Theorem crosspval 50655

Description: Value of the cross product of two 3-dimensional real coordinate vectors as a function on (1...3). (Contributed by Jiamin Zhao, 31-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
crosspval	⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem crosspval

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢‘2) = (𝐴‘2))
2	1	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢‘2) · (𝑣‘3)) = ((𝐴‘2) · (𝑣‘3)))
3		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢‘3) = (𝐴‘3))
4	3	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢‘3) · (𝑣‘2)) = ((𝐴‘3) · (𝑣‘2)))
5	2, 4	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (((𝑢‘2) · (𝑣‘3)) − ((𝑢‘3) · (𝑣‘2))) = (((𝐴‘2) · (𝑣‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝑣‘2))))
6	3	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢‘3) · (𝑣‘1)) = ((𝐴‘3) · (𝑣‘1)))
7		fveq1 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢‘1) = (𝐴‘1))
8	7	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢‘1) · (𝑣‘3)) = ((𝐴‘1) · (𝑣‘3)))
9	6, 8	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (((𝑢‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝑢‘1) · (𝑣‘3))) = (((𝐴‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝑣‘3))))
10	7	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢‘1) · (𝑣‘2)) = ((𝐴‘1) · (𝑣‘2)))
11	1	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢‘2) · (𝑣‘1)) = ((𝐴‘2) · (𝑣‘1)))
12	10, 11	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (((𝑢‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝑢‘2) · (𝑣‘1))) = (((𝐴‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝑣‘1))))
13	9, 12	ifeq12d 4509	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → if(𝑘 = 2, (((𝑢‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝑢‘1) · (𝑣‘3))), (((𝑢‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝑢‘2) · (𝑣‘1)))) = if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝑣‘3))), (((𝐴‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝑣‘1)))))
14	5, 13	ifeq12d 4509	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → if(𝑘 = 1, (((𝑢‘2) · (𝑣‘3)) − ((𝑢‘3) · (𝑣‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝑢‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝑢‘1) · (𝑣‘3))), (((𝑢‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝑢‘2) · (𝑣‘1))))) = if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝑣‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝑣‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝑣‘3))), (((𝐴‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝑣‘1))))))
15	14	mpteq2dv 5205	. 2 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝑢‘2) · (𝑣‘3)) − ((𝑢‘3) · (𝑣‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝑢‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝑢‘1) · (𝑣‘3))), (((𝑢‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝑢‘2) · (𝑣‘1)))))) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝑣‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝑣‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝑣‘3))), (((𝐴‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝑣‘1)))))))
16		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑣‘3) = (𝐵‘3))
17	16	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝐴‘2) · (𝑣‘3)) = ((𝐴‘2) · (𝐵‘3)))
18		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑣‘2) = (𝐵‘2))
19	18	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝐴‘3) · (𝑣‘2)) = ((𝐴‘3) · (𝐵‘2)))
20	17, 19	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (((𝐴‘2) · (𝑣‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝑣‘2))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))))
21		fveq1 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑣‘1) = (𝐵‘1))
22	21	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝐴‘3) · (𝑣‘1)) = ((𝐴‘3) · (𝐵‘1)))
23	16	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝐴‘1) · (𝑣‘3)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘3)))
24	22, 23	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (((𝐴‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝑣‘3))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
25	18	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝐴‘1) · (𝑣‘2)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘2)))
26	21	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝐴‘2) · (𝑣‘1)) = ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))
27	25, 26	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (((𝐴‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝑣‘1))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
28	24, 27	ifeq12d 4509	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝑣‘3))), (((𝐴‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝑣‘1)))) = if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))
29	20, 28	ifeq12d 4509	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝑣‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝑣‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝑣‘3))), (((𝐴‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝑣‘1))))) = if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))))
30	29	mpteq2dv 5205	. 2 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝑣‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝑣‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝑣‘3))), (((𝐴‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝑣‘1)))))) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))))
31		df-crossp 50652	. 2 ⊢ ⊠ = (𝑢 ∈ (ℝ ↑m (1...3)), 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ↦ (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝑢‘2) · (𝑣‘3)) − ((𝑢‘3) · (𝑣‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝑢‘3) · (𝑣‘1)) − ((𝑢‘1) · (𝑣‘3))), (((𝑢‘1) · (𝑣‘2)) − ((𝑢‘2) · (𝑣‘1)))))))
32		ovex 7443	. . 3 ⊢ (1...3) ∈ V
33	32	mptex 7221	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))) ∈ V
34	15, 30, 31, 33	ovmpo 7570	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4487   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  ℝcr 11094  1c1 11096   · cmul 11100   − cmin 11436  2c2 12290  3c3 12291  ...cfz 13530  ⊠ccrossp 50651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-crossp 50652

This theorem is referenced by:  crosspcli  50660  crosspv1i  50661  crosspv2i  50662  crosspv3i  50663