Theorem fmcfil 24169

Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmcfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fmcfil

Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6749	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2		fmval 22840	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))))
3	1, 2	syl3an1 1165	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))))
4	3	eleq1d 2822	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷)))
5		simp1 1138	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		simp2 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
7		simp3 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
8	1	3ad2ant1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) = ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))
10	9	fbasrn 22781	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) → ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
11	6, 7, 8, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
12		fgcfil 24168	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
13	5, 11, 12	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
14		imassrn 5940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ ran 𝐹
15		frn 6552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑌⟶𝑋 → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
16	15	3ad2ant3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
17	14, 16	sstrid 3912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑋)
18	8, 17	ssexd 5217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝐹 “ 𝑦) ∈ V)
19	18	ralrimivw 3106	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑦) ∈ V)
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))
21		raleq 3319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑦) → (∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
22	21	raleqbi1dv 3317	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑦) → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
23	20, 22	rexrnmptw 6914	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑦) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
25		simpl3 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
26	25	ffnd 6546	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝑌)
27		fbelss 22730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ⊆ 𝑌)
28	6, 27	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ⊆ 𝑌)
29		oveq1 7220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑧) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣))
30	29	breq1d 5063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑧) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
31	30	ralbidv 3118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑧) → (∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
32	31	ralima 7054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑌 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
33	26, 28, 32	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
34		oveq2 7221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑤) → ((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)))
35	34	breq1d 5063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑤) → (((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
36	35	ralima 7054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑌 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
37	26, 28, 36	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
38	37	ralbidv 3118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
39	33, 38	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
40	39	rexbidva 3215	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
41	24, 40	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
42	41	ralbidv 3118	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
43	4, 13, 42	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  dom cdm 5551  ran crn 5552   “ cima 5554   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   < clt 10867  ℝ⁺crp 12586  ∞Metcxmet 20348  fBascfbas 20351  filGencfg 20352   FilMap cfm 22830  CauFilccfil 24149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ico 12941  df-xmet 20356  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-fil 22743  df-fm 22835  df-cfil 24152

This theorem is referenced by:  caucfil  24180