Theorem ssfg 23766

Description: A filter base is a subset of its generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfg	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))

Proof of Theorem ssfg

Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbelss 23727	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → 𝑡 ⊆ 𝑋)
2	1	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ 𝐹 → 𝑡 ⊆ 𝑋))
3		ssid 3972	. . . . 5 ⊢ 𝑡 ⊆ 𝑡
4		sseq1 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (𝑥 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑡 ⊆ 𝑡))
5	4	rspcev 3591	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐹 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑡) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)
6	3, 5	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)
7	2, 6	jca2 513	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ 𝐹 → (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)))
8		elfg 23765	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)))
9	7, 8	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ 𝐹 → 𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
10	9	ssrdv 3955	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  fBascfbas 21259  filGencfg 21260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-fbas 21268  df-fg 21269

This theorem is referenced by:  fgss2  23768  fgfil  23769  fgabs  23773  trfg  23785  isufil2  23802  ssufl  23812  ufileu  23813  filufint  23814  elfm2  23842  fmfnfmlem4  23851  fmfnfm  23852  fmco  23855  hausflim  23875  flimclslem  23878  flffbas  23889  fclsbas  23915  fclsfnflim  23921  flimfnfcls  23922  fclscmp  23924  isucn2  24173  cfilufg  24187  metust  24453  psmetutop  24462  fgcfil  25178  cmetss  25223  minveclem4a  25337  minveclem4  25339  fgmin  36365