Theorem filelss 23842

Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filelss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem filelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 23838	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbelss 23823	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
3	1, 2	sylan 586	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  fBascfbas 21342  Filcfil 23835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-fbas 21351  df-fil 23836

This theorem is referenced by:  filin  23844  filtop  23845  filuni  23875  trfil2  23877  trfil3  23878  fgtr  23880  trfg  23881  ufilmax  23897  isufil2  23898  ufileu  23909  filufint  23910  cfinufil  23918  ufilen  23920  rnelfm  23943  fmfnfmlem4  23947  fmid  23950  flimclsi  23968  flimrest  23973  txflf  23996  fclsopn  24004  fclsrest  24014  flimfnfcls  24018  fclscmpi  24019  iscfil2  25258  cfil3i  25261  iscmet3lem2  25284  iscmet3  25285  cfilresi  25287  cfilres  25288  filnetlem3  36609