 elfznn 13471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
110109ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
111110, 51nnmulcld 12207 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„•)
112111nnred 12169 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
11396, 93nnmulcld 12207 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
114113nnred 12169 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
115112, 114lttri2d 11295 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ‰  (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
116108, 115mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))
117116ex 414 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
118117pm4.71rd 564 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†” (((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)))))
119 ancom 462 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
120118, 119bitr2di 288 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))))
121120opabbidv 5172 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))})
122 unopab 5188 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆจ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
12334uneq2i 4121 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†) = ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))})
124 andi 1007 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆจ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
125124opabbii 5173 . . . . . . 7 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆจ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
126122, 123, 1253eqtr4i 2775 . . . . . 6 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
127 df-xp 5640 . . . . . 6 ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))}
128121, 126, 1273eqtr4g 2802 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†) = ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)))
129128fveq2d 6847 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†)) = (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))))
130 inopab 5786 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
13134ineq2i 4170 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))})
132 anandi 675 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
133132opabbii 5173 . . . . . . 7 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
134130, 131, 1333eqtr4i 2775 . . . . . 6 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
135 ltnsym2 11255 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))
136112, 114, 135syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))
137136ex 414 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
138 imnan 401 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” ยฌ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
139137, 138sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
140139nexdv 1940 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
141140nexdv 1940 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
142 opabn0 5511 . . . . . . . 8 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
143142necon1bbii 2994 . . . . . . 7 (ยฌ โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = โˆ…)
144141, 143sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = โˆ…)
145134, 144eqtrid 2789 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = โˆ…)
146 hashun 14283 . . . . 5 (({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โˆˆ Fin โˆง ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†)) = ((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†)))
14725, 42, 145, 146syl3anc 1372 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†)) = ((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†)))
148 hashxp 14335 . . . . . 6 (((1...๐‘€) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(1...๐‘))))
14919, 20, 148syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(1...๐‘))))
1502, 6gausslemma2dlem0b 26708 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
151150nnnn0d 12474 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
152 hashfz1 14247 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) = ๐‘€)
153151, 152syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) = ๐‘€)
15452nnnn0d 12474 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
155 hashfz1 14247 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
156154, 155syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
157153, 156oveq12d 7376 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(1...๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
158149, 157eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
159129, 147, 1583eqtr3d 2785 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
160159oveq2d 7374 . 2 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†))) = (-1โ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
16136, 47, 1603eqtr2d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ /L ๐‘„) ยท (๐‘„ /L ๐‘ƒ)) = (-1โ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โˆ– cdif 3908   โˆช cun 3909   โˆฉ cin 3910   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106  {copab 5168   ร— cxp 5632  โ—กccnv 5633  Rel wrel 5639  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โ‰ˆ cen 8881  Fincfn 8884  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386  -cneg 11387   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764  โ„+crp 12916  ...cfz 13425  โ†‘cexp 13968  โ™ฏchash 14231   โˆฅ cdvds 16137   gcd cgcd 16375  โ„™cprime 16548   /L clgs 26645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-pc 16710  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-imas 17391  df-qus 17392  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-mulg 18874  df-subg 18926  df-nsg 18927  df-eqg 18928  df-ghm 19007  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-lidl 20638  df-rsp 20639  df-2idl 20705  df-nzr 20731  df-rlreg 20756  df-domn 20757  df-idom 20758  df-cnfld 20800  df-zring 20873  df-zrh 20907  df-zn 20910  df-lgs 26646
This theorem is referenced by:  lgsquad  26734
  Copyright terms: Public domain W3C validator