Theorem raleqi 3292

Description: Equality inference for restricted universal quantifier. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
raleqi	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		raleq 3291	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541  ∀wral 3049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-9 2123  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-ex 1781  df-cleq 2726  df-ral 3050  df-rex 3059

This theorem is referenced by:  ralrab2  3654  ralprgf  4649  ralprg  4651  raltpg  4653  ralxp  5788  f12dfv  7217  f13dfv  7218  ralrnmpo  7495  ovmptss  8033  ixpfi2  9248  dffi3  9332  dfoi  9414  ssttrcl  9622  fseqenlem1  9932  kmlem12  10070  fzprval  13499  fztpval  13500  hashbc  14374  2prm  16617  prmreclem2  16843  xpsfrnel  17481  xpsle  17498  s1chn  18541  chnub  18543  gsumwspan  18769  sgrp2rid2  18849  psgnunilem3  19423  pmtrsn  19446  islinds2  21766  ply1coe  22240  cply1coe0bi  22244  m2cpminvid2lem  22696  basdif0  22895  ordtbaslem  23130  ptbasfi  23523  ptcnplem  23563  ptrescn  23581  flftg  23938  ust0  24162  minveclem1  25378  minveclem3b  25382  minveclem6  25388  iblcnlem1  25743  ellimc2  25832  ftalem3  27039  dchreq  27223  pntlem3  27574  negsbdaylem  28025  precsexlem9  28183  0reno  28441  1reno  28442  istrkg2ld  28481  istrkg3ld  28482  tgcgr4  28552  elntg2  29007  lfuhgr1v0e  29276  cplgr0  29447  wlkp1lem8  29701  usgr2pthlem  29785  pthdlem1  29788  pthd  29791  crctcshwlkn0  29843  2wlkdlem4  29950  2wlkdlem5  29951  2pthdlem1  29952  2wlkdlem10  29957  rusgrnumwwlkl1  29993  0ewlk  30138  0wlk  30140  wlk2v2elem2  30180  3wlkdlem4  30186  3wlkdlem5  30187  3pthdlem1  30188  3wlkdlem10  30193  minvecolem1  30898  minvecolem5  30905  minvecolem6  30906  cdj3lem3b  32464  elrgspnsubrunlem2  33279  prsiga  34237  hfext  36326  filnetlem4  36524  relowlssretop  37507  relowlpssretop  37508  elghomOLD  38027  iscrngo2  38137  refrelcoss3  38665  tendoset  40958  fnwe2lem2  43235  nadd1suc  43576  eliuniincex  45295  eliincex  45296  uzub  45617  liminflelimsuplem  45961  xlimbr  46013  subsaliuncl  46544  gricushgr  48105  isgrlim  48170  rrx2pnecoorneor  48903  rrx2linest  48930