Theorem symgfisg 19430

Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsssg.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgfisg	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgfisg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝐺 ↾s {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) = (𝐺 ↾s {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}))
2		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺))
3		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		ssrab2 4077	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ 𝐵
5		symgsssg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	sseqtri 4018	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺))
8		difeq1 4115	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g‘𝐺) ∖ I ))
9	8	dmeqd 5912	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g‘𝐺) ∖ I ))
10	9	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((0g‘𝐺) ∖ I ) ∈ Fin))
11		symgsssg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
12	11	symggrp 19362	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
13		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	5, 13	grpidcl 18929	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
16	11	symgid 19363	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
17	16	difeq1d 4121	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g‘𝐺) ∖ I ))
18	17	dmeqd 5912	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g‘𝐺) ∖ I ))
19		resss 6011	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
20		ssdif0 4367	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
21	19, 20	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
22	21	dmeqi 5911	. . . . . 6 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
23		dm0 5927	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
24	22, 23	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
25		0fin 9202	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
26	24, 25	eqeltri 2825	. . . 4 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ∈ Fin
27	18, 26	eqeltrrdi 2838	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom ((0g‘𝐺) ∖ I ) ∈ Fin)
28	10, 15, 27	elrabd 3686	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
29		biid 260	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 ↔ 𝐷 ∈ 𝑉)
30		difeq1 4115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
31	30	dmeqd 5912	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
32	31	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
33	32	elrab 3684	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
34		difeq1 4115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
35	34	dmeqd 5912	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
36	35	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
37	36	elrab 3684	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
38		difeq1 4115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ))
39	38	dmeqd 5912	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ))
40	39	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin))
41	12	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ Grp)
42		simp2l 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
43		simp3l 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
44		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
45	5, 44	grpcl 18905	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
46	41, 42, 43, 45	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
47	11, 5, 44	symgov 19345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
48	42, 43, 47	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
49	48	difeq1d 4121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ))
50	49	dmeqd 5912	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ))
51		simp2r 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
52		simp3r 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)
53		unfi 9203	. . . . . . 7 ⊢ ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
54	51, 52, 53	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
55		mvdco 19407	. . . . . 6 ⊢ dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
56		ssfi 9204	. . . . . 6 ⊢ (((dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin ∧ dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))) → dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
57	54, 55, 56	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
58	50, 57	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
59	40, 46, 58	elrabd 3686	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
60	29, 33, 37, 59	syl3anb 1158	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
61		difeq1 4115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
62	61	dmeqd 5912	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
63	62	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin))
64		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
65		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
66	5, 65	grpinvcl 18951	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
67	12, 64, 66	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
68	11, 5, 65	symginv 19364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ◡𝑦)
69	68	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ◡𝑦)
70	69	difeq1d 4121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (◡𝑦 ∖ I ))
71	70	dmeqd 5912	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (◡𝑦 ∖ I ))
72	11, 5	symgbasf1o 19336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷)
73	72	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷)
74		f1omvdcnv 19406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom (◡𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
75	73, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (◡𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
76	71, 75	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
77		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
78	76, 77	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin)
79	63, 67, 78	elrabd 3686	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
80	33, 79	sylan2b 592	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
81	1, 2, 3, 7, 28, 60, 80, 12	issubgrpd2 19104	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326   I cid 5579  ^◡ccnv 5681  dom cdm 5682   ↾ cres 5684   ∘ ccom 5686  –1-1-onto→wf1o 6552  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  Basecbs 17187   ↾_s cress 17216  +_gcplusg 17240  0_gc0g 17428  Grpcgrp 18897  inv_gcminusg 18898  SubGrpcsubg 19082  SymGrpcsymg 19328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-tset 17259  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-efmnd 18828  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-symg 19329

This theorem is referenced by:  symggen  19432  psgndmsubg  19464