Theorem symgfisg 19434

Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsssg.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgfisg	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgfisg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝐺 ↾s {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) = (𝐺 ↾s {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}))
2		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺))
3		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		ssrab2 4011	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ 𝐵
5		symgsssg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	sseqtri 3963	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺))
8		difeq1 4050	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g‘𝐺) ∖ I ))
9	8	dmeqd 5847	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g‘𝐺) ∖ I ))
10	9	eleq1d 2824	. . 3 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((0g‘𝐺) ∖ I ) ∈ Fin))
11		symgsssg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
12	11	symggrp 19366	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
13		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	5, 13	grpidcl 18932	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
16	11	symgid 19367	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
17	16	difeq1d 4056	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g‘𝐺) ∖ I ))
18	17	dmeqd 5847	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g‘𝐺) ∖ I ))
19		resss 5953	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
20		ssdif0 4294	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
21	19, 20	mpbi 231	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
22	21	dmeqi 5846	. . . . . 6 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
23		dm0 5862	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
24	22, 23	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
25		0fi 8979	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
26	24, 25	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ∈ Fin
27	18, 26	eqeltrrdi 2848	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom ((0g‘𝐺) ∖ I ) ∈ Fin)
28	10, 15, 27	elrabd 3631	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
29		biid 262	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 ↔ 𝐷 ∈ 𝑉)
30		difeq1 4050	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
31	30	dmeqd 5847	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
32	31	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
33	32	elrab 3629	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
34		difeq1 4050	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
35	34	dmeqd 5847	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
36	35	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
37	36	elrab 3629	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
38		difeq1 4050	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ))
39	38	dmeqd 5847	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ))
40	39	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin))
41	12	3ad2ant1 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ Grp)
42		simp2l 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
43		simp3l 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
44		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
45	5, 44	grpcl 18908	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
46	41, 42, 43, 45	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
47	11, 5, 44	symgov 19350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
48	42, 43, 47	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
49	48	difeq1d 4056	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ))
50	49	dmeqd 5847	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ))
51		simp2r 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
52		simp3r 1209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)
53		unfi 9095	. . . . . . 7 ⊢ ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
54	51, 52, 53	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
55		mvdco 19411	. . . . . 6 ⊢ dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
56		ssfi 9097	. . . . . 6 ⊢ (((dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin ∧ dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))) → dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
57	54, 55, 56	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
58	50, 57	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
59	40, 46, 58	elrabd 3631	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
60	29, 33, 37, 59	syl3anb 1167	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
61		difeq1 4050	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
62	61	dmeqd 5847	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
63	62	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin))
64		simprl 776	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
65		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
66	5, 65	grpinvcl 18954	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
67	12, 64, 66	syl2an2r 691	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
68	11, 5, 65	symginv 19368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ◡𝑦)
69	68	ad2antrl 734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ◡𝑦)
70	69	difeq1d 4056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (◡𝑦 ∖ I ))
71	70	dmeqd 5847	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (◡𝑦 ∖ I ))
72	11, 5	symgbasf1o 19341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷)
73	72	ad2antrl 734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷)
74		f1omvdcnv 19410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom (◡𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
75	73, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (◡𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
76	71, 75	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
77		simprr 778	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
78	76, 77	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin)
79	63, 67, 78	elrabd 3631	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
80	33, 79	sylan2b 600	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
81	1, 2, 3, 7, 28, 60, 80, 12	issubgrpd2 19109	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261   I cid 5512  ^◡ccnv 5617  dom cdm 5618   ↾ cres 5620   ∘ ccom 5622  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  SubGrpcsubg 19087  SymGrpcsymg 19335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-efmnd 18828  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-symg 19336

This theorem is referenced by:  symggen  19436  psgndmsubg  19468