Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscmet3 23900
 Description: The property "𝐷 is a complete metric" expressed in terms of functions on ℕ (or any other upper integer set). Thus, we only have to look at functions on ℕ, and not all possible Cauchy filters, to determine completeness. (The proof uses countable choice.) (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Assertion
Ref Expression
iscmet3 (𝜑 → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝐽   𝑓,𝑍   𝑓,𝑀   𝜑,𝑓

Proof of Theorem iscmet3
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.2 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21cmetcau 23896 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
32a1d 25 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
43ralrimiva 3177 . 2 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
5 iscmet3.4 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
65adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
7 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷))
8 1rp 12390 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
9 rphalfcl 12413 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ+
11 rpexpcl 13453 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
1210, 11mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
13 cfili 23875 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+) → ∃𝑡𝑔𝑢𝑡𝑣𝑡 (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
147, 12, 13syl2an 598 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ∃𝑡𝑔𝑢𝑡𝑣𝑡 (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
1514ralrimiva 3177 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∃𝑡𝑔𝑢𝑡𝑣𝑡 (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
16 vex 3483 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
17 znnen 15565 . . . . . . . . 9 ℤ ≈ ℕ
18 nnenom 13352 . . . . . . . . 9 ℕ ≈ ω
1917, 18entri 8559 . . . . . . . 8 ℤ ≈ ω
20 raleq 3396 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑠𝑘) → (∀𝑣𝑡 (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
2120raleqbi1dv 3394 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑠𝑘) → (∀𝑢𝑡𝑣𝑡 (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
2216, 19, 21axcc4 9859 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ ℤ ∃𝑡𝑔𝑢𝑡𝑣𝑡 (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → ∃𝑠(𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
2315, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑠(𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
24 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
26 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
2726uzenom 13336 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)
28 endom 8532 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ≈ ω → 𝑍 ≼ ω)
2925, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → 𝑍 ≼ ω)
30 dfin5 3927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( I ‘𝑋) ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)) = {𝑥 ∈ ( I ‘𝑋) ∣ 𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)}
31 fzn0 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀...𝑘) ≠ ∅ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3231biimpri 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑘) ≠ ∅)
3332, 26eleq2s 2934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘𝑍 → (𝑀...𝑘) ≠ ∅)
34 metxmet 22944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
355, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3635adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔) → 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷))
38 cfilfil 23874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋))
3936, 37, 38syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋))
40 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) → 𝑠:ℤ⟶𝑔)
41 elfzelz 12911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑛 ∈ ℤ)
42 ffvelrn 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠:ℤ⟶𝑔𝑛 ∈ ℤ) → (𝑠𝑛) ∈ 𝑔)
4340, 41, 42syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑠𝑛) ∈ 𝑔)
44 filelss 22460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑠𝑛) ∈ 𝑔) → (𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
4539, 43, 44syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
4645ralrimiva 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
47 r19.2z 4423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀...𝑘) ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
4833, 46, 47syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
49 iinss 4966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ 𝑋)
516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
52 elfvdm 6693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Met)
53 fvi 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ dom Met → ( I ‘𝑋) = 𝑋)
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → ( I ‘𝑋) = 𝑋)
5550, 54sseqtrrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ ( I ‘𝑋))
56 sseqin2 4177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ⊆ ( I ‘𝑋) ↔ (( I ‘𝑋) ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
5755, 56sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → (( I ‘𝑋) ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
5830, 57syl5eqr 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → {𝑥 ∈ ( I ‘𝑋) ∣ 𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)} = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
5939adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋))
6043ralrimiva 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ 𝑔)
6160adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ 𝑔)
6233adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑀...𝑘) ≠ ∅)
63 fzfid 13345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
64 iinfi 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ 𝑔 ∧ (𝑀...𝑘) ≠ ∅ ∧ (𝑀...𝑘) ∈ Fin)) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ (fi‘𝑔))
6559, 61, 62, 63, 64syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ (fi‘𝑔))
66 filfi 22467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝑔) = 𝑔)
6759, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → (fi‘𝑔) = 𝑔)
6865, 67eleqtrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ 𝑔)
69 fileln0 22458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ∈ 𝑔) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ≠ ∅)
7039, 68, 69syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ≠ ∅)
7158, 70eqnetrd 3081 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → {𝑥 ∈ ( I ‘𝑋) ∣ 𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)} ≠ ∅)
72 rabn0 4322 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑥 ∈ ( I ‘𝑋) ∣ 𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ( I ‘𝑋)𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
7371, 72sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) ∧ 𝑘𝑍) → ∃𝑥 ∈ ( I ‘𝑋)𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
7473ralrimiva 3177 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑠:ℤ⟶𝑔)) → ∀𝑘𝑍𝑥 ∈ ( I ‘𝑋)𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
7574adantrrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → ∀𝑘𝑍𝑥 ∈ ( I ‘𝑋)𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛))
76 fvex 6674 . . . . . . . . . . 11 ( I ‘𝑋) ∈ V
