Theorem fbelss 23769

Description: An element of the filter base is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbelss	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem fbelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbsspw 23768	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵)
2	1	sselda 3958	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐵)
3	2	elpwid 4584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  ‘cfv 6530  fBascfbas 21301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fv 6538  df-fbas 21310

This theorem is referenced by:  fbdmn0  23770  filelss  23788  ssfg  23808  fgcl  23814  fbasrn  23820  fmfnfmlem4  23893  fmfnfm  23894  fmucnd  24228  cfilucfil  24496  fmcfil  25222