MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfnfmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmfnfmlem4 22493
Description: Lemma for fmfnfm 22494. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b (𝜑𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
fmfnfm.l (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
fmfnfm.f (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
fmfnfm.fm (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem4 (𝜑 → (𝑡𝐿 ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐵   𝐹,𝑠,𝑡,𝑥   𝐿,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑠,𝑡,𝑥   𝑋,𝑠,𝑡,𝑥   𝑌,𝑠,𝑡,𝑥

Proof of Theorem fmfnfmlem4
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
2 filelss 22388 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑡𝐿) → 𝑡𝑋)
32ex 413 . . . 4 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑡𝐿𝑡𝑋))
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝐿𝑡𝑋))
5 fmfnfm.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
6 mptexg 6975 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V)
7 rnexg 7603 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V)
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V)
10 unexg 7461 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V) → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V)
115, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V)
12 ssfii 8871 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
1312unssbd 4161 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
1411, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐿) → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
16 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑡)
17 imaeq2 5918 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
1817rspceeqv 3635 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝐿 ∧ (𝐹𝑡) = (𝐹𝑡)) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
1916, 18mpan2 687 . . . . . . . 8 (𝑡𝐿 → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
2019adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐿) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
21 elfvdm 6695 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
225, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ dom fBas)
23 cnvimass 5942 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑡) ⊆ dom 𝐹
24 fmfnfm.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
2523, 24fssdm 6523 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑡) ⊆ 𝑌)
2622, 25ssexd 5219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑡) ∈ V)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝐹𝑡) ∈ V)
28 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))
2928elrnmpt 5821 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑡) ∈ V → ((𝐹𝑡) ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥)))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐿) → ((𝐹𝑡) ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥)))
3120, 30mpbird 258 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝐹𝑡) ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))
3215, 31sseldd 3965 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝐹𝑡) ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
33 ffun 6510 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑌𝑋 → Fun 𝐹)
34 ssid 3986 . . . . . . . 8 (𝐹𝑡) ⊆ (𝐹𝑡)
35 funimass2 6430 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑡) ⊆ (𝐹𝑡)) → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡)
3633, 34, 35sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐹:𝑌𝑋 → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡)
3724, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡)
3837adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡)
39 imaeq2 5918 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐹𝑡) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝐹𝑡)))
4039sseq1d 3995 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐹𝑡) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 ↔ (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡))
4140rspcev 3620 . . . . 5 (((𝐹𝑡) ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡) → ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)
4232, 38, 41syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑡𝐿) → ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)
4342ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝐿 → ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡))
444, 43jcad 513 . 2 (𝜑 → (𝑡𝐿 → (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)))
45 elfiun 8882 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V) → (𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ↔ (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∨ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))𝑠 = (𝑧𝑤))))
465, 9, 45syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ↔ (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∨ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))𝑠 = (𝑧𝑤))))
47 fmfnfm.fm . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
485, 1, 24, 47fmfnfmlem1 22490 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
495, 1, 24, 47fmfnfmlem3 22492 . . . . . . . 8 (𝜑 → (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) = ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))
5049eleq2d 2895 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ↔ 𝑠 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))
5128elrnmpt 5821 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑠 = (𝐹𝑥)))
5251elv 3497 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑠 = (𝐹𝑥))
535, 1, 24, 47fmfnfmlem2 22491 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥𝐿 𝑠 = (𝐹𝑥) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
5452, 53syl5bi 243 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
5550, 54sylbid 241 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
5649eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ↔ 𝑤 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))
5728elrnmpt 5821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥)))
5857elv 3497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥))
5956, 58syl6bb 288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥)))
6059adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → (𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥)))
61 fbssfi 22373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑠𝐵 𝑠𝑧)
625, 61sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑠𝐵 𝑠𝑧)
631ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
641adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
6547adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑠𝐵) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
66 filtop 22391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐿)
671, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑋𝐿)
6867, 5, 243jca 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋))
70 ssfg 22408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
715, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
7271sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝑠 ∈ (𝑌filGen𝐵))
73 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑌filGen𝐵) = (𝑌filGen𝐵)
7473imaelfm 22487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑠 ∈ (𝑌filGen𝐵)) → (𝐹𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
7569, 72, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
7665, 75sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ 𝐿)
7776adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → (𝐹𝑠) ∈ 𝐿)
7864, 77jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐹𝑠) ∈ 𝐿))
79 filin 22390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐹𝑠) ∈ 𝐿𝑥𝐿) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
