MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbasrn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fbasrn 23379
Description: Given a filter on a domain, produce a filter on the range. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fbasrn.c 𝐢 = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))
Assertion
Ref Expression
fbasrn ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘₯)
Proof of Theorem fbasrn
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ 𝑒 𝑣 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbasrn.c . . 3 𝐢 = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))
2 simpl3 1193 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
3 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
4 fimass 6735 . . . . . . 7 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† π‘Œ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† π‘Œ)
62, 5sselpwd 5325 . . . . 5 (((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 π‘Œ)
76fmpttd 7111 . . . 4 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)):π΅βŸΆπ’« π‘Œ)
87frnd 6722 . . 3 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝒫 π‘Œ)
91, 8eqsstrid 4029 . 2 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
101a1i 11 . . . 4 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)))
11 ffun 6717 . . . . . . . 8 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ Fun 𝐹)
12113ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Fun 𝐹)
13 funimaexg 6631 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ V)
1413ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ V)
15 dmmptg 6238 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ V β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) = 𝐡)
1612, 14, 153syl 18 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) = 𝐡)
17 fbasne0 23325 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
18173ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
1916, 18eqnetrd 3008 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)
20 dm0rn0 5922 . . . . . 6 (dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) = βˆ… ↔ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) = βˆ…)
2120necon3bii 2993 . . . . 5 (dom (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ… ↔ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)
2219, 21sylib 217 . . . 4 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)
2310, 22eqnetrd 3008 . . 3 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 β‰  βˆ…)
24 fbelss 23328 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
2524ex 413 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋))
26253ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋))
27 0nelfb 23326 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝐡)
28 eleq1 2821 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ βˆ… ∈ 𝐡))
2928notbid 317 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ Β¬ βˆ… ∈ 𝐡))
3027, 29syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ = βˆ… β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡))
3130con2d 134 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ Β¬ π‘₯ = βˆ…))
32313ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ Β¬ π‘₯ = βˆ…))
3326, 32jcad 513 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ Β¬ π‘₯ = βˆ…)))
34 fdm 6723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
35343ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
3635sseq2d 4013 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ βŠ† dom 𝐹 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑋))
3736biimpar 478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ π‘₯ βŠ† dom 𝐹)
38 sseqin2 4214 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ βŠ† dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹 ∩ π‘₯) = π‘₯)
3937, 38sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (dom 𝐹 ∩ π‘₯) = π‘₯)
4039eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ ((dom 𝐹 ∩ π‘₯) = βˆ… ↔ π‘₯ = βˆ…))
4140biimpd 228 . . . . . . . . 9 (((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ ((dom 𝐹 ∩ π‘₯) = βˆ… β†’ π‘₯ = βˆ…))
4241con3d 152 . . . . . . . 8 (((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (Β¬ π‘₯ = βˆ… β†’ Β¬ (dom 𝐹 ∩ π‘₯) = βˆ…))
4342expimpd 454 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ Β¬ π‘₯ = βˆ…) β†’ Β¬ (dom 𝐹 ∩ π‘₯) = βˆ…))
44 eqcom 2739 . . . . . . . . 9 (βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯) ↔ (𝐹 β€œ π‘₯) = βˆ…)
45 imadisj 6076 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β€œ π‘₯) = βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ π‘₯) = βˆ…)
4644, 45bitri 274 . . . . . . . 8 (βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯) ↔ (dom 𝐹 ∩ π‘₯) = βˆ…)
4746notbii 319 . . . . . . 7 (Β¬ βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯) ↔ Β¬ (dom 𝐹 ∩ π‘₯) = βˆ…)
4843, 47syl6ibr 251 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ Β¬ π‘₯ = βˆ…) β†’ Β¬ βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯)))
4933, 48syld 47 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ Β¬ βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯)))
5049ralrimiv 3145 . . . 4 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯))
511eleq2i 2825 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ 𝐢 ↔ βˆ… ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)))
52 0ex 5306 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ V
53 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))
5453elrnmpt 5953 . . . . . . . 8 (βˆ… ∈ V β†’ (βˆ… ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯)))
5552, 54ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯))
5651, 55bitri 274 . . . . . 6 (βˆ… ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯))
5756notbii 319 . . . . 5 (Β¬ βˆ… ∈ 𝐢 ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯))
58 df-nel 3047 . . . . 5 (βˆ… βˆ‰ 𝐢 ↔ Β¬ βˆ… ∈ 𝐢)
59 ralnex 3072 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯) ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯))
6057, 58, 593bitr4i 302 . . . 4 (βˆ… βˆ‰ 𝐢 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ βˆ… = (𝐹 β€œ π‘₯))
6150, 60sylibr 233 . . 3 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βˆ… βˆ‰ 𝐢)
621eleq2i 2825 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ 𝐢 ↔ π‘Ÿ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)))
63 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) = (𝐹 β€œ 𝑒))
6463cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) = (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑒))
6564elrnmpt 5953 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ V β†’ (π‘Ÿ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒)))
6665elv 3480 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒))
6762, 66bitri 274 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒))
681eleq2i 2825 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝐢 ↔ 𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)))
69 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) = (𝐹 β€œ 𝑣))
7069cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) = (𝑣 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ 𝑣))
7170elrnmpt 5953 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V β†’ (𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣)))
