MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbsspw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbsspw 22160
Description: A filter base on a set is a subset of the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbsspw (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem fbsspw
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6529 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom fBas)
2 isfbas 22157 . . . 4 (𝐵 ∈ dom fBas → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
43ibi 259 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
54simpld 487 1 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069  wcel 2051  wne 2962  wnel 3068  wral 3083  cin 3823  wss 3824  c0 4173  𝒫 cpw 4417  dom cdm 5404  cfv 6186  fBascfbas 20251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fv 6194  df-fbas 20260
This theorem is referenced by:  fbelss  22161  fbun  22168  filsspw  22179  fsubbas  22195  fgabs  22207  fmfnfm  22286  cfiluweak  22623  minveclem4a  23752  minveclem4  23754
  Copyright terms: Public domain W3C validator