Theorem dialss 41492

Description: The value of partial isomorphism A is a subspace of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 26. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dialss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dialss.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dialss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dialss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dialss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dialss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dialss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dialss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈))
2		dialss.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dialss.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
7	2, 3, 4, 5, 6	dvabase 41453	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
8	7	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
12	2, 10, 4, 11	dvavbase 41459	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
13	12	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝑈))
14	13	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝑈))
15		eqidd 2737	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈))
16		eqidd 2737	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
17		dialss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑈))
19		dialss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
20		dialss.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21		dialss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
22	19, 20, 2, 10, 21	diass 41488	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
23	19, 20, 2, 21	dian0 41485	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)
24		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25		simpr1 1196	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
26		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))
27		simpr2 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋))
28	19, 20, 2, 10, 21	diael 41489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
30		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
31	2, 10, 3, 4, 30	dvavsca 41463	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) = (𝑥‘𝑎))
32	24, 25, 29, 31	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) = (𝑥‘𝑎))
33	32	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏))
34	2, 10, 3	tendocl 41213	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
35	24, 25, 29, 34	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
36		simpr3 1198	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))
37	19, 20, 2, 10, 21	diael 41489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
38	24, 26, 36, 37	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
39		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
40	2, 10, 4, 39	dvavadd 41461	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
41	24, 35, 38, 40	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
42	33, 41	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
43	2, 10	ltrnco 41165	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
44	24, 35, 38, 43	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
45		hllat 39809	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
46	45	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝐾 ∈ Lat)
47		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
48	19, 2, 10, 47	trlcl 40610	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐵)
49	24, 44, 48	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐵)
50	19, 2, 10, 47	trlcl 40610	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵)
51	24, 35, 50	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵)
52	19, 2, 10, 47	trlcl 40610	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵)
53	24, 38, 52	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵)
54		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
55	19, 54	latjcl 18405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ∈ 𝐵)
56	46, 51, 53, 55	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ∈ 𝐵)
57		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
58	20, 54, 2, 10, 47	trlco 41173	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)))
59	24, 35, 38, 58	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)))
60	19, 2, 10, 47	trlcl 40610	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ∈ 𝐵)
61	24, 29, 60	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ∈ 𝐵)
62	20, 2, 10, 47, 3	tendotp 41207	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎))
63	24, 25, 29, 62	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎))
64	19, 20, 2, 10, 47, 21	diatrl 41490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ≤ 𝑋)
65	24, 26, 27, 64	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ≤ 𝑋)
66	19, 20, 46, 51, 61, 57, 63, 65	lattrd 18412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋)
67	19, 20, 2, 10, 47, 21	diatrl 41490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋)
68	24, 26, 36, 67	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋)
69	19, 20, 54	latjle12 18416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋) ↔ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋))
70	46, 51, 53, 57, 69	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋) ↔ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋))
71	66, 68, 70	mpbi2and 713	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋)
72	19, 20, 46, 49, 56, 57, 59, 71	lattrd 18412	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)
73	19, 20, 2, 10, 47, 21	diaelval 41479	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)))
74	73	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)))
75	44, 72, 74	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋))
76	42, 75	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋))
77	1, 9, 14, 15, 16, 18, 22, 23, 76	islssd 20930	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  lecple 17227  joincjn 18277  Latclat 18397  LSubSpclss 20926  HLchlt 39796  LHypclh 40430  LTrncltrn 40547  trLctrl 40604  TEndoctendo 41198  DVecAcdveca 41448  DIsoAcdia 41474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-undef 8223  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-lss 20927  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946  df-lines 39947  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605  df-tendo 41201  df-edring 41203  df-dveca 41449  df-disoa 41475

This theorem is referenced by:  diasslssN  41505  dia2dimlem5  41514  dia2dimlem7  41516  dia2dimlem9  41518  dia2dimlem10  41519  dia2dimlem13  41522  diblsmopel  41617