MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquadlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquadlem3 27121
Description: Lemma for lgsquad 27122. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
lgsquad.4 ๐‘€ = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
lgsquad.5 ๐‘ = ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)
lgsquad.6 ๐‘† = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}
Assertion
Ref Expression
lgsquadlem3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ /L ๐‘„) ยท (๐‘„ /L ๐‘ƒ)) = (-1โ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘„,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฆ,๐‘†

Proof of Theorem lgsquadlem3
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 lgseisen.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
3 lgseisen.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
43necomd 2994 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ)
5 lgsquad.5 . . . . 5 ๐‘ = ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)
6 lgsquad.4 . . . . 5 ๐‘€ = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
7 eleq1w 2814 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†” ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)))
8 eleq1w 2814 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘) โ†” ๐‘ค โˆˆ (1...๐‘)))
97, 8bi2anan9 635 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†” (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ค โˆˆ (1...๐‘))))
109biancomd 462 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†” (๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€))))
11 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) = (๐‘ง ยท ๐‘„))
12 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))
1311, 12breqan12d 5163 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†” (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ)))
1410, 13anbi12d 629 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โ†” ((๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))))
1514ancoms 457 . . . . . 6 ((๐‘ฆ = ๐‘ค โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ง) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โ†” ((๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))))
1615cbvopabv 5220 . . . . 5 {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} = {โŸจ๐‘ค, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ค โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง (๐‘ง ยท ๐‘„) < (๐‘ค ยท ๐‘ƒ))}
171, 2, 4, 5, 6, 16lgsquadlem2 27120 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ /L ๐‘„) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})))
18 relopabv 5820 . . . . . . . 8 Rel {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}
19 fzfid 13942 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘€) โˆˆ Fin)
20 fzfid 13942 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
21 xpfi 9319 . . . . . . . . . 10 (((1...๐‘€) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin)
2219, 20, 21syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin)
23 opabssxp 5767 . . . . . . . . 9 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โІ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))
24 ssfi 9175 . . . . . . . . 9 ((((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin โˆง {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โІ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin)
2522, 23, 24sylancl 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin)
26 cnven 9035 . . . . . . . 8 ((Rel {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆง {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin) โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ โ—ก{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})
2718, 25, 26sylancr 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ โ—ก{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})
28 cnvopab 6137 . . . . . . 7 โ—ก{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} = {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}
2927, 28breqtrdi 5188 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})
30 hasheni 14312 . . . . . 6 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ‰ˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) = (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}))
3129, 30syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) = (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}))
3231oveq2d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})))
3317, 32eqtr4d 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ /L ๐‘„) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})))
34 lgsquad.6 . . . 4 ๐‘† = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}
352, 1, 3, 6, 5, 34lgsquadlem2 27120 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘†)))
3633, 35oveq12d 7429 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ /L ๐‘„) ยท (๐‘„ /L ๐‘ƒ)) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘†))))
37 neg1cn 12330 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
3837a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
39 opabssxp 5767 . . . . . 6 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))} โІ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))
4034, 39eqsstri 4015 . . . . 5 ๐‘† โІ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))
41 ssfi 9175 . . . . 5 ((((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โІ ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
4222, 40, 41sylancl 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
43 hashcl 14320 . . . 4 (๐‘† โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•0)
4442, 43syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•0)
45 hashcl 14320 . . . 4 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) โˆˆ โ„•0)
4625, 45syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) โˆˆ โ„•0)
4738, 44, 46expaddd 14117 . 2 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))})) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘†))))
481eldifad 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
4948adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
50 prmnn 16615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
521, 5gausslemma2dlem0b 27096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5352adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5453nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
55 prmz 16616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
5649, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
57 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘„ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5953nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
6058zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
61 prmuz2 16637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6249, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
63 uz2m1nn 12911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘„ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
6564nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
66 rphalflt 13007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘„ โˆ’ 1))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘„ โˆ’ 1))
685, 67eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ < (๐‘„ โˆ’ 1))
6959, 60, 68ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘„ โˆ’ 1))
70 eluz2 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘„ โˆ’ 1)))
7154, 58, 69, 70syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
72 fzss2 13545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (1...๐‘) โІ (1...(๐‘„ โˆ’ 1)))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (1...๐‘) โІ (1...(๐‘„ โˆ’ 1)))
74 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))
7573, 74sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘„ โˆ’ 1)))
76 fzm1ndvds 16269 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘„ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ)
7751, 75, 76syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ)
784adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ)
792eldifad 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
8079adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
81 prmrp 16653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†” ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ))
