Theorem filelss 23876

Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filelss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem filelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 23872	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbelss 23857	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  fBascfbas 21370  Filcfil 23869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-fbas 21379  df-fil 23870

This theorem is referenced by:  filin  23878  filtop  23879  filuni  23909  trfil2  23911  trfil3  23912  fgtr  23914  trfg  23915  ufilmax  23931  isufil2  23932  ufileu  23943  filufint  23944  cfinufil  23952  ufilen  23954  rnelfm  23977  fmfnfmlem4  23981  fmid  23984  flimclsi  24002  flimrest  24007  txflf  24030  fclsopn  24038  fclsrest  24048  flimfnfcls  24052  fclscmpi  24053  iscfil2  25314  cfil3i  25317  iscmet3lem2  25340  iscmet3  25341  cfilresi  25343  cfilres  25344  filnetlem3  36363