Theorem diatrl 41033

Description: Trace of a member of the partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
diatrl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
diatrl.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
diatrl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diatrl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diatrl	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem diatrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diatrl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		diatrl.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		diatrl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diatrl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		diatrl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6		diatrl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	diaelval 41022	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)))
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)
9	7, 8	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋))
10	9	3impia 1117	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  Basecbs 17185  lecple 17233  LHypclh 39973  LTrncltrn 40090  trLctrl 40147  DIsoAcdia 41017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-disoa 41018

This theorem is referenced by:  dialss  41035  dibelval1st2N  41140  diblss  41159