MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfnfmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmfnfmlem4 23980
Description: Lemma for fmfnfm 23981. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b (𝜑𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
fmfnfm.l (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
fmfnfm.f (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
fmfnfm.fm (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem4 (𝜑 → (𝑡𝐿 ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐵   𝐹,𝑠,𝑡,𝑥   𝐿,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑠,𝑡,𝑥   𝑋,𝑠,𝑡,𝑥   𝑌,𝑠,𝑡,𝑥

Proof of Theorem fmfnfmlem4
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
2 filelss 23875 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑡𝐿) → 𝑡𝑋)
32ex 412 . . . 4 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑡𝐿𝑡𝑋))
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝐿𝑡𝑋))
5 fmfnfm.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
6 mptexg 7240 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V)
7 rnexg 7924 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V)
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V)
10 unexg 7761 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V) → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V)
115, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V)
12 ssfii 9456 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
1312unssbd 4203 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
1411, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐿) → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
16 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑡)
17 imaeq2 6075 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
1817rspceeqv 3644 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝐿 ∧ (𝐹𝑡) = (𝐹𝑡)) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
1916, 18mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝑡𝐿 → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐿) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
21 elfvdm 6943 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
225, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ dom fBas)
23 cnvimass 6101 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑡) ⊆ dom 𝐹
24 fmfnfm.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
2523, 24fssdm 6755 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑡) ⊆ 𝑌)
2622, 25ssexd 5329 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑡) ∈ V)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝐹𝑡) ∈ V)
28 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))
2928elrnmpt 5971 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑡) ∈ V → ((𝐹𝑡) ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥)))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐿) → ((𝐹𝑡) ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥)))
3120, 30mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝐹𝑡) ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))
3215, 31sseldd 3995 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝐹𝑡) ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
33 ffun 6739 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑌𝑋 → Fun 𝐹)
34 ssid 4017 . . . . . . . 8 (𝐹𝑡) ⊆ (𝐹𝑡)
35 funimass2 6650 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑡) ⊆ (𝐹𝑡)) → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡)
3633, 34, 35sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐹:𝑌𝑋 → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡)
3724, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡)
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡)
39 imaeq2 6075 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐹𝑡) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝐹𝑡)))
4039sseq1d 4026 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐹𝑡) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 ↔ (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡))
4140rspcev 3621 . . . . 5 (((𝐹𝑡) ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡) → ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)
4232, 38, 41syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑡𝐿) → ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)
4342ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝐿 → ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡))
444, 43jcad 512 . 2 (𝜑 → (𝑡𝐿 → (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)))
45 elfiun 9467 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V) → (𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ↔ (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∨ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))𝑠 = (𝑧𝑤))))
465, 9, 45syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ↔ (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∨ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))𝑠 = (𝑧𝑤))))
47 fmfnfm.fm . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
485, 1, 24, 47fmfnfmlem1 23977 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
495, 1, 24, 47fmfnfmlem3 23979 . . . . . . . 8 (𝜑 → (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) = ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))
5049eleq2d 2824 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ↔ 𝑠 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))
5128elrnmpt 5971 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑠 = (𝐹𝑥)))
5251elv 3482 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑠 = (𝐹𝑥))
535, 1, 24, 47fmfnfmlem2 23978 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥𝐿 𝑠 = (𝐹𝑥) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
5452, 53biimtrid 242 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
5550, 54sylbid 240 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
5649eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ↔ 𝑤 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))
5728elrnmpt 5971 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥)))
5857elv 3482 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥))
5956, 58bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥)))
6059adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → (𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥)))
61 fbssfi 23860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑠𝐵 𝑠𝑧)
625, 61sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑠𝐵 𝑠𝑧)
631ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
641adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
6547adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑠𝐵) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
66 filtop 23878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐿)
671, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑋𝐿)
6867, 5, 243jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋))
70 ssfg 23895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
715, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
7271sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝑠 ∈ (𝑌filGen𝐵))
73 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑌filGen𝐵) = (𝑌filGen𝐵)
7473imaelfm 23974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑠 ∈ (𝑌filGen𝐵)) → (𝐹𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
7569, 72, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
7665, 75sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ 𝐿)
7776adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → (𝐹𝑠) ∈ 𝐿)
7864, 77jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐹𝑠) ∈ 𝐿))
79 filin 23877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐹𝑠) ∈ 𝐿𝑥𝐿) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
