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Theorem iscmet3 25041
Description: The property "𝐷 is a complete metric" expressed in terms of functions on β„• (or any other upper integer set). Thus, we only have to look at functions on β„•, and not all possible Cauchy filters, to determine completeness. (The proof uses countable choice.) (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
iscmet3.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iscmet3.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Assertion
Ref Expression
iscmet3 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝐽   𝑓,𝑍   𝑓,𝑀   πœ‘,𝑓

Proof of Theorem iscmet3
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑛 𝑠 𝑑 𝑒 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.2 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21cmetcau 25037 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
32a1d 25 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)))
43ralrimiva 3144 . 2 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)))
5 iscmet3.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
65adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
7 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·))
8 1rp 12982 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
9 rphalfcl 13005 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ+)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ+
11 rpexpcl 14050 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
1210, 11mpan 686 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
13 cfili 25016 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑔 βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
147, 12, 13syl2an 594 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑔 βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
1514ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑔 βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
16 vex 3476 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
17 znnen 16159 . . . . . . . . 9 β„€ β‰ˆ β„•
18 nnenom 13949 . . . . . . . . 9 β„• β‰ˆ Ο‰
1917, 18entri 9006 . . . . . . . 8 β„€ β‰ˆ Ο‰
20 raleq 3320 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (π‘ β€˜π‘˜) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
2120raleqbi1dv 3331 . . . . . . . 8 (𝑑 = (π‘ β€˜π‘˜) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
2216, 19, 21axcc4 10436 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑔 βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) β†’ βˆƒπ‘ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
2315, 22syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
24 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2524ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
26 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2726uzenom 13933 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑍 β‰ˆ Ο‰)
28 endom 8977 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 β‰ˆ Ο‰ β†’ 𝑍 β‰Ό Ο‰)
2925, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ 𝑍 β‰Ό Ο‰)
30 dfin5 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( I β€˜π‘‹) ∩ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)) = {π‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹) ∣ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)}
31 fzn0 13519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀...π‘˜) β‰  βˆ… ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3231biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑀...π‘˜) β‰  βˆ…)
3332, 26eleq2s 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (𝑀...π‘˜) β‰  βˆ…)
34 metxmet 24060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
355, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
37 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”) β†’ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·))
38 cfilfil 25015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
3936, 37, 38syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
40 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)
41 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
42 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
4340, 41, 42syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)) β†’ (π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
44 filelss 23576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔) β†’ (π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
4539, 43, 44syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)) β†’ (π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
4645ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
47 r19.2z 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀...π‘˜) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
4833, 46, 47syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
49 iinss 5058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆƒπ‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋 β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
516ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
52 elfvdm 6927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom Met)
53 fvi 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ dom Met β†’ ( I β€˜π‘‹) = 𝑋)
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ( I β€˜π‘‹) = 𝑋)
5550, 54sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† ( I β€˜π‘‹))
56 sseqin2 4214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† ( I β€˜π‘‹) ↔ (( I β€˜π‘‹) ∩ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)) = ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
5755, 56sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (( I β€˜π‘‹) ∩ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)) = ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
5830, 57eqtr3id 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ {π‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹) ∣ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)} = ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
5939adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
6043ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
6233adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀...π‘˜) β‰  βˆ…)
63 fzfid 13942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀...π‘˜) ∈ Fin)
64 iinfi 9414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔 ∧ (𝑀...π‘˜) β‰  βˆ… ∧ (𝑀...π‘˜) ∈ Fin)) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ (fiβ€˜π‘”))
6559, 61, 62, 63, 64syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ (fiβ€˜π‘”))
66 filfi 23583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (fiβ€˜π‘”) = 𝑔)
6759, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (fiβ€˜π‘”) = 𝑔)
6865, 67eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
69 fileln0 23574 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) β‰  βˆ…)
7039, 68, 69syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) β‰  βˆ…)
7158, 70eqnetrd 3006 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ {π‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹) ∣ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)} β‰  βˆ…)
72 rabn0 4384 . . . . . . . . . . . . 13 ({π‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹) ∣ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
7371, 72sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
7473ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
7574adantrrr 721 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
76 fvex 6903 . . . . . . . . . . 11 ( I β€˜π‘‹) ∈ V
77 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ↔ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)))
78 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘“β€˜π‘˜) ∈ V
79 eliin 5001 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ V β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))
8177, 80bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))
8276, 81axcc4dom 10438 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))
8329, 75, 82syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))
84 df-ral 3060 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)) ↔ βˆ€π‘“(𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
85 19.29 1874 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘“(𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘“((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))))
8684, 85sylanb 579 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘“((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))))
8724ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
885ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
89 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹))
90 feq3 6699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( I β€˜π‘‹) = 𝑋 β†’ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ↔ 𝑓:π‘βŸΆπ‘‹))
9188, 52, 53, 904syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ↔ 𝑓:π‘βŸΆπ‘‹))
9289, 91mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑓:π‘βŸΆπ‘‹)
93 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
9493simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
95 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ β€˜π‘˜) = (π‘ β€˜π‘–))
96 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) = ((1 / 2)↑𝑖))
9796breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
9895, 97raleqbidv 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘–)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
9995, 98raleqbidv 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘–)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘–)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
10099cbvralvw 3232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘– ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘–)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘–)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖))
10194, 100sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘–)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘–)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖))
102 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))
103 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑗 β†’ (π‘ β€˜π‘›) = (π‘ β€˜π‘—))
104103eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›) ↔ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘—)))
105104cbvralvw 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘— ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘—))
106 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (𝑀...π‘˜) = (𝑀...𝑖))
107 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘–))
108107eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘—) ↔ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—)))
109106, 108raleqbidv 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑖)(π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—)))
110105, 109bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑖)(π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—)))
111110cbvralvw 3232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑖)(π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—))
112102, 111sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑖)(π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—))
11388, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
114 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·))
115113, 114, 38syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
11693simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)
11726, 1, 87, 88, 92, 101, 112iscmet3lem1 25039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·))
118 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
119117, 92, 118mp2d 49 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
12026, 1, 87, 88, 92, 101, 112, 115, 116, 119iscmet3lem2 25040 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…)
121120ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ (((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
122121exlimdv 1934 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ (βˆƒπ‘“((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
12386, 122syl5 34 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ ((βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
124123expdimp 451 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
125124an32s 648 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
12683, 125mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…)
127126expr 455 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
128127exlimdv 1934 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (βˆƒπ‘ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
12923, 128mpd 15 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…)
130129ralrimiva 3144 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ βˆ€π‘” ∈ (CauFilβ€˜π·)(𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…)
1311iscmet 25032 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘” ∈ (CauFilβ€˜π·)(𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
1326, 130, 131sylanbrc 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
133132ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹)))
1344, 133impbid2 225 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  βˆ€wal 1537   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆ© ciin 4997   class class class wbr 5147   I cid 5572  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939  Fincfn 8941  ficfi 9407  1c1 11113   < clt 11252   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  βˆžMetcxmet 21129  Metcmet 21130  MetOpencmopn 21134  β‡π‘‘clm 22950  Filcfil 23569   fLim cflim 23658  CauFilccfil 25000  Cauccau 25001  CMetccmet 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-ntr 22744  df-nei 22822  df-lm 22953  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005
This theorem is referenced by:  iscmet2  25042  iscmet3i  25060  heibor1  36981  rrncms  37004
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