Theorem fmcfil 25179

Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmcfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑌,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem fmcfil

Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6898	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2		fmval 23837	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))))
3	1, 2	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))))
4	3	eleq1d 2814	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷)))
5		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
7		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
8	1	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) = ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))
10	9	fbasrn 23778	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met) → ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
11	6, 7, 8, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
12		fgcfil 25178	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
13	5, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋filGenran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
14		imassrn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ ran 𝐹
15		frn 6698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑌⟶𝑋 → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
17	14, 16	sstrid 3961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑋)
18	8, 17	ssexd 5282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝐹 “ 𝑦) ∈ V)
19	18	ralrimivw 3130	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑦) ∈ V)
20		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))
21		raleq 3298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑦) → (∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
22	21	raleqbi1dv 3313	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑦) → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
23	20, 22	rexrnmptw 7070	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑦) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
25		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
26	25	ffnd 6692	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝑌)
27		fbelss 23727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ⊆ 𝑌)
28	6, 27	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ⊆ 𝑌)
29		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑧) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣))
30	29	breq1d 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑧) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
31	30	ralbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑧) → (∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
32	31	ralima 7214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑌 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
33	26, 28, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
34		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑤) → ((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)))
35	34	breq1d 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑤) → (((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
36	35	ralima 7214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑌 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
37	26, 28, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
38	37	ralbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)((𝐹‘𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
39	33, 38	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
40	39	rexbidva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
41	24, 40	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
42	41	ralbidv 3157	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 “ 𝑦))∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))
43	4, 13, 42	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ran crn 5642   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   < clt 11215  ℝ⁺crp 12958  ∞Metcxmet 21256  fBascfbas 21259  filGencfg 21260   FilMap cfm 23827  CauFilccfil 25159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-2 12256  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ico 13319  df-xmet 21264  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-fil 23740  df-fm 23832  df-cfil 25162

This theorem is referenced by:  caucfil  25190