Theorem cfil3i 23543

Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfil3i	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥,𝐷

Proof of Theorem cfil3i

Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfili 23542	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
2	1	3adant1 1121	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
3		cfilfil 23541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
4	3	3adant3 1123	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5		fileln0 22130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
6	4, 5	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
7		r19.2z 4348	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
8	7	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
10		filelss 22132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
11	4, 10	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
12		ssrexv 3950	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝑋 → (∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
14		dfss3 3873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))
15		simpl1 1182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16	15	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17		simpll3 1205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
18	17	rpxrd 12271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20		simplr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
22	21	sselda 3884	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑦 ∈ 𝑋)
23		elbl2 22671	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
24	16, 19, 20, 22, 23	syl22anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
25	24	ralbidva 3161	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
26	14, 25	syl5bb 284	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
27	4	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
28		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑠 ∈ 𝐹)
29	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
30		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31		blssm 22699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
32	29, 30, 18, 31	syl3anc 1362	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
33		filss 22133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑠 ∈ 𝐹 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
34	33	3exp2 1345	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐹 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))))
35	27, 28, 32, 34	syl3c 66	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
36	26, 35	sylbird 261	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
37	36	reximdva 3234	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
38	9, 13, 37	3syld 60	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
39	38	rexlimdva 3244	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
40	2, 39	mpd 15	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   ∈ wcel 2079   ≠ wne 2982  ∀wral 3103  ∃wrex 3104   ⊆ wss 3854  ∅c0 4206   class class class wbr 4956  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ℝ^*cxr 10509   < clt 10510  ℝ⁺crp 12228  ∞Metcxmet 20200  ballcbl 20202  Filcfil 22125  CauFilccfil 23526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-po 5354  df-so 5355  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-2 11537  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-ico 12583  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-bl 20210  df-fbas 20212  df-fil 22126  df-cfil 23529

This theorem is referenced by:  iscfil3  23547  cfilfcls  23548  relcmpcmet  23592