Theorem crosspv3d 51144

Description: Value of the third component of the cross product. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
crosspv3d	⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))

Proof of Theorem crosspv3d

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑘 = 1)
2		1ne3 51123	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 3
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → 1 ≠ 3)
4	1, 3	eqnetrd 3022	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 3)
5	4	necon2bi 2985	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 3 → ¬ 𝑘 = 1)
6	5	iffalsed 4492	. . 3 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))) = if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))
7		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 = 2)
8		2ne3 51124	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 3
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → 2 ≠ 3)
10	7, 9	eqnetrd 3022	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 3)
11	10	necon2bi 2985	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 3 → ¬ 𝑘 = 2)
12	11	iffalsed 4492	. . 3 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
13	6, 12	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
14		crosspd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
15		crosspd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
16		crosspval 51136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))))
17	14, 15, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))))
18		3elfz13 51127	. . 3 ⊢ 3 ∈ (1...3)
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ (1...3))
20	14, 15	crosspcle3d 51139	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))) ∈ ℝ)
21	13, 17, 19, 20	fvmptd4 7021	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ↑_m cmap 8852  ℝcr 11204  1c1 11206   · cmul 11210   − cmin 11546  2c2 12402  3c3 12403  ...cfz 13644  ⊠ccrossp 51132

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-crossp 51133

This theorem is used by:  crosspdotd  51147  crosspaltd  51148  crossp3d  51149