Theorem dialss 41165

Description: The value of partial isomorphism A is a subspace of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 26. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dialss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dialss.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dialss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dialss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dialss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dialss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dialss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dialss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2734	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈))
2		dialss.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dialss.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
7	2, 3, 4, 5, 6	dvabase 41126	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
8	7	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
10		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
12	2, 10, 4, 11	dvavbase 41132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
13	12	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝑈))
14	13	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝑈))
15		eqidd 2734	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈))
16		eqidd 2734	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
17		dialss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑈))
19		dialss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
20		dialss.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21		dialss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
22	19, 20, 2, 10, 21	diass 41161	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
23	19, 20, 2, 21	dian0 41158	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)
24		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
26		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))
27		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋))
28	19, 20, 2, 10, 21	diael 41162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
30		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
31	2, 10, 3, 4, 30	dvavsca 41136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) = (𝑥‘𝑎))
32	24, 25, 29, 31	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) = (𝑥‘𝑎))
33	32	oveq1d 7367	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏))
34	2, 10, 3	tendocl 40886	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
35	24, 25, 29, 34	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
36		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))
37	19, 20, 2, 10, 21	diael 41162	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
38	24, 26, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
39		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
40	2, 10, 4, 39	dvavadd 41134	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
41	24, 35, 38, 40	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
42	33, 41	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
43	2, 10	ltrnco 40838	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
44	24, 35, 38, 43	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
45		hllat 39482	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
46	45	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝐾 ∈ Lat)
47		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
48	19, 2, 10, 47	trlcl 40283	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐵)
49	24, 44, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐵)
50	19, 2, 10, 47	trlcl 40283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵)
51	24, 35, 50	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵)
52	19, 2, 10, 47	trlcl 40283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵)
53	24, 38, 52	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵)
54		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
55	19, 54	latjcl 18347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ∈ 𝐵)
56	46, 51, 53, 55	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ∈ 𝐵)
57		simplrl 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
58	20, 54, 2, 10, 47	trlco 40846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)))
59	24, 35, 38, 58	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)))
60	19, 2, 10, 47	trlcl 40283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ∈ 𝐵)
61	24, 29, 60	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ∈ 𝐵)
62	20, 2, 10, 47, 3	tendotp 40880	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎))
63	24, 25, 29, 62	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎))
64	19, 20, 2, 10, 47, 21	diatrl 41163	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ≤ 𝑋)
65	24, 26, 27, 64	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ≤ 𝑋)
66	19, 20, 46, 51, 61, 57, 63, 65	lattrd 18354	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋)
67	19, 20, 2, 10, 47, 21	diatrl 41163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋)
68	24, 26, 36, 67	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋)
69	19, 20, 54	latjle12 18358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋) ↔ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋))
70	46, 51, 53, 57, 69	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋) ↔ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋))
71	66, 68, 70	mpbi2and 712	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋)
72	19, 20, 46, 49, 56, 57, 59, 71	lattrd 18354	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)
73	19, 20, 2, 10, 47, 21	diaelval 41152	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)))
74	73	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)))
75	44, 72, 74	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋))
76	42, 75	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋))
77	1, 9, 14, 15, 16, 18, 22, 23, 76	islssd 20870	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  Scalarcsca 17166   ·_𝑠 cvsca 17167  lecple 17170  joincjn 18219  Latclat 18339  LSubSpclss 20866  HLchlt 39469  LHypclh 40103  LTrncltrn 40220  trLctrl 40277  TEndoctendo 40871  DVecAcdveca 41121  DIsoAcdia 41147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-riotaBAD 39072

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-proset 18202  df-poset 18221  df-plt 18236  df-lub 18252  df-glb 18253  df-join 18254  df-meet 18255  df-p0 18331  df-p1 18332  df-lat 18340  df-clat 18407  df-lss 20867  df-oposet 39295  df-ol 39297  df-oml 39298  df-covers 39385  df-ats 39386  df-atl 39417  df-cvlat 39441  df-hlat 39470  df-llines 39617  df-lplanes 39618  df-lvols 39619  df-lines 39620  df-psubsp 39622  df-pmap 39623  df-padd 39915  df-lhyp 40107  df-laut 40108  df-ldil 40223  df-ltrn 40224  df-trl 40278  df-tendo 40874  df-edring 40876  df-dveca 41122  df-disoa 41148

This theorem is referenced by:  diasslssN  41178  dia2dimlem5  41187  dia2dimlem7  41189  dia2dimlem9  41191  dia2dimlem10  41192  dia2dimlem13  41195  diblsmopel  41290