Theorem diatrl 41083

Description: Trace of a member of the partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
diatrl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
diatrl.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
diatrl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diatrl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
diatrl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diatrl	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem diatrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diatrl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		diatrl.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		diatrl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diatrl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		diatrl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6		diatrl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	diaelval 41072	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)))
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)
9	7, 8	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋))
10	9	3impia 1117	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  Basecbs 17115  lecple 17163  LHypclh 40023  LTrncltrn 40140  trLctrl 40197  DIsoAcdia 41067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-disoa 41068

This theorem is referenced by:  dialss  41085  dibelval1st2N  41190  diblss  41209