Theorem crosspv3d 50795

Description: Value of the third component of the cross product. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
crosspv3d	⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))

Proof of Theorem crosspv3d

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑘 = 1)
2		1ne3 50774	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 3
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → 1 ≠ 3)
4	1, 3	eqnetrd 3022	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 3)
5	4	necon2bi 2985	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 3 → ¬ 𝑘 = 1)
6	5	iffalsed 4493	. . 3 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))) = if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))
7		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 = 2)
8		2ne3 50775	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 3
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → 2 ≠ 3)
10	7, 9	eqnetrd 3022	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 3)
11	10	necon2bi 2985	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 3 → ¬ 𝑘 = 2)
12	11	iffalsed 4493	. . 3 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
13	6, 12	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
14		crosspd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
15		crosspd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
16		crosspval 50787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))))
17	14, 15, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))))
18		3elfz13 50778	. . 3 ⊢ 3 ∈ (1...3)
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ (1...3))
20	14, 15	crosspcle3d 50790	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))) ∈ ℝ)
21	13, 17, 19, 20	fvmptd4 7011	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  ℝcr 11123  1c1 11125   · cmul 11129   − cmin 11465  2c2 12319  3c3 12320  ...cfz 13561  ⊠ccrossp 50783

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-crossp 50784

This theorem is used by:  crosspdotd  50798  crosspaltd  50799  crossp3d  50800