MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1omvdcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1omvdcnv 19477
Description: A permutation and its inverse move the same points. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdcnv (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))

Proof of Theorem f1omvdcnv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnvfvb 7299 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
213anidm23 1420 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
32bicomd 223 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
43necon3bid 2983 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
54rabbidva 3440 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
6 f1ocnv 6861 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
7 f1ofn 6850 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐴)
8 fndifnfp 7196 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
96, 7, 83syl 18 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
10 f1ofn 6850 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐴)
11 fndifnfp 7196 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
1210, 11syl 17 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
135, 9, 123eqtr4d 2785 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  cdif 3960   I cid 5582  ccnv 5688  dom cdm 5689   Fn wfn 6558  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571
This theorem is referenced by:  f1omvdco2  19481  symgsssg  19500  symgfisg  19501
  Copyright terms: Public domain W3C validator