MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmcfil 25306
Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmcfil ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑌,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem fmcfil
Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6943 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 fmval 23951 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
31, 2syl3an1 1164 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
43eleq1d 2826 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷)))
5 simp1 1137 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 simp2 1138 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
7 simp3 1139 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → 𝐹:𝑌𝑋)
813ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9 eqid 2737 . . . . 5 ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) = ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))
109fbasrn 23892 . . . 4 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋𝑋 ∈ dom ∞Met) → ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
116, 7, 8, 10syl3anc 1373 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
12 fgcfil 25305 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
135, 11, 12syl2anc 584 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
14 imassrn 6089 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ⊆ ran 𝐹
15 frn 6743 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌𝑋 → ran 𝐹𝑋)
16153ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ran 𝐹𝑋)
1714, 16sstrid 3995 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑋)
188, 17ssexd 5324 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ V)
1918ralrimivw 3150 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ V)
20 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))
21 raleq 3323 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐹𝑦) → (∀𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2221raleqbi1dv 3338 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐹𝑦) → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2320, 22rexrnmptw 7115 . . . . 5 (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
25 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐹:𝑌𝑋)
2625ffnd 6737 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐹 Fn 𝑌)
27 fbelss 23841 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝑌)
286, 27sylan 580 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝑌)
29 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝐹𝑧) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹𝑧)𝐷𝑣))
3029breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝐹𝑧) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
3130ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝐹𝑧) → (∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
3231ralima 7257 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝑌𝑦𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
3326, 28, 32syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
34 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝐹𝑤) → ((𝐹𝑧)𝐷𝑣) = ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)))
3534breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝐹𝑤) → (((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
3635ralima 7257 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝑌𝑦𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
3726, 28, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
3837ralbidv 3178 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑧𝑦𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
3933, 38bitrd 279 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
4039rexbidva 3177 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
4124, 40bitrd 279 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
4241ralbidv 3178 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
434, 13, 423bitrd 305 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   < clt 11295  +crp 13034  ∞Metcxmet 21349  fBascfbas 21352  filGencfg 21353   FilMap cfm 23941  CauFilccfil 25286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-xmet 21357  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-fil 23854  df-fm 23946  df-cfil 25289
This theorem is referenced by:  caucfil  25317
  Copyright terms: Public domain W3C validator