80793expa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐹𝑠) ∈ 𝐿) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
8178, 80sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
83 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → 𝑡𝑋)
84 elin 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) ∧ 𝑤𝑥))
8524, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → Fun 𝐹)
86 fvelima 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Fun 𝐹𝑤 ∈ (𝐹𝑠)) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤)
8786ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Fun 𝐹 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤))
8885, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤))
8988ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤))
9085ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → Fun 𝐹)
91 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) → 𝑠𝑧)
92 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥)) → 𝑦𝑠)
93 ssel2 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑠𝑧𝑦𝑠) → 𝑦𝑧)
9491, 92, 93syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → 𝑦𝑧)
9585ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑦𝑠) → Fun 𝐹)
96 fbelss 22369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑠𝐵) → 𝑠𝑌)
975, 96sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝑠𝑌)
9824fdmd 6516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑌)
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑠𝐵) → dom 𝐹 = 𝑌)
10097, 99sseqtrrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝑠 ⊆ dom 𝐹)
101100adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → 𝑠 ⊆ dom 𝐹)
102101sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
103 fvimacnv 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑦 ∈ (𝐹𝑥)))
10495, 102, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑦 ∈ (𝐹𝑥)))
105104biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑦 ∈ (𝐹𝑥)))
106105impr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑥))
107106ad2ant2rl 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑥))
10894, 107elind 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → 𝑦 ∈ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))
109 inss2 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) ⊆ (𝐹𝑥)
110 cnvimass 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐹𝑥) ⊆ dom 𝐹
111109, 110sstri 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) ⊆ dom 𝐹
112 funfvima2 6984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) ⊆ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
113111, 112mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
11490, 108, 113sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))
115114anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))
116115expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
117 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑤𝑥))
118 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
119117, 118imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (((𝐹𝑦) ∈ 𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))) ↔ (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))))
120116, 119syl5ibcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))))
121120rexlimdva 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → (∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤 → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))))
12289, 121syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))))
123122impd 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → ((𝑤 ∈ (𝐹𝑠) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
12484, 123syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → (𝑤 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) → 𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
125124adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → (𝑤 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) → 𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
126125ssrdv 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))
127 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡)
128126, 127sstrd 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ⊆ 𝑡)
129 filss 22389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿𝑡𝑋 ∧ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ⊆ 𝑡)) → 𝑡𝐿)
13063, 82, 83, 128, 129syl13anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → 𝑡𝐿)
131130exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
132 ineq2 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (𝑧𝑤) = (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))
133132imaeq2d 5922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (𝐹 “ (𝑧𝑤)) = (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))
134133sseq1d 3995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 ↔ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡))
135134imbi1d 343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)) ↔ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
136131, 135syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) → (𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
137136rexlimdva 3281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → (∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
138137rexlimdvaa 3282 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑠𝐵 𝑠𝑧 → (∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))))
139138imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑧) → (∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
14062, 139syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → (∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
14160, 140sylbid 241 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → (𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
142141impr 455 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
143 imaeq2 5918 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑧𝑤) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝑧𝑤)))
144143sseq1d 3995 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑧𝑤) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 ↔ (𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡))
145144imbi1d 343 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑧𝑤) → (((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)) ↔ ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
146142, 145syl5ibrcom 248 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) → (𝑠 = (𝑧𝑤) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
147146rexlimdvva 3291 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))𝑠 = (𝑧𝑤) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
14848, 55, 1473jaod 1420 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∨ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))𝑠 = (𝑧𝑤)) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
14946, 148sylbid 241 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
150149rexlimdv 3280 . . 3 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
151150impcomd 412 . 2 (𝜑 → ((𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡) → 𝑡𝐿))
15244, 151impbid 213 1 (𝜑 → (𝑡𝐿 ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  Vcvv 3492  cun 3931  cin 3932  wss 3933  cmpt 5137  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cima 5551  Fun wfun 6342  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  ficfi 8862  fBascfbas 20461  filGencfg 20462  Filcfil 22381   FilMap cfm 22469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501  df-fi 8863  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-fil 22382  df-fm 22474
This theorem is referenced by:  fmfnfm  22494
  Copyright terms: Public domain W3C validator