Theorem fbelss 24152

Description: An element of the filter base is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbelss	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem fbelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbsspw 24151	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵)
2	1	sselda 3931	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐵)
3	2	elpwid 4566	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ‘cfv 6538  fBascfbas 21666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-fbas 21675

This theorem is used by:  fbdmn0  24153  filelss  24171  ssfg  24191  fgcl  24197  fbasrn  24203  fmfnfmlem4  24276  fmfnfm  24277  fmucnd  24610  cfilucfil  24878  fmcfil  25593