MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmcfil 23792
Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmcfil ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fmcfil
Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6698 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 fmval 22469 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
31, 2syl3an1 1157 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
43eleq1d 2901 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷)))
5 simp1 1130 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 simp2 1131 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
7 simp3 1132 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → 𝐹:𝑌𝑋)
813ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9 eqid 2825 . . . . 5 ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) = ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))
109fbasrn 22410 . . . 4 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋𝑋 ∈ dom ∞Met) → ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
116, 7, 8, 10syl3anc 1365 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
12 fgcfil 23791 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
135, 11, 12syl2anc 584 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
14 imassrn 5937 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ⊆ ran 𝐹
15 frn 6516 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌𝑋 → ran 𝐹𝑋)
16153ad2ant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ran 𝐹𝑋)
1714, 16sstrid 3981 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑋)
188, 17ssexd 5224 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ V)
1918ralrimivw 3187 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ V)
20 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))
21 raleq 3410 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐹𝑦) → (∀𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2221raleqbi1dv 3408 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐹𝑦) → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2320, 22rexrnmptw 6856 . . . . 5 (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
25 simpl3 1187 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐹:𝑌𝑋)
2625ffnd 6511 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐹 Fn 𝑌)
27 fbelss 22359 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝑌)
286, 27sylan 580 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝑌)
29 oveq1 7158 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝐹𝑧) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹𝑧)𝐷𝑣))
3029breq1d 5072 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝐹𝑧) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
3130ralbidv 3201 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝐹𝑧) → (∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
3231ralima 6997 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝑌𝑦𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
3326, 28, 32syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
34 oveq2 7159 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝐹𝑤) → ((𝐹𝑧)𝐷𝑣) = ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)))
3534breq1d 5072 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝐹𝑤) → (((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
3635ralima 6997 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝑌𝑦𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
3726, 28, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
3837ralbidv 3201 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑧𝑦𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
3933, 38bitrd 280 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
4039rexbidva 3300 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
4124, 40bitrd 280 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
4241ralbidv 3201 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
434, 13, 423bitrd 306 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499  wss 3939   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  ran crn 5554  cima 5556   Fn wfn 6346  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151   < clt 10667  +crp 12382  ∞Metcxmet 20448  fBascfbas 20451  filGencfg 20452   FilMap cfm 22459  CauFilccfil 23772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ico 12737  df-xmet 20456  df-fbas 20460  df-fg 20461  df-fil 22372  df-fm 22464  df-cfil 23775
This theorem is referenced by:  caucfil  23803
  Copyright terms: Public domain W3C validator