MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgsssg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgsssg 19377
Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgsssg (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgsssg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2732 . 2 (𝐷𝑉 → (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) = (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}))
2 eqidd 2732 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) = (0g𝐺))
3 eqidd 2732 . 2 (𝐷𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 ssrab2 4077 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ 𝐵
5 symgsssg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5sseqtri 4018 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)
76a1i 11 . 2 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
8 difeq1 4115 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
98dmeqd 5905 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
109sseq1d 4013 . . 3 (𝑥 = (0g𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
11 symgsssg.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
1211symggrp 19310 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
13 eqid 2731 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
145, 13grpidcl 18887 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1512, 14syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1611symgid 19311 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
1716difeq1d 4121 . . . . 5 (𝐷𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
1817dmeqd 5905 . . . 4 (𝐷𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
19 resss 6006 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
20 ssdif0 4363 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
2119, 20mpbi 229 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
2221dmeqi 5904 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
23 dm0 5920 . . . . . 6 dom ∅ = ∅
2422, 23eqtri 2759 . . . . 5 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
25 0ss 4396 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝑋
2624, 25eqsstri 4016 . . . 4 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ⊆ 𝑋
2718, 26eqsstrrdi 4037 . . 3 (𝐷𝑉 → dom ((0g𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
2810, 15, 27elrabd 3685 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
29 biid 261 . . 3 (𝐷𝑉𝐷𝑉)
30 difeq1 4115 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
3130dmeqd 5905 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
3231sseq1d 4013 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
3332elrab 3683 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
34 difeq1 4115 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
3534dmeqd 5905 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
3635sseq1d 4013 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
3736elrab 3683 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
38 difeq1 4115 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
3938dmeqd 5905 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
4039sseq1d 4013 . . . 4 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
41123ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
42 simp2l 1198 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦𝐵)
43 simp3l 1200 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑧𝐵)
44 eqid 2731 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
455, 44grpcl 18864 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
4641, 42, 43, 45syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
4711, 5, 44symgov 19293 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4842, 43, 47syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4948difeq1d 4121 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦𝑧) ∖ I ))
5049dmeqd 5905 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦𝑧) ∖ I ))
51 mvdco 19355 . . . . . 6 dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
52 simp2r 1199 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
53 simp3r 1201 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
5452, 53unssd 4186 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ⊆ 𝑋)
5551, 54sstrid 3993 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
5650, 55eqsstrd 4020 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
5740, 46, 56elrabd 3685 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
5829, 33, 37, 57syl3anb 1160 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
59 difeq1 4115 . . . . . 6 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
6059dmeqd 5905 . . . . 5 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
6160sseq1d 4013 . . . 4 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
62 simprl 768 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦𝐵)
63 eqid 2731 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
645, 63grpinvcl 18909 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6512, 62, 64syl2an2r 682 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6611, 5, 63symginv 19312 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
6766ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
6867difeq1d 4121 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
6968dmeqd 5905 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7011, 5symgbasf1o 19284 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
7170ad2antrl 725 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
72 f1omvdcnv 19354 . . . . . . 7 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7371, 72syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7469, 73eqtrd 2771 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
75 simprr 770 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
7674, 75eqsstrd 4020 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
7761, 65, 76elrabd 3685 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
7833, 77sylan2b 593 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
791, 2, 3, 7, 28, 58, 78, 12issubgrpd2 19059 1 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3431  cdif 3945  cun 3946  wss 3948  c0 4322   I cid 5573  ccnv 5675  dom cdm 5676  cres 5678  ccom 5680  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  s cress 17178  +gcplusg 17202  0gc0g 17390  Grpcgrp 18856  invgcminusg 18857  SubGrpcsubg 19037  SymGrpcsymg 19276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-tset 17221  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-efmnd 18787  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-symg 19277
This theorem is referenced by:  psgnunilem5  19404
  Copyright terms: Public domain W3C validator