MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmcfil Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmcfil 24780
Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmcfil ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐡   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,π‘Œ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧
Proof of Theorem fmcfil
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6925 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 fmval 23438 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))))
31, 2syl3an1 1163 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))))
43eleq1d 2818 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∈ (CauFilβ€˜π·)))
5 simp1 1136 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6 simp2 1137 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
7 simp3 1138 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
813ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9 eqid 2732 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) = ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))
109fbasrn 23379 . . . 4 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
116, 7, 8, 10syl3anc 1371 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
12 fgcfil 24779 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
135, 11, 12syl2anc 584 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
14 imassrn 6068 . . . . . . . 8 (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ran 𝐹
15 frn 6721 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)
16153ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)
1714, 16sstrid 3992 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑋)
188, 17ssexd 5323 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 β€œ 𝑦) ∈ V)
1918ralrimivw 3150 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑦) ∈ V)
20 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))
21 raleq 3322 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2221raleqbi1dv 3333 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2320, 22rexrnmptw 7093 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑦) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
25 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
2625ffnd 6715 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 Fn π‘Œ)
27 fbelss 23328 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
286, 27sylan 580 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
29 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝑒𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣))
3029breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯))
3130ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯))
3231ralima 7236 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn π‘Œ ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯))
3326, 28, 32syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯))
34 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)))
3534breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
3635ralima 7236 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn π‘Œ ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
3726, 28, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
3837ralbidv 3177 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
3933, 38bitrd 278 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
4039rexbidva 3176 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
4124, 40bitrd 278 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
4241ralbidv 3177 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
434, 13, 423bitrd 304 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   < clt 11244  β„+crp 12970  βˆžMetcxmet 20921  fBascfbas 20924  filGencfg 20925   FilMap cfm 23428  CauFilccfil 24760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-xmet 20929  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-fil 23341  df-fm 23433  df-cfil 24763
This theorem is referenced by:  caucfil  24791
  Copyright terms: Public domain W3C validator