Theorem symgsssg 19434

Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsssg.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgsssg	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgsssg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝐺 ↾s {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) = (𝐺 ↾s {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}))
2		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺))
3		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		ssrab2 4012	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ 𝐵
5		symgsssg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	sseqtri 3963	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
8		difeq1 4051	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g‘𝐺) ∖ I ))
9	8	dmeqd 5848	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g‘𝐺) ∖ I ))
10	9	sseq1d 3946	. . 3 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom ((0g‘𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
11		symgsssg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
12	11	symggrp 19367	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
13		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	5, 13	grpidcl 18933	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
16	11	symgid 19368	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
17	16	difeq1d 4057	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g‘𝐺) ∖ I ))
18	17	dmeqd 5848	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g‘𝐺) ∖ I ))
19		resss 5954	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
20		ssdif0 4295	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
21	19, 20	mpbi 231	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
22	21	dmeqi 5847	. . . . . 6 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
23		dm0 5863	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
24	22, 23	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
25		0ss 4329	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑋
26	24, 25	eqsstri 3961	. . . 4 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ⊆ 𝑋
27	18, 26	eqsstrrdi 3960	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom ((0g‘𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
28	10, 15, 27	elrabd 3631	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
29		biid 262	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 ↔ 𝐷 ∈ 𝑉)
30		difeq1 4051	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
31	30	dmeqd 5848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
32	31	sseq1d 3946	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
33	32	elrab 3629	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
34		difeq1 4051	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
35	34	dmeqd 5848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
36	35	sseq1d 3946	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
37	36	elrab 3629	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
38		difeq1 4051	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ))
39	38	dmeqd 5848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ))
40	39	sseq1d 3946	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
41	12	3ad2ant1 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
42		simp2l 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
43		simp3l 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
44		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
45	5, 44	grpcl 18909	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
46	41, 42, 43, 45	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
47	11, 5, 44	symgov 19351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
48	42, 43, 47	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
49	48	difeq1d 4057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ))
50	49	dmeqd 5848	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ))
51		mvdco 19412	. . . . . 6 ⊢ dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
52		simp2r 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
53		simp3r 1209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
54	52, 53	unssd 4122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ⊆ 𝑋)
55	51, 54	sstrid 3926	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
56	50, 55	eqsstrd 3949	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
57	40, 46, 56	elrabd 3631	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
58	29, 33, 37, 57	syl3anb 1167	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
59		difeq1 4051	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
60	59	dmeqd 5848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
61	60	sseq1d 3946	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
62		simprl 776	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
63		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
64	5, 63	grpinvcl 18955	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
65	12, 62, 64	syl2an2r 691	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
66	11, 5, 63	symginv 19369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ◡𝑦)
67	66	ad2antrl 734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ◡𝑦)
68	67	difeq1d 4057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (◡𝑦 ∖ I ))
69	68	dmeqd 5848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (◡𝑦 ∖ I ))
70	11, 5	symgbasf1o 19342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷)
71	70	ad2antrl 734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷)
72		f1omvdcnv 19411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom (◡𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
73	71, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (◡𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
74	69, 73	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
75		simprr 778	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
76	74, 75	eqsstrd 3949	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
77	61, 65, 76	elrabd 3631	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
78	33, 77	sylan2b 600	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
79	1, 2, 3, 7, 28, 58, 78, 12	issubgrpd2 19110	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262   I cid 5513  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171   ↾_s cress 17192  +_gcplusg 17212  0_gc0g 17394  Grpcgrp 18901  inv_gcminusg 18902  SubGrpcsubg 19088  SymGrpcsymg 19336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-tset 17231  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-efmnd 18829  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-subg 19091  df-symg 19337

This theorem is referenced by:  psgnunilem5  19461