Theorem diatrl 41917

Description: Trace of a member of the partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
diatrl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
diatrl.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
diatrl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diatrl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diatrl	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem diatrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diatrl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		diatrl.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		diatrl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diatrl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		diatrl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6		diatrl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	diaelval 41906	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)))
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)
9	7, 8	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋))
10	9	3impia 1135	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  lecple 17349  LHypclh 40857  LTrncltrn 40974  trLctrl 41031  DIsoAcdia 41901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-disoa 41902

This theorem is used by:  dialss  41919  dibelval1st2N  42024  diblss  42043