Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diatrl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diatrl 38340
Description: Trace of a member of the partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
diatrl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
diatrl.l = (le‘𝐾)
diatrl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diatrl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diatrl (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼𝑋)) → (𝑅𝐹) 𝑋)

Proof of Theorem diatrl
StepHypRef Expression
1 diatrl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 diatrl.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 diatrl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 diatrl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 diatrl.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6 diatrl.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6diaelval 38329 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼𝑋) ↔ (𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑋)))
8 simpr 488 . . 3 ((𝐹𝑇 ∧ (𝑅𝐹) 𝑋) → (𝑅𝐹) 𝑋)
97, 8syl6bi 256 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼𝑋) → (𝑅𝐹) 𝑋))
1093impia 1114 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼𝑋)) → (𝑅𝐹) 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cfv 6324  Basecbs 16475  lecple 16564  LHypclh 37280  LTrncltrn 37397  trLctrl 37454  DIsoAcdia 38324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-disoa 38325
This theorem is referenced by:  dialss  38342  dibelval1st2N  38447  diblss  38466
  Copyright terms: Public domain W3C validator