Theorem elhomai 18208

Description: Produce an arrow from a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
homarcl.h	⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
homafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
homafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
homaval.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)
homaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
homaval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
elhomai.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌))

Assertion

Ref	Expression
elhomai	⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩(𝑋𝐻𝑌)𝐹)

Proof of Theorem elhomai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
2		elhomai.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌))
3		homarcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
4		homafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		homafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		homaval.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)
7		homaval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		homaval.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	elhoma 18207	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩(𝑋𝐻𝑌)𝐹 ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌))))
10	1, 2, 9	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩(𝑋𝐻𝑌)𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  Hom chom 17439  Catccat 17838  Hom_achoma 18198

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-homa 18201

This theorem is used by:  elhomai2  18209