Theorem diatrl 38985

Description: Trace of a member of the partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
diatrl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
diatrl.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
diatrl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diatrl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diatrl	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem diatrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diatrl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		diatrl.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		diatrl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diatrl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		diatrl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6		diatrl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	diaelval 38974	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)))
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)
9	7, 8	syl6bi 252	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋))
10	9	3impia 1115	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  trLctrl 38099  DIsoAcdia 38969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-disoa 38970

This theorem is referenced by:  dialss  38987  dibelval1st2N  39092  diblss  39111