Theorem fbdmn0 23809

Description: The domain of a filter base is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbdmn0	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbdmn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelfb 23806	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
2		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (fBas‘𝐵) = (fBas‘∅))
3	2	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
4	3	biimpd 229	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
5		fbasne0 23805	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → 𝐹 ≠ ∅)
6		n0 4294	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
7	5, 6	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
8		fbelss 23808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ⊆ ∅)
9		ss0 4343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 = ∅)
11		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
12	10, 11	eqeltrrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∅ ∈ 𝐹)
13	7, 12	exlimddv 1937	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∅ ∈ 𝐹)
14	4, 13	syl6com 37	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐵 = ∅ → ∅ ∈ 𝐹))
15	14	necon3bd 2947	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (¬ ∅ ∈ 𝐹 → 𝐵 ≠ ∅))
16	1, 15	mpd 15	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ‘cfv 6492  fBascfbas 21332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-fbas 21341

This theorem is referenced by: (None)