Theorem disjimxrn 38684

Description: Disjointness condition for range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 15-Dec-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjimxrn	⊢ ( Disj 𝑆 → Disj (𝑅 ⋉ 𝑆))

Proof of Theorem disjimxrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjorimxrn 38683	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∨ Disj 𝑆) → Disj (𝑅 ⋉ 𝑆))
2	1	olcs 876	1 ⊢ ( Disj 𝑆 → Disj (𝑅 ⋉ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ⋉ cxrn 38115   Disj wdisjALTV 38150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fo 6546  df-fv 6548  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-ec 8728  df-xrn 38306  df-coss 38346  df-cnvrefrel 38462  df-disjALTV 38640

This theorem is referenced by:  disjimxrnres  38688  eqvreldisj5  38763  eqvrelqseqdisj5  38768