80793expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐹𝑠) ∈ 𝐿) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
8178, 80sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
83 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → 𝑡𝑋)
84 elin 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) ∧ 𝑤𝑥))
8524, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → Fun 𝐹)
86 fvelima 6973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐹𝑤 ∈ (𝐹𝑠)) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤)
8786ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Fun 𝐹 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤))
8885, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤))
8988ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤))
9085ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → Fun 𝐹)
91 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) → 𝑠𝑧)
92 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥)) → 𝑦𝑠)
93 ssel2 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑠𝑧𝑦𝑠) → 𝑦𝑧)
9491, 92, 93syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → 𝑦𝑧)
9585ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑦𝑠) → Fun 𝐹)
96 fbelss 23856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑠𝐵) → 𝑠𝑌)
975, 96sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝑠𝑌)
9824fdmd 6746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑌)
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑠𝐵) → dom 𝐹 = 𝑌)
10097, 99sseqtrrd 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝑠 ⊆ dom 𝐹)
101100adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → 𝑠 ⊆ dom 𝐹)
102101sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
103 fvimacnv 7072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑦 ∈ (𝐹𝑥)))
10495, 102, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑦 ∈ (𝐹𝑥)))
105104biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑦 ∈ (𝐹𝑥)))
106105impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑥))
107106ad2ant2rl 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑥))
10894, 107elind 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → 𝑦 ∈ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))
109 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) ⊆ (𝐹𝑥)
110 cnvimass 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐹𝑥) ⊆ dom 𝐹
111109, 110sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) ⊆ dom 𝐹
112 funfvima2 7250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) ⊆ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
113111, 112mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
11490, 108, 113sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))
115114anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))
116115expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
117 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑤𝑥))
118 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
119117, 118imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (((𝐹𝑦) ∈ 𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))) ↔ (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))))
120116, 119syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))))
121120rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → (∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤 → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))))
12289, 121syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))))
123122impd 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → ((𝑤 ∈ (𝐹𝑠) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
12484, 123biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → (𝑤 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) → 𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
125124adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → (𝑤 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) → 𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
126125ssrdv 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))
127 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡)
128126, 127sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ⊆ 𝑡)
129 filss 23876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿𝑡𝑋 ∧ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ⊆ 𝑡)) → 𝑡𝐿)
13063, 82, 83, 128, 129syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → 𝑡𝐿)
131130exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
132 ineq2 4221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (𝑧𝑤) = (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))
133132imaeq2d 6079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (𝐹 “ (𝑧𝑤)) = (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))
134133sseq1d 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 ↔ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡))
135134imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)) ↔ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
136131, 135syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) → (𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
137136rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → (∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
138137rexlimdvaa 3153 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑠𝐵 𝑠𝑧 → (∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))))
139138imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑧) → (∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
14062, 139syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → (∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
14160, 140sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → (𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
142141impr 454 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
143 imaeq2 6075 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑧𝑤) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝑧𝑤)))
144143sseq1d 4026 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑧𝑤) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 ↔ (𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡))
145144imbi1d 341 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑧𝑤) → (((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)) ↔ ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
146142, 145syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) → (𝑠 = (𝑧𝑤) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
147146rexlimdvva 3210 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))𝑠 = (𝑧𝑤) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
14848, 55, 1473jaod 1428 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∨ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))𝑠 = (𝑧𝑤)) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
14946, 148sylbid 240 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
150149rexlimdv 3150 . . 3 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
151150impcomd 411 . 2 (𝜑 → ((𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡) → 𝑡𝐿))
15244, 151impbid 212 1 (𝜑 → (𝑡𝐿 ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  Vcvv 3477  cun 3960  cin 3961  wss 3962  cmpt 5230  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cima 5691  Fun wfun 6556  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  ficfi 9447  fBascfbas 21369  filGencfg 21370  Filcfil 23868   FilMap cfm 23956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1o 8504  df-2o 8505  df-en 8984  df-fin 8987  df-fi 9448  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-fil 23869  df-fm 23961
This theorem is referenced by:  fmfnfm  23981
  Copyright terms: Public domain W3C validator