Theorem fbdmn0 23799

Description: The domain of a filter base is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbdmn0	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbdmn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelfb 23796	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
2		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (fBas‘𝐵) = (fBas‘∅))
3	2	eleq2d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
4	3	biimpd 229	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
5		fbasne0 23795	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → 𝐹 ≠ ∅)
6		n0 4293	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
7	5, 6	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
8		fbelss 23798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ⊆ ∅)
9		ss0 4342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 = ∅)
11		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
12	10, 11	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∅ ∈ 𝐹)
13	7, 12	exlimddv 1937	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∅ ∈ 𝐹)
14	4, 13	syl6com 37	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐵 = ∅ → ∅ ∈ 𝐹))
15	14	necon3bd 2946	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (¬ ∅ ∈ 𝐹 → 𝐵 ≠ ∅))
16	1, 15	mpd 15	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ‘cfv 6498  fBascfbas 21340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-fbas 21349

This theorem is referenced by: (None)