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Theorem iscmet3 25042
Description: The property "𝐷 is a complete metric" expressed in terms of functions on β„• (or any other upper integer set). Thus, we only have to look at functions on β„•, and not all possible Cauchy filters, to determine completeness. (The proof uses countable choice.) (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
iscmet3.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iscmet3.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Assertion
Ref Expression
iscmet3 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝐽   𝑓,𝑍   𝑓,𝑀   πœ‘,𝑓

Proof of Theorem iscmet3
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑛 𝑠 𝑑 𝑒 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.2 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21cmetcau 25038 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
32a1d 25 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)))
43ralrimiva 3145 . 2 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)))
5 iscmet3.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
65adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
7 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·))
8 1rp 12983 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
9 rphalfcl 13006 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ+)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ+
11 rpexpcl 14051 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
1210, 11mpan 687 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
13 cfili 25017 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑔 βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
147, 12, 13syl2an 595 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑔 βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
1514ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑔 βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
16 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
17 znnen 16160 . . . . . . . . 9 β„€ β‰ˆ β„•
18 nnenom 13950 . . . . . . . . 9 β„• β‰ˆ Ο‰
1917, 18entri 9007 . . . . . . . 8 β„€ β‰ˆ Ο‰
20 raleq 3321 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (π‘ β€˜π‘˜) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
2120raleqbi1dv 3332 . . . . . . . 8 (𝑑 = (π‘ β€˜π‘˜) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
2216, 19, 21axcc4 10437 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑔 βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 βˆ€π‘£ ∈ 𝑑 (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) β†’ βˆƒπ‘ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
2315, 22syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
24 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2524ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
26 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2726uzenom 13934 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑍 β‰ˆ Ο‰)
28 endom 8978 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 β‰ˆ Ο‰ β†’ 𝑍 β‰Ό Ο‰)
2925, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ 𝑍 β‰Ό Ο‰)
30 dfin5 3956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( I β€˜π‘‹) ∩ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)) = {π‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹) ∣ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)}
31 fzn0 13520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀...π‘˜) β‰  βˆ… ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3231biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑀...π‘˜) β‰  βˆ…)
3332, 26eleq2s 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (𝑀...π‘˜) β‰  βˆ…)
34 metxmet 24061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
355, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
37 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”) β†’ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·))
38 cfilfil 25016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
3936, 37, 38syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
40 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)
41 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
42 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
4340, 41, 42syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)) β†’ (π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
44 filelss 23577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔) β†’ (π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
4539, 43, 44syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)) β†’ (π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
4645ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
47 r19.2z 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀...π‘˜) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
4833, 46, 47syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
49 iinss 5059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆƒπ‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋 β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
516ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
52 elfvdm 6928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom Met)
53 fvi 6967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ dom Met β†’ ( I β€˜π‘‹) = 𝑋)
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ( I β€˜π‘‹) = 𝑋)
5550, 54sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† ( I β€˜π‘‹))
56 sseqin2 4215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) βŠ† ( I β€˜π‘‹) ↔ (( I β€˜π‘‹) ∩ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)) = ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
5755, 56sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (( I β€˜π‘‹) ∩ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)) = ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
5830, 57eqtr3id 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ {π‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹) ∣ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)} = ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
5939adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
6043ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
6233adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀...π‘˜) β‰  βˆ…)
63 fzfid 13943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀...π‘˜) ∈ Fin)
64 iinfi 9415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔 ∧ (𝑀...π‘˜) β‰  βˆ… ∧ (𝑀...π‘˜) ∈ Fin)) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ (fiβ€˜π‘”))
6559, 61, 62, 63, 64syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ (fiβ€˜π‘”))
66 filfi 23584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (fiβ€˜π‘”) = 𝑔)
6759, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (fiβ€˜π‘”) = 𝑔)
6865, 67eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔)
69 fileln0 23575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ∈ 𝑔) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) β‰  βˆ…)
7039, 68, 69syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) β‰  βˆ…)
7158, 70eqnetrd 3007 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ {π‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹) ∣ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)} β‰  βˆ…)
72 rabn0 4385 . . . . . . . . . . . . 13 ({π‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹) ∣ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
