Theorem fbdmn0 24066

Description: The domain of a filter base is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbdmn0	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbdmn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelfb 24063	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
2		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (fBas‘𝐵) = (fBas‘∅))
3	2	eleq2d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
4	3	biimpd 232	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
5		fbasne0 24062	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → 𝐹 ≠ ∅)
6		n0 4303	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
7	5, 6	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
8		fbelss 24065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ⊆ ∅)
9		ss0 4355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 = ∅)
11		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
12	10, 11	eqeltrrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∅ ∈ 𝐹)
13	7, 12	exlimddv 1968	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∅ ∈ 𝐹)
14	4, 13	syl6com 38	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐵 = ∅ → ∅ ∈ 𝐹))
15	14	necon3bd 2971	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (¬ ∅ ∈ 𝐹 → 𝐵 ≠ ∅))
16	1, 15	mpd 16	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ‘cfv 6537  fBascfbas 21579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-fbas 21588

This theorem is used by: (None)