MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmcfil Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmcfil 25151
Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmcfil ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐡   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,π‘Œ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧
Proof of Theorem fmcfil
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6921 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 fmval 23798 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))))
31, 2syl3an1 1160 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))))
43eleq1d 2812 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∈ (CauFilβ€˜π·)))
5 simp1 1133 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6 simp2 1134 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
7 simp3 1135 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
813ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9 eqid 2726 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) = ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))
109fbasrn 23739 . . . 4 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
116, 7, 8, 10syl3anc 1368 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
12 fgcfil 25150 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
135, 11, 12syl2anc 583 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
14 imassrn 6063 . . . . . . . 8 (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ran 𝐹
15 frn 6717 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)
16153ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)
1714, 16sstrid 3988 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑋)
188, 17ssexd 5317 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 β€œ 𝑦) ∈ V)
1918ralrimivw 3144 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑦) ∈ V)
20 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))
21 raleq 3316 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2221raleqbi1dv 3327 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2320, 22rexrnmptw 7089 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑦) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
25 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
2625ffnd 6711 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 Fn π‘Œ)
27 fbelss 23688 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
286, 27sylan 579 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
29 oveq1 7411 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝑒𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣))
3029breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯))
3130ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯))
3231ralima 7234 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn π‘Œ ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯))
3326, 28, 32syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯))
34 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)))
3534breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
3635ralima 7234 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn π‘Œ ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
3726, 28, 36syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
3837ralbidv 3171 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
3933, 38bitrd 279 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
4039rexbidva 3170 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
4124, 40bitrd 279 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
4241ralbidv 3171 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
434, 13, 423bitrd 305 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670   β€œ cima 5672   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   < clt 11249  β„+crp 12977  βˆžMetcxmet 21221  fBascfbas 21224  filGencfg 21225   FilMap cfm 23788  CauFilccfil 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-xmet 21229  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-fil 23701  df-fm 23793  df-cfil 25134
This theorem is referenced by:  caucfil  25162
  Copyright terms: Public domain W3C validator