Theorem dialss 41025

Description: The value of partial isomorphism A is a subspace of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 26. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dialss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dialss.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dialss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dialss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dialss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dialss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dialss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dialss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2730	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈))
2		dialss.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dialss.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
7	2, 3, 4, 5, 6	dvabase 40986	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
8	7	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
12	2, 10, 4, 11	dvavbase 40992	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
13	12	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝑈))
14	13	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝑈))
15		eqidd 2730	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈))
16		eqidd 2730	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
17		dialss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑈))
19		dialss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
20		dialss.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21		dialss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
22	19, 20, 2, 10, 21	diass 41021	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
23	19, 20, 2, 21	dian0 41018	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)
24		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
26		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))
27		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋))
28	19, 20, 2, 10, 21	diael 41022	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
30		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
31	2, 10, 3, 4, 30	dvavsca 40996	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) = (𝑥‘𝑎))
32	24, 25, 29, 31	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) = (𝑥‘𝑎))
33	32	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏))
34	2, 10, 3	tendocl 40746	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
35	24, 25, 29, 34	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
36		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))
37	19, 20, 2, 10, 21	diael 41022	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
38	24, 26, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
39		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
40	2, 10, 4, 39	dvavadd 40994	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
41	24, 35, 38, 40	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
42	33, 41	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
43	2, 10	ltrnco 40698	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
44	24, 35, 38, 43	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
45		hllat 39341	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
46	45	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝐾 ∈ Lat)
47		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
48	19, 2, 10, 47	trlcl 40143	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐵)
49	24, 44, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐵)
50	19, 2, 10, 47	trlcl 40143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵)
51	24, 35, 50	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵)
52	19, 2, 10, 47	trlcl 40143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵)
53	24, 38, 52	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵)
54		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
55	19, 54	latjcl 18363	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ∈ 𝐵)
56	46, 51, 53, 55	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ∈ 𝐵)
57		simplrl 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
58	20, 54, 2, 10, 47	trlco 40706	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)))
59	24, 35, 38, 58	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)))
60	19, 2, 10, 47	trlcl 40143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ∈ 𝐵)
61	24, 29, 60	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ∈ 𝐵)
62	20, 2, 10, 47, 3	tendotp 40740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎))
63	24, 25, 29, 62	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎))
64	19, 20, 2, 10, 47, 21	diatrl 41023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ≤ 𝑋)
65	24, 26, 27, 64	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ≤ 𝑋)
66	19, 20, 46, 51, 61, 57, 63, 65	lattrd 18370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋)
67	19, 20, 2, 10, 47, 21	diatrl 41023	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋)
68	24, 26, 36, 67	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋)
69	19, 20, 54	latjle12 18374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋) ↔ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋))
70	46, 51, 53, 57, 69	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋) ↔ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋))
71	66, 68, 70	mpbi2and 712	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋)
72	19, 20, 46, 49, 56, 57, 59, 71	lattrd 18370	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)
73	19, 20, 2, 10, 47, 21	diaelval 41012	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)))
74	73	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)))
75	44, 72, 74	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋))
76	42, 75	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋))
77	1, 9, 14, 15, 16, 18, 22, 23, 76	islssd 20856	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095   ∘ ccom 5627  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  lecple 17186  joincjn 18235  Latclat 18355  LSubSpclss 20852  HLchlt 39328  LHypclh 39963  LTrncltrn 40080  trLctrl 40137  TEndoctendo 40731  DVecAcdveca 40981  DIsoAcdia 41007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 38931

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-p1 18348  df-lat 18356  df-clat 18423  df-lss 20853  df-oposet 39154  df-ol 39156  df-oml 39157  df-covers 39244  df-ats 39245  df-atl 39276  df-cvlat 39300  df-hlat 39329  df-llines 39477  df-lplanes 39478  df-lvols 39479  df-lines 39480  df-psubsp 39482  df-pmap 39483  df-padd 39775  df-lhyp 39967  df-laut 39968  df-ldil 40083  df-ltrn 40084  df-trl 40138  df-tendo 40734  df-edring 40736  df-dveca 40982  df-disoa 41008

This theorem is referenced by:  diasslssN  41038  dia2dimlem5  41047  dia2dimlem7  41049  dia2dimlem9  41051  dia2dimlem10  41052  dia2dimlem13  41055  diblsmopel  41150