8249, 80, 81syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†” ๐‘„ โ‰  ๐‘ƒ))
8378, 82mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1)
84 prmz 16616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8580, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
86 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
8786ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
88 coprmdvds 16594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ))
8956, 85, 87, 88syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โˆง (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ))
9083, 89mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘ฆ))
9177, 90mtod 197 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ))
92 prmnn 16615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9380, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9493nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
95 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
9695ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
9796nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
9894, 97mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))
9998breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
10091, 99mtbid 323 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))
101 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
102101ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
103 dvdsmul2 16226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘„))
104102, 56, 103syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘„))
105 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ†” ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
106104, 105syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
107106necon3bd 2952 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (ยฌ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ‰  (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)))
108100, 107mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ‰  (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))
109 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
110109ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
111110, 51nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„•)
112111nnred 12231 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
11396, 93nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
114113nnred 12231 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
115112, 114lttri2d 11357 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) โ‰  (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
116108, 115mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))
117116ex 411 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
118117pm4.71rd 561 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†” (((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)))))
119 ancom 459 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
120118, 119bitr2di 287 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))))
121120opabbidv 5213 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))})
122 unopab 5229 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆจ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
12334uneq2i 4159 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†) = ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))})
124 andi 1004 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆจ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
125124opabbii 5214 . . . . . . 7 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆจ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
126122, 123, 1253eqtr4i 2768 . . . . . 6 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆจ (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
127 df-xp 5681 . . . . . 6 ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))}
128121, 126, 1273eqtr4g 2795 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†) = ((1...๐‘€) ร— (1...๐‘)))
129128fveq2d 6894 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†)) = (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))))
130 inopab 5828 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))}) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
13134ineq2i 4208 . . . . . . 7 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))})
132 anandi 672 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
133132opabbii 5214 . . . . . . 7 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
134130, 131, 1333eqtr4i 2768 . . . . . 6 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))}
135 ltnsym2 11317 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))
136112, 114, 135syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))
137136ex 411 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
138 imnan 398 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” ยฌ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
139137, 138sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
140139nexdv 1937 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
141140nexdv 1937 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
142 opabn0 5552 . . . . . . . 8 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))))
143142necon1bbii 2988 . . . . . . 7 (ยฌ โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„))) โ†” {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = โˆ…)
144141, 143sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘„)))} = โˆ…)
145134, 144eqtrid 2782 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = โˆ…)
146 hashun 14346 . . . . 5 (({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โˆˆ Fin โˆง ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆฉ ๐‘†) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†)) = ((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†)))
14725, 42, 145, 146syl3anc 1369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))} โˆช ๐‘†)) = ((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†)))
148 hashxp 14398 . . . . . 6 (((1...๐‘€) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(1...๐‘))))
14919, 20, 148syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(1...๐‘))))
1502, 6gausslemma2dlem0b 27096 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
151150nnnn0d 12536 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
152 hashfz1 14310 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) = ๐‘€)
153151, 152syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) = ๐‘€)
15452nnnn0d 12536 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
155 hashfz1 14310 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
156154, 155syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
157153, 156oveq12d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(1...๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
158149, 157eqtrd 2770 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘€) ร— (1...๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
159129, 147, 1583eqtr3d 2778 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
160159oveq2d 7427 . 2 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘„) < (๐‘ฆ ยท ๐‘ƒ))}) + (โ™ฏโ€˜๐‘†))) = (-1โ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
16136, 47, 1603eqtr2d 2776 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ /L ๐‘„) ยท (๐‘„ /L ๐‘ƒ)) = (-1โ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539  โˆƒwex 1779   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โˆ– cdif 3944   โˆช cun 3945   โˆฉ cin 3946   โІ wss 3947  โˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  {copab 5209   ร— cxp 5673  โ—กccnv 5674  Rel wrel 5680  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โ‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12978  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  โ™ฏchash 14294   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  โ„™cprime 16612   /L clgs 27033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-imas 17458  df-qus 17459  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-nzr 20404  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rsp 20933  df-2idl 21006  df-rlreg 21099  df-domn 21100  df-idom 21101  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-zn 21275  df-lgs 27034
This theorem is referenced by:  lgsquad  27122
  Copyright terms: Public domain W3C validator