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Theorem dialss 40421
Description: The value of partial isomorphism A is a subspace of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 26. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dialss.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dialss.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dialss.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dialss.u π‘ˆ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dialss.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dialss.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dialss (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dialss
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2725 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
2 dialss.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2724 . . . . 5 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 dialss.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2724 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
72, 3, 4, 5, 6dvabase 40382 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
87eqcomd 2730 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
98adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
10 eqid 2724 . . . . 5 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
122, 10, 4, 11dvavbase 40388 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
1312eqcomd 2730 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1413adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
15 eqidd 2725 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ))
16 eqidd 2725 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ))
17 dialss.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
1817a1i 11 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
19 dialss.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
20 dialss.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
21 dialss.i . . 3 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2219, 20, 2, 10, 21diass 40417 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2319, 20, 2, 21dian0 40414 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
24 simpll 764 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
25 simpr1 1191 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
26 simplr 766 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š))
27 simpr2 1192 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
2819, 20, 2, 10, 21diael 40418 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2924, 26, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ π‘Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
30 eqid 2724 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
312, 10, 3, 4, 30dvavsca 40392 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Ž) = (π‘₯β€˜π‘Ž))
3224, 25, 29, 31syl12anc 834 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Ž) = (π‘₯β€˜π‘Ž))
3332oveq1d 7417 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ˆ)𝑏) = ((π‘₯β€˜π‘Ž)(+gβ€˜π‘ˆ)𝑏))
342, 10, 3tendocl 40142 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯β€˜π‘Ž) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3524, 25, 29, 34syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯β€˜π‘Ž) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
36 simpr3 1193 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
3719, 20, 2, 10, 21diael 40418 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑏 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3824, 26, 36, 37syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑏 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
39 eqid 2724 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
402, 10, 4, 39dvavadd 40390 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘₯β€˜π‘Ž) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘Ž)(+gβ€˜π‘ˆ)𝑏) = ((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏))
4124, 35, 38, 40syl12anc 834 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘Ž)(+gβ€˜π‘ˆ)𝑏) = ((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏))
4233, 41eqtrd 2764 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ˆ)𝑏) = ((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏))
432, 10ltrnco 40094 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯β€˜π‘Ž) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
4424, 35, 38, 43syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
45 hllat 38737 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4645ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
47 eqid 2724 . . . . . . 7 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4819, 2, 10, 47trlcl 39539 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐡)
4924, 44, 48syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐡)
5019, 2, 10, 47trlcl 39539 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯β€˜π‘Ž) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž)) ∈ 𝐡)
5124, 35, 50syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž)) ∈ 𝐡)
5219, 2, 10, 47trlcl 39539 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
5324, 38, 52syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
54 eqid 2724 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
5519, 54latjcl 18400 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž)) ∈ 𝐡 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
5646, 51, 53, 55syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
57 simplrl 774 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5820, 54, 2, 10, 47trlco 40102 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯β€˜π‘Ž) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏)) ≀ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘)))
5924, 35, 38, 58syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏)) ≀ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘)))
6019, 2, 10, 47trlcl 39539 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) ∈ 𝐡)
6124, 29, 60syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) ∈ 𝐡)
6220, 2, 10, 47, 3tendotp 40136 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Ž))
6324, 25, 29, 62syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Ž))
6419, 20, 2, 10, 47, 21diatrl 40419 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) ≀ 𝑋)
6524, 26, 27, 64syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) ≀ 𝑋)
6619, 20, 46, 51, 61, 57, 63, 65lattrd 18407 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž)) ≀ 𝑋)
6719, 20, 2, 10, 47, 21diatrl 40419 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) ≀ 𝑋)
6824, 26, 36, 67syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) ≀ 𝑋)
6919, 20, 54latjle12 18411 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž)) ∈ 𝐡 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž)) ≀ 𝑋 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) ≀ 𝑋) ↔ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘)) ≀ 𝑋))
7046, 51, 53, 57, 69syl13anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž)) ≀ 𝑋 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) ≀ 𝑋) ↔ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘)) ≀ 𝑋))
7166, 68, 70mpbi2and 709 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘₯β€˜π‘Ž))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘)) ≀ 𝑋)
7219, 20, 46, 49, 56, 57, 59, 71lattrd 18407 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏)) ≀ 𝑋)
7319, 20, 2, 10, 47, 21diaelval 40408 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏) ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ↔ (((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏)) ≀ 𝑋)))
7473adantr 480 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ (((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏) ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ↔ (((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏)) ≀ 𝑋)))
7544, 72, 74mpbir2and 710 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘Ž) ∘ 𝑏) ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
7642, 75eqeltrd 2825 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (πΌβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ˆ)𝑏) ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
771, 9, 14, 15, 16, 18, 22, 23, 76islssd 20778 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139   ∘ ccom 5671  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  lecple 17209  joincjn 18272  Latclat 18392  LSubSpclss 20774  HLchlt 38724  LHypclh 39359  LTrncltrn 39476  trLctrl 39533  TEndoctendo 40127  DVecAcdveca 40377  DIsoAcdia 40403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38327
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-lss 20775  df-oposet 38550  df-ol 38552  df-oml 38553  df-covers 38640  df-ats 38641  df-atl 38672  df-cvlat 38696  df-hlat 38725  df-llines 38873  df-lplanes 38874  df-lvols 38875  df-lines 38876  df-psubsp 38878  df-pmap 38879  df-padd 39171  df-lhyp 39363  df-laut 39364  df-ldil 39479  df-ltrn 39480  df-trl 39534  df-tendo 40130  df-edring 40132  df-dveca 40378  df-disoa 40404
This theorem is referenced by:  diasslssN  40434  dia2dimlem5  40443  dia2dimlem7  40445  dia2dimlem9  40447  dia2dimlem10  40448  dia2dimlem13  40451  diblsmopel  40546
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