MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfil3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfil3i 23360
Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥,𝐷

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 23359 . . 3 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
213adant1 1160 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
3 cfilfil 23358 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
433adant3 1162 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5 fileln0 21947 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
64, 5sylan 575 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
7 r19.2z 4221 . . . . . 6 ((𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
87ex 401 . . . . 5 (𝑠 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
96, 8syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
10 filelss 21949 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠𝑋)
114, 10sylan 575 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠𝑋)
12 ssrexv 3829 . . . . 5 (𝑠𝑋 → (∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
14 dfss3 3752 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))
15 simpl1 1242 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1615ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 simpll3 1273 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1817rpxrd 12076 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
1918adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20 simplr 785 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑥𝑋)
2111adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑠𝑋)
2221sselda 3763 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑦𝑋)
23 elbl2 22488 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 867 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2524ralbidva 3132 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2614, 25syl5bb 274 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
274ad2antrr 717 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
28 simplr 785 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑠𝐹)
2915adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
30 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
31 blssm 22516 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
3229, 30, 18, 31syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
33 filss 21950 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑠𝐹 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
34333exp2 1463 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑠𝐹 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))))
3527, 28, 32, 34syl3c 66 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3626, 35sylbird 251 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3736reximdva 3163 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
389, 13, 373syld 60 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3938rexlimdva 3178 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
402, 39mpd 15 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3734  c0 4081   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6846  *cxr 10331   < clt 10332  +crp 12033  ∞Metcxmet 20018  ballcbl 20020  Filcfil 21942  CauFilccfil 23343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-2 11339  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ico 12388  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-bl 20028  df-fbas 20030  df-fil 21943  df-cfil 23346
This theorem is referenced by:  iscfil3  23364  cfilfcls  23365  relcmpcmet  23409
  Copyright terms: Public domain W3C validator