Theorem diatrl 38744

Description: Trace of a member of the partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
diatrl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
diatrl.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
diatrl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diatrl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diatrl	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem diatrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diatrl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		diatrl.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		diatrl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diatrl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		diatrl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6		diatrl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	diaelval 38733	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)))
8		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)
9	7, 8	syl6bi 256	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋))
10	9	3impia 1119	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  Basecbs 16666  lecple 16756  LHypclh 37684  LTrncltrn 37801  trLctrl 37858  DIsoAcdia 38728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-disoa 38729

This theorem is referenced by:  dialss  38746  dibelval1st2N  38851  diblss  38870