Theorem fbsspw 23780

Description: A filter base on a set is a subset of the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbsspw	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem fbsspw

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6933	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom fBas)
2		isfbas 23777	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom fBas → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
4	3	ibi 266	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)))
5	4	simpld 493	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   ∉ wnel 3035  ∀wral 3050   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4604  dom cdm 5678  ‘cfv 6549  fBascfbas 21284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-fbas 21293

This theorem is referenced by:  fbelss  23781  fbun  23788  filsspw  23799  fsubbas  23815  fgabs  23827  fmfnfm  23906  cfiluweak  24244  minveclem4a  25402  minveclem4  25404