77 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑓𝑘) → (𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ↔ (𝑓𝑘) ∈ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)))
78 fvex 6674 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓𝑘) ∈ V
79 eliin 4910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑘) ∈ V → ((𝑓𝑘) ∈ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑘) ∈ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))
8177, 80syl6bb 290 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑓𝑘) → (𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))
8276, 81axcc4dom 9861 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ≼ ω ∧ ∀𝑘𝑍𝑥 ∈ ( I ‘𝑋)𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑠𝑛)) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))
8329, 75, 82syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))
84 df-ral 3138 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
85 19.29 1875 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑓(𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))) → ∃𝑓((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))))
8684, 85sylanb 584 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))) → ∃𝑓((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))))
8724ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
885ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
89 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋))
90 feq3 6486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( I ‘𝑋) = 𝑋 → (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ↔ 𝑓:𝑍𝑋))
9188, 52, 53, 904syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ↔ 𝑓:𝑍𝑋))
9289, 91mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑓:𝑍𝑋)
93 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
9493simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
95 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (𝑠𝑘) = (𝑠𝑖))
96 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2)↑𝑖))
9796breq2d 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ (𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
9895, 97raleqbidv 3392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑖)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
9995, 98raleqbidv 3392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑖)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑖)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
10099cbvralvw 3434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑖)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑖)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖))
10194, 100sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑖)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑖)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖))
102 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))
103 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑗 → (𝑠𝑛) = (𝑠𝑗))
104103eleq2d 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛) ↔ (𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑗)))
105104cbvralvw 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛) ↔ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑗))
106 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑖))
107 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑖))
108107eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑗) ↔ (𝑓𝑖) ∈ (𝑠𝑗)))
109106, 108raleqbidv 3392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑖)(𝑓𝑖) ∈ (𝑠𝑗)))
110105, 109syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛) ↔ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑖)(𝑓𝑖) ∈ (𝑠𝑗)))
111110cbvralvw 3434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛) ↔ ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (𝑀...𝑖)(𝑓𝑖) ∈ (𝑠𝑗))
112102, 111sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → ∀𝑖𝑍𝑗 ∈ (𝑀...𝑖)(𝑓𝑖) ∈ (𝑠𝑗))
11388, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
114 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷))
115113, 114, 38syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋))
11693simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑠:ℤ⟶𝑔)
11726, 1, 87, 88, 92, 101, 112iscmet3lem1 23898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
118 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
119117, 92, 118mp2d 49 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
12026, 1, 87, 88, 92, 101, 112, 115, 116, 119iscmet3lem2 23899 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)))) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅)
121120ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → (((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
122121exlimdv 1935 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → (∃𝑓((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
12386, 122syl5 34 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → ((∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛))) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
124123expdimp 456 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) → (∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
125124an32s 651 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → (∃𝑓(𝑓:𝑍⟶( I ‘𝑋) ∧ ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑓𝑘) ∈ (𝑠𝑛)) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
12683, 125mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ (𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅)
127126expr 460 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
128127exlimdv 1935 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (∃𝑠(𝑠:ℤ⟶𝑔 ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
12923, 128mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅)
130129ralrimiva 3177 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) → ∀𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅)
1311iscmet 23891 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑔 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑔) ≠ ∅))
1326, 130, 131sylanbrc 586 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
133132ex 416 . 2 (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)))
1344, 133impbid2 229 1 (𝜑 → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:𝑍𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  {crab 3137  Vcvv 3480   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  ∩ ciin 4906   class class class wbr 5052   I cid 5446  dom cdm 5542  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ωcom 7574   ≈ cen 8502   ≼ cdom 8503  Fincfn 8505  ficfi 8871  1c1 10536   < clt 10673   / cdiv 11295  ℕcn 11634  2c2 11689  ℤcz 11978  ℤ≥cuz 12240  ℝ+crp 12386  ...cfz 12894  ↑cexp 13434  ∞Metcxmet 20530  Metcmet 20531  MetOpencmopn 20535  ⇝𝑡clm 21834  Filcfil 22453   fLim cflim 22542  CauFilccfil 23859  Cauccau 23860  CMetccmet 23861 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ico 12741  df-fz 12895  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-rest 16696  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-ntr 21628  df-nei 21706  df-lm 21837  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-cfil 23862  df-cau 23863  df-cmet 23864 This theorem is referenced by:  iscmet2  23901  iscmet3i  23919  heibor1  35193  rrncms  35216
 Copyright terms: Public domain W3C validator