MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbdmn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbdmn0 23842
Description: The domain of a filter base is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbdmn0 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbdmn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelfb 23839 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
2 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → (fBas‘𝐵) = (fBas‘∅))
32eleq2d 2827 . . . . 5 (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
43biimpd 229 . . . 4 (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
5 fbasne0 23838 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → 𝐹 ≠ ∅)
6 n0 4353 . . . . . 6 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
75, 6sylib 218 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
8 fbelss 23841 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ⊆ ∅)
9 ss0 4402 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 = ∅)
11 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝐹)
1210, 11eqeltrrd 2842 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥𝐹) → ∅ ∈ 𝐹)
137, 12exlimddv 1935 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∅ ∈ 𝐹)
144, 13syl6com 37 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐵 = ∅ → ∅ ∈ 𝐹))
1514necon3bd 2954 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (¬ ∅ ∈ 𝐹𝐵 ≠ ∅))
161, 15mpd 15 1 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  c0 4333  cfv 6561  fBascfbas 21352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-fbas 21361
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator