MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfil3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfil3i 25210
Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐷

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 25209 . . 3 ((𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅)
213adant1 1128 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅)
3 cfilfil 25208 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
433adant3 1130 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
5 fileln0 23767 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝑠 β‰  βˆ…)
64, 5sylan 579 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝑠 β‰  βˆ…)
7 r19.2z 4495 . . . . . 6 ((𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅)
87ex 412 . . . . 5 (𝑠 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
96, 8syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
10 filelss 23769 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
114, 10sylan 579 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
12 ssrexv 4049 . . . . 5 (𝑠 βŠ† 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
14 dfss3 3968 . . . . . . 7 (𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅))
15 simpl1 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
17 simpll3 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1817rpxrd 13050 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
20 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2111adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
2221sselda 3980 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
23 elbl2 24309 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
2524ralbidva 3172 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
2614, 25bitrid 283 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
274ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
28 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑠 ∈ 𝐹)
2915adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
30 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
31 blssm 24337 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋)
3229, 30, 18, 31syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋)
33 filss 23770 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝑠 ∈ 𝐹 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹)
34333exp2 1352 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝑠 ∈ 𝐹 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋 β†’ (𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))))
3527, 28, 32, 34syl3c 66 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
3626, 35sylbird 260 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
3736reximdva 3165 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
389, 13, 373syld 60 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
3938rexlimdva 3152 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
402, 39mpd 15 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„*cxr 11278   < clt 11279  β„+crp 13007  βˆžMetcxmet 21264  ballcbl 21266  Filcfil 23762  CauFilccfil 25193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-2 12306  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13363  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274  df-fbas 21276  df-fil 23763  df-cfil 25196
This theorem is referenced by:  iscfil3  25214  cfilfcls  25215  relcmpcmet  25259
  Copyright terms: Public domain W3C validator