Theorem elhoma 17992

Description: Value of the disjointified hom-set function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
homarcl.h	⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
homafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
homafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
homaval.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)
homaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
homaval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elhoma	⊢ (𝜑 → (𝑍(𝑋𝐻𝑌)𝐹 ↔ (𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌))))

Proof of Theorem elhoma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homarcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
2		homafval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		homafval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		homaval.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)
5		homaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		homaval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	homaval 17991	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = ({⟨𝑋, 𝑌⟩} × (𝑋𝐽𝑌)))
8	7	breqd 5159	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍(𝑋𝐻𝑌)𝐹 ↔ 𝑍({⟨𝑋, 𝑌⟩} × (𝑋𝐽𝑌))𝐹))
9		brxp 5725	. . 3 ⊢ (𝑍({⟨𝑋, 𝑌⟩} × (𝑋𝐽𝑌))𝐹 ↔ (𝑍 ∈ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌)))
10		opex 5464	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ V
11	10	elsn2 4667	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
12	11	anbi1i 623	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌)) ↔ (𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌)))
13	9, 12	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑍({⟨𝑋, 𝑌⟩} × (𝑋𝐽𝑌))𝐹 ↔ (𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌)))
14	8, 13	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍(𝑋𝐻𝑌)𝐹 ↔ (𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {csn 4628  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  Hom chom 17215  Catccat 17615  Hom_achoma 17983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-homa 17986

This theorem is referenced by:  elhomai  17993  homa1  17997  homahom2  17998