Theorem elhoma 18257

Description: Value of the disjointified hom-set function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
homarcl.h	⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
homafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
homafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
homaval.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)
homaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
homaval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elhoma	⊢ (𝜑 → (𝑍(𝑋𝐻𝑌)𝐹 ↔ (𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌))))

Proof of Theorem elhoma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homarcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
2		homafval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		homafval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		homaval.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)
5		homaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		homaval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	homaval 18256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = ({⟨𝑋, 𝑌⟩} × (𝑋𝐽𝑌)))
8	7	breqd 5119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍(𝑋𝐻𝑌)𝐹 ↔ 𝑍({⟨𝑋, 𝑌⟩} × (𝑋𝐽𝑌))𝐹))
9		brxp 5707	. . 3 ⊢ (𝑍({⟨𝑋, 𝑌⟩} × (𝑋𝐽𝑌))𝐹 ↔ (𝑍 ∈ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌)))
10		opex 5439	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ V
11	10	elsn2 4627	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
12	11	anbi1i 636	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌)) ↔ (𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌)))
13	9, 12	bitri 278	. 2 ⊢ (𝑍({⟨𝑋, 𝑌⟩} × (𝑋𝐽𝑌))𝐹 ↔ (𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌)))
14	8, 13	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍(𝑋𝐻𝑌)𝐹 ↔ (𝑍 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐽𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  Hom chom 17483  Catccat 17888  Hom_achoma 18248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-homa 18251

This theorem is used by:  elhomai  18258  homa1  18262  homahom2  18263