7271elv 3480 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣))
7368, 72bitri 274 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣))
7467, 73anbi12i 627 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ 𝐢 ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣)))
75 reeanv 3226 . . . . . 6 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣)) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣)))
7674, 75bitr4i 277 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ 𝐢 ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣)))
77 fbasssin 23331 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))
78773expb 1120 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ (𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))
79783ad2antl1 1185 . . . . . . . . 9 (((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))
8079adantrr 715 . . . . . . . 8 (((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))
81 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ 𝑀)
82 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) = (𝐹 β€œ 𝑀))
8382rspceeqv 3632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ π‘₯))
8481, 83mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ π‘₯))
8584ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣))) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ π‘₯))
861eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 β€œ 𝑀) ∈ 𝐢 ↔ (𝐹 β€œ 𝑀) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)))
87 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 ∈ V
8887funimaex 6633 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) ∈ V)
8953elrnmpt 5953 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β€œ 𝑀) ∈ V β†’ ((𝐹 β€œ 𝑀) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ π‘₯)))
9012, 88, 893syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑀) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ π‘₯)))
9186, 90bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑀) ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ π‘₯)))
9291ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣))) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑀) ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 (𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ π‘₯)))
9385, 92mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣))) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))) β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) ∈ 𝐢)
94 imass2 6098 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑒 ∩ 𝑣)))
9594ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣))) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))) β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑒 ∩ 𝑣)))
96 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† 𝑒
97 imass2 6098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† 𝑒 β†’ (𝐹 β€œ (𝑒 ∩ 𝑣)) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑒))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 β€œ (𝑒 ∩ 𝑣)) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑒)
99 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† 𝑣
100 imass2 6098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† 𝑣 β†’ (𝐹 β€œ (𝑒 ∩ 𝑣)) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑣))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 β€œ (𝑒 ∩ 𝑣)) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑣)
10298, 101ssini 4230 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 β€œ (𝑒 ∩ 𝑣)) βŠ† ((𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (𝐹 β€œ 𝑣))
103 ineq12 4206 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣)) β†’ (π‘Ÿ ∩ 𝑠) = ((𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (𝐹 β€œ 𝑣)))
104103ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣))) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))) β†’ (π‘Ÿ ∩ 𝑠) = ((𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (𝐹 β€œ 𝑣)))
105102, 104sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣))) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))) β†’ (𝐹 β€œ (𝑒 ∩ 𝑣)) βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠))
10695, 105sstrd 3991 . . . . . . . . . 10 ((((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣))) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))) β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠))
107 sseq1 4006 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐹 β€œ 𝑀) β†’ (𝑧 βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠) ↔ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠)))
108107rspcev 3612 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β€œ 𝑀) ∈ 𝐢 ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧 βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠))
10993, 106, 108syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣))) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧 βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠))
110109adantlrl 718 . . . . . . . 8 ((((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣)))) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧 βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠))
11180, 110rexlimddv 3161 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧 βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠))
112111exp32 421 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧 βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠))))
113112rexlimdvv 3210 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 (π‘Ÿ = (𝐹 β€œ 𝑒) ∧ 𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧 βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠)))
11476, 113biimtrid 241 . . . 4 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐢 ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧 βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠)))
115114ralrimivv 3198 . . 3 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐢 βˆ€π‘  ∈ 𝐢 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧 βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠))
11623, 61, 1153jca 1128 . 2 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ 𝐢 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐢 βˆ€π‘  ∈ 𝐢 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧 βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠)))
117 isfbas2 23330 . . 3 (π‘Œ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ↔ (𝐢 βŠ† 𝒫 π‘Œ ∧ (𝐢 β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ 𝐢 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐢 βˆ€π‘  ∈ 𝐢 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧 βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠)))))
1181173ad2ant3 1135 . 2 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ↔ (𝐢 βŠ† 𝒫 π‘Œ ∧ (𝐢 β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ 𝐢 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐢 βˆ€π‘  ∈ 𝐢 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧 βŠ† (π‘Ÿ ∩ 𝑠)))))
1199, 116, 118mpbir2and 711 1 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ‰ wnel 3046  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  fBascfbas 20924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-fbas 20933
This theorem is referenced by:  fmfil  23439  fmss  23441  elfm  23442  fmucnd  23788  fmcfil  24780
  Copyright terms: Public domain W3C validator