MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgsssg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgsssg 19208
Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgsssg (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgsssg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2738 . 2 (𝐷𝑉 → (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) = (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}))
2 eqidd 2738 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) = (0g𝐺))
3 eqidd 2738 . 2 (𝐷𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 ssrab2 4035 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ 𝐵
5 symgsssg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5sseqtri 3978 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)
76a1i 11 . 2 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
8 difeq1 4073 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
98dmeqd 5859 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
109sseq1d 3973 . . 3 (𝑥 = (0g𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
11 symgsssg.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
1211symggrp 19141 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
13 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
145, 13grpidcl 18738 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1512, 14syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1611symgid 19142 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
1716difeq1d 4079 . . . . 5 (𝐷𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
1817dmeqd 5859 . . . 4 (𝐷𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
19 resss 5960 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
20 ssdif0 4321 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
2119, 20mpbi 229 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
2221dmeqi 5858 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
23 dm0 5874 . . . . . 6 dom ∅ = ∅
2422, 23eqtri 2765 . . . . 5 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
25 0ss 4354 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝑋
2624, 25eqsstri 3976 . . . 4 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ⊆ 𝑋
2718, 26eqsstrrdi 3997 . . 3 (𝐷𝑉 → dom ((0g𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
2810, 15, 27elrabd 3645 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
29 biid 260 . . 3 (𝐷𝑉𝐷𝑉)
30 difeq1 4073 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
3130dmeqd 5859 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
3231sseq1d 3973 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
3332elrab 3643 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
34 difeq1 4073 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
3534dmeqd 5859 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
3635sseq1d 3973 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
3736elrab 3643 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
38 difeq1 4073 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
3938dmeqd 5859 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
4039sseq1d 3973 . . . 4 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
41123ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
42 simp2l 1199 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦𝐵)
43 simp3l 1201 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑧𝐵)
44 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
455, 44grpcl 18716 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
4641, 42, 43, 45syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
4711, 5, 44symgov 19124 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4842, 43, 47syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4948difeq1d 4079 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦𝑧) ∖ I ))
5049dmeqd 5859 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦𝑧) ∖ I ))
51 mvdco 19186 . . . . . 6 dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
52 simp2r 1200 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
53 simp3r 1202 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
5452, 53unssd 4144 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ⊆ 𝑋)
5551, 54sstrid 3953 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
5650, 55eqsstrd 3980 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
5740, 46, 56elrabd 3645 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
5829, 33, 37, 57syl3anb 1161 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
59 difeq1 4073 . . . . . 6 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
6059dmeqd 5859 . . . . 5 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
6160sseq1d 3973 . . . 4 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
62 simprl 769 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦𝐵)
63 eqid 2737 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
645, 63grpinvcl 18758 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6512, 62, 64syl2an2r 683 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6611, 5, 63symginv 19143 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
6766ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
6867difeq1d 4079 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
6968dmeqd 5859 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7011, 5symgbasf1o 19115 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
7170ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
72 f1omvdcnv 19185 . . . . . . 7 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7371, 72syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7469, 73eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
75 simprr 771 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
7674, 75eqsstrd 3980 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
7761, 65, 76elrabd 3645 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
7833, 77sylan2b 594 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
791, 2, 3, 7, 28, 58, 78, 12issubgrpd2 18903 1 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3405  cdif 3905  cun 3906  wss 3908  c0 4280   I cid 5528  ccnv 5630  dom cdm 5631  cres 5633  ccom 5635  1-1-ontowf1o 6492  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17043  s cress 17072  +gcplusg 17093  0gc0g 17281  Grpcgrp 18708  invgcminusg 18709  SubGrpcsubg 18881  SymGrpcsymg 19107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-tset 17112  df-0g 17283  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-efmnd 18639  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-subg 18884  df-symg 19108
This theorem is referenced by:  psgnunilem5  19235
  Copyright terms: Public domain W3C validator