Theorem crosspv3d 51390

Description: Value of the third component of the cross product. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
crosspv3d	⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))

Proof of Theorem crosspv3d

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑘 = 1)
2		1ne3 51369	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 3
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → 1 ≠ 3)
4	1, 3	eqnetrd 3026	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 3)
5	4	necon2bi 2989	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 3 → ¬ 𝑘 = 1)
6	5	iffalsed 4496	. . 3 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))) = if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))
7		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 = 2)
8		2ne3 51370	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 3
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → 2 ≠ 3)
10	7, 9	eqnetrd 3026	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 3)
11	10	necon2bi 2989	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 3 → ¬ 𝑘 = 2)
12	11	iffalsed 4496	. . 3 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
13	6, 12	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
14		crosspd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
15		crosspd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
16		crosspval 51382	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))))
17	14, 15, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))))
18		3elfz13 51373	. . 3 ⊢ 3 ∈ (1...3)
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ (1...3))
20	14, 15	crosspcle3d 51385	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))) ∈ ℝ)
21	13, 17, 19, 20	fvmptd4 7049	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ifcif 4485   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  ℝcr 11238  1c1 11240   · cmul 11244   − cmin 11580  2c2 12437  3c3 12438  ...cfz 13679  ⊠ccrossp 51378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-crossp 51379

This theorem is used by:  crosspdotd  51393  crosspaltd  51394  crossp3d  51395