Theorem fbdmn0 23658

Description: The domain of a filter base is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbdmn0	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbdmn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelfb 23655	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
2		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (fBas‘𝐵) = (fBas‘∅))
3	2	eleq2d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
4	3	biimpd 228	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
5		fbasne0 23654	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → 𝐹 ≠ ∅)
6		n0 4346	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
7	5, 6	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
8		fbelss 23657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ⊆ ∅)
9		ss0 4398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 = ∅)
11		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
12	10, 11	eqeltrrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∅ ∈ 𝐹)
13	7, 12	exlimddv 1937	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∅ ∈ 𝐹)
14	4, 13	syl6com 37	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐵 = ∅ → ∅ ∈ 𝐹))
15	14	necon3bd 2953	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (¬ ∅ ∈ 𝐹 → 𝐵 ≠ ∅))
16	1, 15	mpd 15	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ‘cfv 6543  fBascfbas 21221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-fbas 21230

This theorem is referenced by: (None)