Theorem elhoma 17993

Description: Value of the disjointified hom-set function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
homarcl.h	⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
homafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
homafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
homaval.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)
homaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
homaval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elhoma	⊢ (𝜑 → (𝑍(𝑋𝐻𝑌)𝐹 ↔ (𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌))))

Proof of Theorem elhoma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homarcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
2		homafval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		homafval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		homaval.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)
5		homaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		homaval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	homaval 17992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = ({⟨𝑋, 𝑌⟩} × (𝑋𝐽𝑌)))
8	7	breqd 5097	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍(𝑋𝐻𝑌)𝐹 ↔ 𝑍({⟨𝑋, 𝑌⟩} × (𝑋𝐽𝑌))𝐹))
9		brxp 5674	. . 3 ⊢ (𝑍({⟨𝑋, 𝑌⟩} × (𝑋𝐽𝑌))𝐹 ↔ (𝑍 ∈ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌)))
10		opex 5412	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ V
11	10	elsn2 4610	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
12	11	anbi1i 625	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌)) ↔ (𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌)))
13	9, 12	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑍({⟨𝑋, 𝑌⟩} × (𝑋𝐽𝑌))𝐹 ↔ (𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌)))
14	8, 13	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍(𝑋𝐻𝑌)𝐹 ↔ (𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  Hom chom 17225  Catccat 17624  Hom_achoma 17984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-homa 17987

This theorem is referenced by:  elhomai  17994  homa1  17998  homahom2  17999