MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1omvdcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1omvdcnv 19462
Description: A permutation and its inverse move the same points. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdcnv (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))

Proof of Theorem f1omvdcnv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnvfvb 7299 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
213anidm23 1423 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
32bicomd 223 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
43necon3bid 2985 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
54rabbidva 3443 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
6 f1ocnv 6860 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
7 f1ofn 6849 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐴)
8 fndifnfp 7196 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
96, 7, 83syl 18 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
10 f1ofn 6849 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐴)
11 fndifnfp 7196 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
1210, 11syl 17 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
135, 9, 123eqtr4d 2787 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  cdif 3948   I cid 5577  ccnv 5684  dom cdm 5685   Fn wfn 6556  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569
This theorem is referenced by:  f1omvdco2  19466  symgsssg  19485  symgfisg  19486
  Copyright terms: Public domain W3C validator