MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbdmn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbdmn0 23858
Description: The domain of a filter base is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbdmn0 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbdmn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelfb 23855 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
2 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → (fBas‘𝐵) = (fBas‘∅))
32eleq2d 2825 . . . . 5 (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
43biimpd 229 . . . 4 (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
5 fbasne0 23854 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → 𝐹 ≠ ∅)
6 n0 4359 . . . . . 6 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
75, 6sylib 218 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
8 fbelss 23857 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ⊆ ∅)
9 ss0 4408 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 = ∅)
11 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝐹)
1210, 11eqeltrrd 2840 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥𝐹) → ∅ ∈ 𝐹)
137, 12exlimddv 1933 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∅ ∈ 𝐹)
144, 13syl6com 37 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐵 = ∅ → ∅ ∈ 𝐹))
1514necon3bd 2952 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (¬ ∅ ∈ 𝐹𝐵 ≠ ∅))
161, 15mpd 15 1 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  c0 4339  cfv 6563  fBascfbas 21370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-fbas 21379
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator