Theorem dialss 42295

Description: The value of partial isomorphism A is a subspace of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 26. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dialss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dialss.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dialss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dialss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dialss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dialss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dialss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dialss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈))
2		dialss.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dialss.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
7	2, 3, 4, 5, 6	dvabase 42256	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
8	7	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
12	2, 10, 4, 11	dvavbase 42262	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
13	12	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝑈))
14	13	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝑈))
15		eqidd 2764	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈))
16		eqidd 2764	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
17		dialss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑈))
19		dialss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
20		dialss.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21		dialss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
22	19, 20, 2, 10, 21	diass 42291	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
23	19, 20, 2, 21	dian0 42288	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)
24		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
26		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))
27		simpr2 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋))
28	19, 20, 2, 10, 21	diael 42292	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
30		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
31	2, 10, 3, 4, 30	dvavsca 42266	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) = (𝑥‘𝑎))
32	24, 25, 29, 31	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) = (𝑥‘𝑎))
33	32	oveq1d 7458	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏))
34	2, 10, 3	tendocl 42016	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
35	24, 25, 29, 34	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
36		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))
37	19, 20, 2, 10, 21	diael 42292	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
38	24, 26, 36, 37	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
39		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
40	2, 10, 4, 39	dvavadd 42264	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
41	24, 35, 38, 40	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
42	33, 41	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
43	2, 10	ltrnco 41968	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
44	24, 35, 38, 43	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
45		hllat 40612	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
46	45	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝐾 ∈ Lat)
47		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
48	19, 2, 10, 47	trlcl 41413	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐵)
49	24, 44, 48	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐵)
50	19, 2, 10, 47	trlcl 41413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵)
51	24, 35, 50	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵)
52	19, 2, 10, 47	trlcl 41413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵)
53	24, 38, 52	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵)
54		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
55	19, 54	latjcl 18642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ∈ 𝐵)
56	46, 51, 53, 55	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ∈ 𝐵)
57		simplrl 789	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
58	20, 54, 2, 10, 47	trlco 41976	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)))
59	24, 35, 38, 58	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)))
60	19, 2, 10, 47	trlcl 41413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ∈ 𝐵)
61	24, 29, 60	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ∈ 𝐵)
62	20, 2, 10, 47, 3	tendotp 42010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎))
63	24, 25, 29, 62	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎))
64	19, 20, 2, 10, 47, 21	diatrl 42293	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ≤ 𝑋)
65	24, 26, 27, 64	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ≤ 𝑋)
66	19, 20, 46, 51, 61, 57, 63, 65	lattrd 18649	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋)
67	19, 20, 2, 10, 47, 21	diatrl 42293	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋)
68	24, 26, 36, 67	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋)
69	19, 20, 54	latjle12 18653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋) ↔ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋))
70	46, 51, 53, 57, 69	syl13anc 1400	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋) ↔ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋))
71	66, 68, 70	mpbi2and 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋)
72	19, 20, 46, 49, 56, 57, 59, 71	lattrd 18649	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)
73	19, 20, 2, 10, 47, 21	diaelval 42282	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)))
74	73	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)))
75	44, 72, 74	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋))
76	42, 75	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋))
77	1, 9, 14, 15, 16, 18, 22, 23, 76	islssd 21240	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  Scalarcsca 17460   ·_𝑠 cvsca 17461  lecple 17464  joincjn 18514  Latclat 18634  LSubSpclss 21236  HLchlt 40599  LHypclh 41233  LTrncltrn 41350  trLctrl 41407  TEndoctendo 42001  DVecAcdveca 42251  DIsoAcdia 42277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-riotaBAD 40202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-undef 8318  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-p1 18627  df-lat 18635  df-clat 18702  df-lss 21237  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-llines 40747  df-lplanes 40748  df-lvols 40749  df-lines 40750  df-psubsp 40752  df-pmap 40753  df-padd 41045  df-lhyp 41237  df-laut 41238  df-ldil 41353  df-ltrn 41354  df-trl 41408  df-tendo 42004  df-edring 42006  df-dveca 42252  df-disoa 42278

This theorem is used by:  diasslssN  42308  dia2dimlem5  42317  dia2dimlem7  42319  dia2dimlem9  42321  dia2dimlem10  42322  dia2dimlem13  42325  diblsmopel  42420