MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filelss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filelss 22376
Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filelss ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴𝑋)

Proof of Theorem filelss
StepHypRef Expression
1 filfbas 22372 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2 fbelss 22357 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴𝑋)
31, 2sylan 580 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  wss 3940  cfv 6352  fBascfbas 20449  Filcfil 22369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fv 6360  df-fbas 20458  df-fil 22370
This theorem is referenced by:  filin  22378  filtop  22379  filuni  22409  trfil2  22411  trfil3  22412  fgtr  22414  trfg  22415  ufilmax  22431  isufil2  22432  ufileu  22443  filufint  22444  cfinufil  22452  ufilen  22454  rnelfm  22477  fmfnfmlem4  22481  fmid  22484  flimclsi  22502  flimrest  22507  txflf  22530  fclsopn  22538  fclsrest  22548  flimfnfcls  22552  fclscmpi  22553  iscfil2  23784  cfil3i  23787  iscmet3lem2  23810  iscmet3  23811  cfilresi  23813  cfilres  23814  filnetlem3  33612
  Copyright terms: Public domain W3C validator