MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfisg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfisg 18271
Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgfisg (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgfisg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2779 . 2 (𝐷𝑉 → (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) = (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}))
2 eqidd 2779 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) = (0g𝐺))
3 eqidd 2779 . 2 (𝐷𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 ssrab2 3908 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ 𝐵
5 symgsssg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5sseqtri 3856 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺)
76a1i 11 . 2 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺))
8 symgsssg.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
98symggrp 18203 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
10 eqid 2778 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
115, 10grpidcl 17837 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
138symgid 18204 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
1413difeq1d 3950 . . . . 5 (𝐷𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
1514dmeqd 5571 . . . 4 (𝐷𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
16 resss 5671 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
17 ssdif0 4172 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
1816, 17mpbi 222 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
1918dmeqi 5570 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
20 dm0 5584 . . . . . 6 dom ∅ = ∅
2119, 20eqtri 2802 . . . . 5 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
22 0fin 8476 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
2321, 22eqeltri 2855 . . . 4 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ∈ Fin
2415, 23syl6eqelr 2868 . . 3 (𝐷𝑉 → dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin)
25 difeq1 3944 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
2625dmeqd 5571 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
2726eleq1d 2844 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin))
2827elrab 3572 . . 3 ((0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝐵 ∧ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin))
2912, 24, 28sylanbrc 578 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
30 biid 253 . . 3 (𝐷𝑉𝐷𝑉)
31 difeq1 3944 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
3231dmeqd 5571 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
3332eleq1d 2844 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
3433elrab 3572 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
35 difeq1 3944 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
3635dmeqd 5571 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
3736eleq1d 2844 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
3837elrab 3572 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
3993ad2ant1 1124 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ Grp)
40 simp2l 1213 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦𝐵)
41 simp3l 1215 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑧𝐵)
42 eqid 2778 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
435, 42grpcl 17817 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
4439, 40, 41, 43syl3anc 1439 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
458, 5, 42symgov 18193 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4640, 41, 45syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4746difeq1d 3950 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦𝑧) ∖ I ))
4847dmeqd 5571 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦𝑧) ∖ I ))
49 simp2r 1214 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
50 simp3r 1216 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)
51 unfi 8515 . . . . . . 7 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
5249, 50, 51syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
53 mvdco 18248 . . . . . 6 dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
54 ssfi 8468 . . . . . 6 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin ∧ dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
5552, 53, 54sylancl 580 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
5648, 55eqeltrd 2859 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
57 difeq1 3944 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
5857dmeqd 5571 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
5958eleq1d 2844 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin))
6059elrab 3572 . . . 4 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin))
6144, 56, 60sylanbrc 578 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
6230, 34, 38, 61syl3anb 1161 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
639adantr 474 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ Grp)
64 simprl 761 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦𝐵)
65 eqid 2778 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
665, 65grpinvcl 17854 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6763, 64, 66syl2anc 579 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
688, 5, 65symginv 18205 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
6968ad2antrl 718 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
7069difeq1d 3950 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
7170dmeqd 5571 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
728, 5symgbasf1o 18186 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
7372ad2antrl 718 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
74 f1omvdcnv 18247 . . . . . . 7 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7573, 74syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7671, 75eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
77 simprr 763 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
7876, 77eqeltrd 2859 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin)
79 difeq1 3944 . . . . . . 7 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
8079dmeqd 5571 . . . . . 6 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
8180eleq1d 2844 . . . . 5 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin))
8281elrab 3572 . . . 4 (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin))
8367, 78, 82sylanbrc 578 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
8434, 83sylan2b 587 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
851, 2, 3, 7, 29, 62, 84, 9issubgrpd2 17994 1 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  {crab 3094  cdif 3789  cun 3790  wss 3792  c0 4141   I cid 5260  ccnv 5354  dom cdm 5355  cres 5357  ccom 5359  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  Basecbs 16255  s cress 16256  +gcplusg 16338  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809  invgcminusg 17810  SubGrpcsubg 17972  SymGrpcsymg 18180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-tset 16357  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-subg 17975  df-symg 18181
This theorem is referenced by:  symggen  18273  psgndmsubg  18306
  Copyright terms: Public domain W3C validator