MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfisg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfisg 19430
Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgfisg (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgfisg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2729 . 2 (𝐷𝑉 → (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) = (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}))
2 eqidd 2729 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) = (0g𝐺))
3 eqidd 2729 . 2 (𝐷𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 ssrab2 4077 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ 𝐵
5 symgsssg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5sseqtri 4018 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺)
76a1i 11 . 2 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺))
8 difeq1 4115 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
98dmeqd 5912 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
109eleq1d 2814 . . 3 (𝑥 = (0g𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin))
11 symgsssg.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
1211symggrp 19362 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
13 eqid 2728 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
145, 13grpidcl 18929 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1512, 14syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1611symgid 19363 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
1716difeq1d 4121 . . . . 5 (𝐷𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
1817dmeqd 5912 . . . 4 (𝐷𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
19 resss 6011 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
20 ssdif0 4367 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
2119, 20mpbi 229 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
2221dmeqi 5911 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
23 dm0 5927 . . . . . 6 dom ∅ = ∅
2422, 23eqtri 2756 . . . . 5 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
25 0fin 9202 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
2624, 25eqeltri 2825 . . . 4 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ∈ Fin
2718, 26eqeltrrdi 2838 . . 3 (𝐷𝑉 → dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin)
2810, 15, 27elrabd 3686 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
29 biid 260 . . 3 (𝐷𝑉𝐷𝑉)
30 difeq1 4115 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
3130dmeqd 5912 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
3231eleq1d 2814 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
3332elrab 3684 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
34 difeq1 4115 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
3534dmeqd 5912 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
3635eleq1d 2814 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
3736elrab 3684 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
38 difeq1 4115 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
3938dmeqd 5912 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
4039eleq1d 2814 . . . 4 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin))
41123ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ Grp)
42 simp2l 1196 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦𝐵)
43 simp3l 1198 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑧𝐵)
44 eqid 2728 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
455, 44grpcl 18905 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
4641, 42, 43, 45syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
4711, 5, 44symgov 19345 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4842, 43, 47syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4948difeq1d 4121 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦𝑧) ∖ I ))
5049dmeqd 5912 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦𝑧) ∖ I ))
51 simp2r 1197 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
52 simp3r 1199 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)
53 unfi 9203 . . . . . . 7 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
5451, 52, 53syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
55 mvdco 19407 . . . . . 6 dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
56 ssfi 9204 . . . . . 6 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin ∧ dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
5754, 55, 56sylancl 584 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
5850, 57eqeltrd 2829 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
5940, 46, 58elrabd 3686 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
6029, 33, 37, 59syl3anb 1158 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
61 difeq1 4115 . . . . . 6 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
6261dmeqd 5912 . . . . 5 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
6362eleq1d 2814 . . . 4 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin))
64 simprl 769 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦𝐵)
65 eqid 2728 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
665, 65grpinvcl 18951 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6712, 64, 66syl2an2r 683 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6811, 5, 65symginv 19364 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
6968ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
7069difeq1d 4121 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
7170dmeqd 5912 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7211, 5symgbasf1o 19336 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
7372ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
74 f1omvdcnv 19406 . . . . . . 7 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7573, 74syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7671, 75eqtrd 2768 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
77 simprr 771 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
7876, 77eqeltrd 2829 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin)
7963, 67, 78elrabd 3686 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
8033, 79sylan2b 592 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
811, 2, 3, 7, 28, 60, 80, 12issubgrpd2 19104 1 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3430  cdif 3946  cun 3947  wss 3949  c0 4326   I cid 5579  ccnv 5681  dom cdm 5682  cres 5684  ccom 5686  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  Basecbs 17187  s cress 17216  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898  SubGrpcsubg 19082  SymGrpcsymg 19328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-tset 17259  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-efmnd 18828  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-symg 19329
This theorem is referenced by:  symggen  19432  psgndmsubg  19464
  Copyright terms: Public domain W3C validator