Theorem fmcfil 25226

Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmcfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑌,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem fmcfil

Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6866	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2		fmval 23885	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))))
3	1, 2	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))))
4	3	eleq1d 2819	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷)))
5		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
7		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
8	1	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) = ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))
10	9	fbasrn 23826	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) → ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
11	6, 7, 8, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
12		fgcfil 25225	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
13	5, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
14		imassrn 6028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ ran 𝐹
15		frn 6667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑌⟶𝑋 → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
17	14, 16	sstrid 3943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑋)
18	8, 17	ssexd 5267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝐹 “ 𝑦) ∈ V)
19	18	ralrimivw 3130	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑦) ∈ V)
20		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))
21		raleq 3291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑦) → (∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
22	21	raleqbi1dv 3306	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑦) → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
23	20, 22	rexrnmptw 7038	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑦) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
25		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
26	25	ffnd 6661	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝑌)
27		fbelss 23775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ⊆ 𝑌)
28	6, 27	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ⊆ 𝑌)
29		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑧) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣))
30	29	breq1d 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑧) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
31	30	ralbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑧) → (∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
32	31	ralima 7181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑌 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
33	26, 28, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
34		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑤) → ((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)))
35	34	breq1d 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑤) → (((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
36	35	ralima 7181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑌 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
37	26, 28, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
38	37	ralbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
39	33, 38	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
40	39	rexbidva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
41	24, 40	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
42	41	ralbidv 3157	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
43	4, 13, 42	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  dom cdm 5622  ran crn 5623   “ cima 5625   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   < clt 11164  ℝ⁺crp 12903  ∞Metcxmet 21292  fBascfbas 21295  filGencfg 21296   FilMap cfm 23875  CauFilccfil 25206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-2 12206  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ico 13265  df-xmet 21300  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-fil 23788  df-fm 23880  df-cfil 25209

This theorem is referenced by:  caucfil  25237