Theorem symgfisg 19375

Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsssg.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgfisg	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgfisg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝐺 ↾s {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) = (𝐺 ↾s {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}))
2		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺))
3		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		ssrab2 4025	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ 𝐵
5		symgsssg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	sseqtri 3978	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺))
8		difeq1 4064	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g‘𝐺) ∖ I ))
9	8	dmeqd 5840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g‘𝐺) ∖ I ))
10	9	eleq1d 2816	. . 3 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((0g‘𝐺) ∖ I ) ∈ Fin))
11		symgsssg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
12	11	symggrp 19307	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
13		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	5, 13	grpidcl 18873	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
16	11	symgid 19308	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
17	16	difeq1d 4070	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g‘𝐺) ∖ I ))
18	17	dmeqd 5840	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g‘𝐺) ∖ I ))
19		resss 5945	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
20		ssdif0 4311	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
21	19, 20	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
22	21	dmeqi 5839	. . . . . 6 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
23		dm0 5855	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
24	22, 23	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
25		0fi 8959	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
26	24, 25	eqeltri 2827	. . . 4 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ∈ Fin
27	18, 26	eqeltrrdi 2840	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom ((0g‘𝐺) ∖ I ) ∈ Fin)
28	10, 15, 27	elrabd 3644	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
29		biid 261	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 ↔ 𝐷 ∈ 𝑉)
30		difeq1 4064	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
31	30	dmeqd 5840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
32	31	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
33	32	elrab 3642	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
34		difeq1 4064	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
35	34	dmeqd 5840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
36	35	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
37	36	elrab 3642	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
38		difeq1 4064	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ))
39	38	dmeqd 5840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ))
40	39	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin))
41	12	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ Grp)
42		simp2l 1200	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
43		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
44		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
45	5, 44	grpcl 18849	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
46	41, 42, 43, 45	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
47	11, 5, 44	symgov 19291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
48	42, 43, 47	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
49	48	difeq1d 4070	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ))
50	49	dmeqd 5840	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ))
51		simp2r 1201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
52		simp3r 1203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)
53		unfi 9075	. . . . . . 7 ⊢ ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
54	51, 52, 53	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
55		mvdco 19352	. . . . . 6 ⊢ dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
56		ssfi 9077	. . . . . 6 ⊢ (((dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin ∧ dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))) → dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
57	54, 55, 56	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
58	50, 57	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
59	40, 46, 58	elrabd 3644	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
60	29, 33, 37, 59	syl3anb 1161	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
61		difeq1 4064	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
62	61	dmeqd 5840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
63	62	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin))
64		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
65		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
66	5, 65	grpinvcl 18895	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
67	12, 64, 66	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
68	11, 5, 65	symginv 19309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ◡𝑦)
69	68	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ◡𝑦)
70	69	difeq1d 4070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (◡𝑦 ∖ I ))
71	70	dmeqd 5840	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (◡𝑦 ∖ I ))
72	11, 5	symgbasf1o 19282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷)
73	72	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷)
74		f1omvdcnv 19351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom (◡𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
75	73, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (◡𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
76	71, 75	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
77		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
78	76, 77	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin)
79	63, 67, 78	elrabd 3644	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
80	33, 79	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
81	1, 2, 3, 7, 28, 60, 80, 12	issubgrpd2 19050	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278   I cid 5505  ^◡ccnv 5610  dom cdm 5611   ↾ cres 5613   ∘ ccom 5615  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  Basecbs 17115   ↾_s cress 17136  +_gcplusg 17156  0_gc0g 17338  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842  SubGrpcsubg 19028  SymGrpcsymg 19276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-tset 17175  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-efmnd 18772  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-subg 19031  df-symg 19277

This theorem is referenced by:  symggen  19377  psgndmsubg  19409