Theorem crosspv3d 50701

Description: Value of the third component of the cross product. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
crosspv3d	⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))

Proof of Theorem crosspv3d

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑘 = 1)
2		1ne3 50680	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 3
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → 1 ≠ 3)
4	1, 3	eqnetrd 3027	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 3)
5	4	necon2bi 2990	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 3 → ¬ 𝑘 = 1)
6	5	iffalsed 4500	. . 3 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))) = if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))
7		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 = 2)
8		2ne3 50681	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 3
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → 2 ≠ 3)
10	7, 9	eqnetrd 3027	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 3)
11	10	necon2bi 2990	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 3 → ¬ 𝑘 = 2)
12	11	iffalsed 4500	. . 3 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
13	6, 12	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
14		crosspd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
15		crosspd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
16		crosspval 50693	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))))
17	14, 15, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))))
18		3elfz13 50684	. . 3 ⊢ 3 ∈ (1...3)
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ (1...3))
20	14, 15	crosspcle3d 50696	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))) ∈ ℝ)
21	13, 17, 19, 20	fvmptd4 7018	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ifcif 4489   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  ℝcr 11114  1c1 11116   · cmul 11120   − cmin 11456  2c2 12310  3c3 12311  ...cfz 13551  ⊠ccrossp 50689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-crossp 50690

This theorem is used by:  crosspdotd  50704  crosspaltd  50705  crossp3d  50706