Theorem filelss 23808

Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filelss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem filelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 23804	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbelss 23789	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  fBascfbas 21309  Filcfil 23801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-fbas 21318  df-fil 23802

This theorem is referenced by:  filin  23810  filtop  23811  filuni  23841  trfil2  23843  trfil3  23844  fgtr  23846  trfg  23847  ufilmax  23863  isufil2  23864  ufileu  23875  filufint  23876  cfinufil  23884  ufilen  23886  rnelfm  23909  fmfnfmlem4  23913  fmid  23916  flimclsi  23934  flimrest  23939  txflf  23962  fclsopn  23970  fclsrest  23980  flimfnfcls  23984  fclscmpi  23985  iscfil2  25234  cfil3i  25237  iscmet3lem2  25260  iscmet3  25261  cfilresi  25263  cfilres  25264  filnetlem3  36593