Theorem ssfg 23792

Description: A filter base is a subset of its generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfg	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))

Proof of Theorem ssfg

Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbelss 23753	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → 𝑡 ⊆ 𝑋)
2	1	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ 𝐹 → 𝑡 ⊆ 𝑋))
3		ssid 3966	. . . . 5 ⊢ 𝑡 ⊆ 𝑡
4		sseq1 3969	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (𝑥 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑡 ⊆ 𝑡))
5	4	rspcev 3585	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐹 ∧ 𝑡 ⊆ 𝑡) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)
6	3, 5	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)
7	2, 6	jca2 513	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ 𝐹 → (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)))
8		elfg 23791	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ 𝑡)))
9	7, 8	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ 𝐹 → 𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
10	9	ssrdv 3949	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  fBascfbas 21284  filGencfg 21285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-fbas 21293  df-fg 21294

This theorem is referenced by:  fgss2  23794  fgfil  23795  fgabs  23799  trfg  23811  isufil2  23828  ssufl  23838  ufileu  23839  filufint  23840  elfm2  23868  fmfnfmlem4  23877  fmfnfm  23878  fmco  23881  hausflim  23901  flimclslem  23904  flffbas  23915  fclsbas  23941  fclsfnflim  23947  flimfnfcls  23948  fclscmp  23950  isucn2  24199  cfilufg  24213  metust  24479  psmetutop  24488  fgcfil  25204  cmetss  25249  minveclem4a  25363  minveclem4  25365  fgmin  36351