Theorem diael 42014

Description: A member of the value of the partial isomorphism A is a translation, i.e., a vector. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
diass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
diass.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
diass.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diass.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diass.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diael	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝐹 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem diael

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diass.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		diass.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		diass.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diass.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		diass.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	diass 42013	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇)
7	6	sseld 3930	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑇))
8	7	3impia 1135	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝐹 ∈ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  Basecbs 17334  lecple 17382  LHypclh 40955  LTrncltrn 41072  DIsoAcdia 41999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-disoa 42000

This theorem is used by:  dialss  42017  dibelval1st1  42121  diblsmopel  42142