MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1omvdcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1omvdcnv 19224
Description: A permutation and its inverse move the same points. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdcnv (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))

Proof of Theorem f1omvdcnv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnvfvb 7224 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
213anidm23 1421 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
32bicomd 222 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
43necon3bid 2988 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
54rabbidva 3414 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
6 f1ocnv 6796 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
7 f1ofn 6785 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐴)
8 fndifnfp 7121 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
96, 7, 83syl 18 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
10 f1ofn 6785 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐴)
11 fndifnfp 7121 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
1210, 11syl 17 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
135, 9, 123eqtr4d 2786 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  cdif 3907   I cid 5530  ccnv 5632  dom cdm 5633   Fn wfn 6491  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504
This theorem is referenced by:  f1omvdco2  19228  symgsssg  19247  symgfisg  19248
  Copyright terms: Public domain W3C validator