Theorem eufsn2 49678

Description: There is exactly one function into a singleton, assuming ax-pow 5338 and ax-un 7742. Variant of eufsn 49677. If existence is not needed, use mofsn 49679 or mofsn2 49680 for fewer axiom assumptions. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eufsn.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
eufsn.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
eufsn2	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝐵})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem eufsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eufsn.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		eufsn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		snex 5412	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ V
4		xpexg 7755	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐵} ∈ V) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) ∈ V)
6	1, 5	eufsnlem 49676	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝐵})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ∃!weu 2598  Vcvv 3457  {csn 4591   × cxp 5661  ⟶wf 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548

This theorem is used by: (None)