Theorem filelss 23988

Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filelss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem filelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 23984	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbelss 23969	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
3	1, 2	sylan 591	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  fBascfbas 21489  Filcfil 23981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-fbas 21498  df-fil 23982

This theorem is referenced by:  filin  23990  filtop  23991  filuni  24021  trfil2  24023  trfil3  24024  fgtr  24026  trfg  24027  ufilmax  24043  isufil2  24044  ufileu  24055  filufint  24056  cfinufil  24064  ufilen  24066  rnelfm  24089  fmfnfmlem4  24093  fmid  24096  flimclsi  24114  flimrest  24119  txflf  24142  fclsopn  24150  fclsrest  24160  flimfnfcls  24164  fclscmpi  24165  iscfil2  25404  cfil3i  25407  iscmet3lem2  25430  iscmet3  25431  cfilresi  25433  cfilres  25434  filnetlem3  36857