MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbelss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbelss 22984
Description: An element of the filter base is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbelss ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋𝐵)

Proof of Theorem fbelss
StepHypRef Expression
1 fbsspw 22983 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵)
21sselda 3921 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐵)
32elpwid 4544 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wss 3887  𝒫 cpw 4533  cfv 6433  fBascfbas 20585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-fbas 20594
This theorem is referenced by:  fbdmn0  22985  filelss  23003  ssfg  23023  fgcl  23029  fbasrn  23035  fmfnfmlem4  23108  fmfnfm  23109  fmucnd  23444  cfilucfil  23715  fmcfil  24436
  Copyright terms: Public domain W3C validator