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Theorem iscmet3 24673
Description: The property "𝐷 is a complete metric" expressed in terms of functions on β„• (or any other upper integer set). Thus, we only have to look at functions on β„•, and not all possible Cauchy filters, to determine completeness. (The proof uses countable choice.) (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
iscmet3.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iscmet3.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Assertion
Ref Expression
iscmet3 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝐽   𝑓,𝑍   𝑓,𝑀   πœ‘,𝑓

Proof of Theorem iscmet3
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑛 𝑠 𝑑 𝑒 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.2 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21cmetcau 24669 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
32a1d 25 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)))
43ralrimiva 3140 . 2 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)))
5 iscmet3.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
65adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
7 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·))
8 1rp 12924 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
9 rphalfcl 12947 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ+)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ+
11 rpexpcl 13992 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
1210, 11mpan 689 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
13 cfili 24648 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑔 βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
147, 12, 13syl2an 597 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑔 βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
1514ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑔 βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
16 vex 3448 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
17 znnen 16099 . . . . . . . . 9 β„€ β‰ˆ β„•
18 nnenom 13891 . . . . . . . . 9 β„• β‰ˆ Ο‰
1917, 18entri 8951 . . . . . . . 8 β„€ β‰ˆ Ο‰
20 raleq 3308 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (π‘ β€˜π‘˜) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
2120raleqbi1dv 3306 . . . . . . . 8 (𝑑 = (π‘ β€˜π‘˜) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
2216, 19, 21axcc4 10380 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑔 βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) β†’ βˆƒπ‘ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
2315, 22syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
24 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
26 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2726uzenom 13875 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑍 β‰ˆ Ο‰)
28 endom 8922 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 β‰ˆ Ο‰ β†’ 𝑍 β‰Ό Ο‰)
2925, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ 𝑍 β‰Ό Ο‰)
30 dfin5 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( I β€˜π‘‹) ∩ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)) = {π‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹) ∣ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)}
31 fzn0 13461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀...π‘˜) β‰  βˆ… ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3231biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑀...π‘˜) β‰  βˆ…)
3332, 26eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (𝑀...π‘˜) β‰  βˆ…)
34 metxmet 23703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
355, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
37 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”) β†’ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·))
38 cfilfil 24647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
3936, 37, 38syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
40 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)
41 elfzelz 13447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
42 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
4340, 41, 42syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)) β†’ (π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
44 filelss 23219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔) β†’ (π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
4539, 43, 44syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)) β†’ (π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
4645ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
47 r19.2z 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀...π‘˜) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
4833, 46, 47syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
49 iinss 5017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆƒπ‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋 β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
52 elfvdm 6880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom Met)
53 fvi 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ dom Met β†’ ( I β€˜π‘‹) = 𝑋)
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ( I β€˜π‘‹) = 𝑋)
5550, 54sseqtrrd 3986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† ( I β€˜π‘‹))
56 sseqin2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† ( I β€˜π‘‹) ↔ (( I β€˜π‘‹) ∩ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)) = ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
5755, 56sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (( I β€˜π‘‹) ∩ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)) = ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
5830, 57eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ {π‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹) ∣ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)} = ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
5939adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
6043ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
6233adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀...π‘˜) β‰  βˆ…)
63 fzfid 13884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀...π‘˜) ∈ Fin)
64 iinfi 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔 ∧ (𝑀...π‘˜) β‰  βˆ… ∧ (𝑀...π‘˜) ∈ Fin)) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ (fiβ€˜π‘”))
6559, 61, 62, 63, 64syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ (fiβ€˜π‘”))
66 filfi 23226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (fiβ€˜π‘”) = 𝑔)
6759, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (fiβ€˜π‘”) = 𝑔)
6865, 67eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
69 fileln0 23217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) β‰  βˆ…)
7039, 68, 69syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) β‰  βˆ…)
7158, 70eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ {π‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹) ∣ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)} β‰  βˆ…)
72 rabn0 4346 . . . . . . . . . . . . 13 ({π‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹) ∣ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
7371, 72sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
7473ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
7574adantrrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
76 fvex 6856 . . . . . . . . . . 11 ( I β€˜π‘‹) ∈ V
77 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ↔ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)))
78 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘“β€˜π‘˜) ∈ V
79 eliin 4960 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ V β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))
8177, 80bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))
8276, 81axcc4dom 10382 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))
8329, 75, 82syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))
84 df-ral 3062 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)) ↔ βˆ€π‘“(𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
85 19.29 1877 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘“(𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘“((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))))
8684, 85sylanb 582 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘“((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))))
8724ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
885ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
89 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹))
90 feq3 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( I β€˜π‘‹) = 𝑋 β†’ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ↔ 𝑓:π‘βŸΆπ‘‹))
9188, 52, 53, 904syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ↔ 𝑓:π‘βŸΆπ‘‹))
9289, 91mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑓:π‘βŸΆπ‘‹)
93 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
9493simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
95 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ β€˜π‘˜) = (π‘ β€˜π‘–))
96 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) = ((1 / 2)↑𝑖))
9796breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
9895, 97raleqbidv 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘–)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
9995, 98raleqbidv 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘–)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘–)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
10099cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘– ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘–)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘–)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖))
10194, 100sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘–)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘–)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖))
102 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))
103 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑗 β†’ (π‘ β€˜π‘›) = (π‘ β€˜π‘—))
104103eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›) ↔ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘—)))
105104cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘— ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘—))
106 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (𝑀...π‘˜) = (𝑀...𝑖))
107 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘–))
108107eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘—) ↔ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—)))
109106, 108raleqbidv 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑖)(π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—)))
110105, 109bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑖)(π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—)))
111110cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑖)(π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—))
112102, 111sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑖)(π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—))
11388, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
114 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·))
115113, 114, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
11693simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)
11726, 1, 87, 88, 92, 101, 112iscmet3lem1 24671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·))
118 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
119117, 92, 118mp2d 49 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
12026, 1, 87, 88, 92, 101, 112, 115, 116, 119iscmet3lem2 24672 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…)
121120ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ (((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
122121exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ (βˆƒπ‘“((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
12386, 122syl5 34 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ ((βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
124123expdimp 454 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
125124an32s 651 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
12683, 125mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…)
127126expr 458 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
128127exlimdv 1937 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (βˆƒπ‘ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
12923, 128mpd 15 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…)
130129ralrimiva 3140 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ βˆ€π‘” ∈ (CauFilβ€˜π·)(𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…)
1311iscmet 24664 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘” ∈ (CauFilβ€˜π·)(𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
1326, 130, 131sylanbrc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
133132ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹)))
1344, 133impbid2 225 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βˆ© ciin 4956   class class class wbr 5106   I cid 5531  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Ο‰com 7803   β‰ˆ cen 8883   β‰Ό cdom 8884  Fincfn 8886  ficfi 9351  1c1 11057   < clt 11194   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  ...cfz 13430  β†‘cexp 13973  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  MetOpencmopn 20802  β‡π‘‘clm 22593  Filcfil 23212   fLim cflim 23301  CauFilccfil 24632  Cauccau 24633  CMetccmet 24634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-lm 22596  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637
This theorem is referenced by:  iscmet2  24674  iscmet3i  24692  heibor1  36315  rrncms  36338
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