Theorem fbelss 23743

Description: An element of the filter base is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbelss	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem fbelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbsspw 23742	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵)
2	1	sselda 3929	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐵)
3	2	elpwid 4554	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4545  ‘cfv 6476  fBascfbas 21274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fv 6484  df-fbas 21283

This theorem is referenced by:  fbdmn0  23744  filelss  23762  ssfg  23782  fgcl  23788  fbasrn  23794  fmfnfmlem4  23867  fmfnfm  23868  fmucnd  24201  cfilucfil  24469  fmcfil  25194