MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmcfil Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmcfil 25220
Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmcfil ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐡   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,π‘Œ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧
Proof of Theorem fmcfil
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6939 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 fmval 23867 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))))
31, 2syl3an1 1160 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))))
43eleq1d 2814 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∈ (CauFilβ€˜π·)))
5 simp1 1133 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6 simp2 1134 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
7 simp3 1135 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
813ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9 eqid 2728 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) = ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))
109fbasrn 23808 . . . 4 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
116, 7, 8, 10syl3anc 1368 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
12 fgcfil 25219 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
135, 11, 12syl2anc 582 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
14 imassrn 6079 . . . . . . . 8 (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ran 𝐹
15 frn 6734 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)
16153ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)
1714, 16sstrid 3993 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑋)
188, 17ssexd 5328 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 β€œ 𝑦) ∈ V)
1918ralrimivw 3147 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑦) ∈ V)
20 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))
21 raleq 3320 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2221raleqbi1dv 3331 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2320, 22rexrnmptw 7110 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑦) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
25 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
2625ffnd 6728 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 Fn π‘Œ)
27 fbelss 23757 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
286, 27sylan 578 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
29 oveq1 7433 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝑒𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣))
3029breq1d 5162 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯))
3130ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯))
3231ralima 7256 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn π‘Œ ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯))
3326, 28, 32syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯))
34 oveq2 7434 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)))
3534breq1d 5162 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
3635ralima 7256 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn π‘Œ ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
3726, 28, 36syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
3837ralbidv 3175 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)((πΉβ€˜π‘§)𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
3933, 38bitrd 278 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
4039rexbidva 3174 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)βˆ€π‘£ ∈ (𝐹 β€œ 𝑦)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
4124, 40bitrd 278 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
4241ralbidv 3175 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑦))βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
434, 13, 423bitrd 304 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘§)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  ran crn 5683   β€œ cima 5685   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   < clt 11286  β„+crp 13014  βˆžMetcxmet 21271  fBascfbas 21274  filGencfg 21275   FilMap cfm 23857  CauFilccfil 25200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-2 12313  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-xmet 21279  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-fil 23770  df-fm 23862  df-cfil 25203
This theorem is referenced by:  caucfil  25231
  Copyright terms: Public domain W3C validator