Theorem symgsssg 19532

Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsssg.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgsssg	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgsssg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝐺 ↾s {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) = (𝐺 ↾s {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}))
2		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺))
3		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		ssrab2 4034	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ 𝐵
5		symgsssg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	sseqtri 3985	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
8		difeq1 4074	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g‘𝐺) ∖ I ))
9	8	dmeqd 5895	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g‘𝐺) ∖ I ))
10	9	sseq1d 3968	. . 3 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom ((0g‘𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
11		symgsssg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
12	11	symggrp 19465	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	5, 13	grpidcl 19027	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
16	11	symgid 19466	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
17	16	difeq1d 4080	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g‘𝐺) ∖ I ))
18	17	dmeqd 5895	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g‘𝐺) ∖ I ))
19		resss 6000	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
20		ssdif0 4321	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
21	19, 20	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
22	21	dmeqi 5894	. . . . . 6 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
23		dm0 5910	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
24	22, 23	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
25		0ss 4357	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑋
26	24, 25	eqsstri 3983	. . . 4 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ⊆ 𝑋
27	18, 26	eqsstrrdi 3982	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom ((0g‘𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
28	10, 15, 27	elrabd 3652	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
29		biid 264	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 ↔ 𝐷 ∈ 𝑉)
30		difeq1 4074	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
31	30	dmeqd 5895	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
32	31	sseq1d 3968	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
33	32	elrab 3650	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
34		difeq1 4074	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
35	34	dmeqd 5895	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
36	35	sseq1d 3968	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
37	36	elrab 3650	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
38		difeq1 4074	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ))
39	38	dmeqd 5895	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ))
40	39	sseq1d 3968	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
41	12	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
42		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
43		simp3l 1220	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
44		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
45	5, 44	grpcl 19003	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
46	41, 42, 43, 45	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
47	11, 5, 44	symgov 19449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
48	42, 43, 47	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
49	48	difeq1d 4080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ))
50	49	dmeqd 5895	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ))
51		mvdco 19510	. . . . . 6 ⊢ dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
52		simp2r 1219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
53		simp3r 1221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
54	52, 53	unssd 4145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ⊆ 𝑋)
55	51, 54	sstrid 3948	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦 ∘ 𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
56	50, 55	eqsstrd 3971	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
57	40, 46, 56	elrabd 3652	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
58	29, 33, 37, 57	syl3anb 1179	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
59		difeq1 4074	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
60	59	dmeqd 5895	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
61	60	sseq1d 3968	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ↔ dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
62		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
63		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
64	5, 63	grpinvcl 19049	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
65	12, 62, 64	syl2an2r 697	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
66	11, 5, 63	symginv 19467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ◡𝑦)
67	66	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ◡𝑦)
68	67	difeq1d 4080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (◡𝑦 ∖ I ))
69	68	dmeqd 5895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (◡𝑦 ∖ I ))
70	11, 5	symgbasf1o 19440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷)
71	70	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → 𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷)
72		f1omvdcnv 19509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom (◡𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
73	71, 72	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (◡𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
74	69, 73	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
75		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
76	74, 75	eqsstrd 3971	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
77	61, 65, 76	elrabd 3652	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
78	33, 77	sylan2b 605	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋}) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋})
79	1, 2, 3, 7, 28, 58, 78, 12	issubgrpd2 19204	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑋} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   I cid 5555  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  inv_gcminusg 18996  SubGrpcsubg 19181  SymGrpcsymg 19434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-tset 17324  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-efmnd 18923  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-subg 19184  df-symg 19435

This theorem is referenced by:  psgnunilem5  19559