7371, 72sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
7473ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
7574adantrrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›))
76 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 ( I β€˜π‘‹) ∈ V
77 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ↔ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)))
78 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘“β€˜π‘˜) ∈ V
79 eliin 5002 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ V β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))
8177, 80bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))
8276, 81axcc4dom 10439 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘₯ ∈ ( I β€˜π‘‹)π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘ β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))
8329, 75, 82syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))
84 df-ral 3061 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)) ↔ βˆ€π‘“(𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
85 19.29 1875 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘“(𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘“((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))))
8684, 85sylanb 580 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘“((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))))
8724ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
885ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
89 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹))
90 feq3 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( I β€˜π‘‹) = 𝑋 β†’ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ↔ 𝑓:π‘βŸΆπ‘‹))
9188, 52, 53, 904syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ↔ 𝑓:π‘βŸΆπ‘‹))
9289, 91mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑓:π‘βŸΆπ‘‹)
93 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
9493simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
95 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ β€˜π‘˜) = (π‘ β€˜π‘–))
96 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) = ((1 / 2)↑𝑖))
9796breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ (𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
9895, 97raleqbidv 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘–)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
9995, 98raleqbidv 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘–)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘–)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖)))
10099cbvralvw 3233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ βˆ€π‘– ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘–)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘–)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖))
10194, 100sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘–)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘–)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑖))
102 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))
103 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑗 β†’ (π‘ β€˜π‘›) = (π‘ β€˜π‘—))
104103eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›) ↔ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘—)))
105104cbvralvw 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘— ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘—))
106 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (𝑀...π‘˜) = (𝑀...𝑖))
107 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘–))
108107eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘—) ↔ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—)))
109106, 108raleqbidv 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑖)(π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—)))
110105, 109bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑖)(π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—)))
111110cbvralvw 3233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑖)(π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—))
112102, 111sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑖)(π‘“β€˜π‘–) ∈ (π‘ β€˜π‘—))
11388, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
114 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·))
115113, 114, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑔 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
11693simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑠:β„€βŸΆπ‘”)
11726, 1, 87, 88, 92, 101, 112iscmet3lem1 25040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·))
118 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
119117, 92, 118mp2d 49 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
12026, 1, 87, 88, 92, 101, 112, 115, 116, 119iscmet3lem2 25041 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…)
121120ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ (((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
122121exlimdv 1935 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ (βˆƒπ‘“((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
12386, 122syl5 34 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ ((βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
124123expdimp 452 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
125124an32s 649 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆ( I β€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘ β€˜π‘›)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
12683, 125mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ (𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…)
127126expr 456 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
128127exlimdv 1935 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (βˆƒπ‘ (𝑠:β„€βŸΆπ‘” ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘ β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
12923, 128mpd 15 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) ∧ 𝑔 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…)
130129ralrimiva 3145 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ βˆ€π‘” ∈ (CauFilβ€˜π·)(𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…)
1311iscmet 25033 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘” ∈ (CauFilβ€˜π·)(𝐽 fLim 𝑔) β‰  βˆ…))
1326, 130, 131sylanbrc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
133132ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹)))
1344, 133impbid2 225 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1538   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆ© ciin 4998   class class class wbr 5148   I cid 5573  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Ο‰com 7858   β‰ˆ cen 8939   β‰Ό cdom 8940  Fincfn 8942  ficfi 9408  1c1 11114   < clt 11253   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  ...cfz 13489  β†‘cexp 14032  βˆžMetcxmet 21130  Metcmet 21131  MetOpencmopn 21135  β‡π‘‘clm 22951  Filcfil 23570   fLim cflim 23659  CauFilccfil 25001  Cauccau 25002  CMetccmet 25003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-ntr 22745  df-nei 22823  df-lm 22954  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-cfil 25004  df-cau 25005  df-cmet 25006
This theorem is referenced by:  iscmet2  25043  iscmet3i  25061  heibor1  36982  rrncms  37005
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