MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbdmn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbdmn0 21966
Description: The domain of a filter base is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbdmn0 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbdmn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelfb 21963 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
2 fveq2 6411 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → (fBas‘𝐵) = (fBas‘∅))
32eleq2d 2864 . . . . 5 (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
43biimpd 221 . . . 4 (𝐵 = ∅ → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ∈ (fBas‘∅)))
5 fbasne0 21962 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → 𝐹 ≠ ∅)
6 n0 4131 . . . . . 6 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
75, 6sylib 210 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
8 fbelss 21965 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ⊆ ∅)
9 ss0 4170 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 = ∅)
11 simpr 478 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝐹)
1210, 11eqeltrrd 2879 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘∅) ∧ 𝑥𝐹) → ∅ ∈ 𝐹)
137, 12exlimddv 2031 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘∅) → ∅ ∈ 𝐹)
144, 13syl6com 37 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐵 = ∅ → ∅ ∈ 𝐹))
1514necon3bd 2985 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (¬ ∅ ∈ 𝐹𝐵 ≠ ∅))
161, 15mpd 15 1 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wne 2971  wss 3769  c0 4115  cfv 6101  fBascfbas 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fv 6109  df-fbas 20065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator