Theorem eqeefv 28933

Description: Two points are equal iff they agree in all dimensions. (Contributed by Scott Fenton, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eqeefv	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁

Proof of Theorem eqeefv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleei 28927	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ)
2	1	ffnd 6738	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐴 Fn (1...𝑁))
3		eleei 28927	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐵:(1...𝑁)⟶ℝ)
4	3	ffnd 6738	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐵 Fn (1...𝑁))
5		eqfnfv 7051	. 2 ⊢ ((𝐴 Fn (1...𝑁) ∧ 𝐵 Fn (1...𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
6	2, 4, 5	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  1c1 11154  ...cfz 13544  𝔼cee 28918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-ee 28921

This theorem is referenced by:  eqeelen  28934  brbtwn2  28935  colinearalg  28940  axcgrid  28946  ax5seglem4  28962  ax5seglem5  28963  axbtwnid  28969  axeuclid  28993  axcontlem2  28995  axcontlem4  28997  axcontlem7  29000