MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfil3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfil3i 25117
Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥,𝐷

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 25116 . . 3 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
213adant1 1129 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
3 cfilfil 25115 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
433adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5 fileln0 23674 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
64, 5sylan 579 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
7 r19.2z 4494 . . . . . 6 ((𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
87ex 412 . . . . 5 (𝑠 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
96, 8syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
10 filelss 23676 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠𝑋)
114, 10sylan 579 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠𝑋)
12 ssrexv 4051 . . . . 5 (𝑠𝑋 → (∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
14 dfss3 3970 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))
15 simpl1 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 simpll3 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1817rpxrd 13024 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑥𝑋)
2111adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑠𝑋)
2221sselda 3982 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑦𝑋)
23 elbl2 24216 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2524ralbidva 3174 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2614, 25bitrid 283 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
274ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
28 simplr 766 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑠𝐹)
2915adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
30 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
31 blssm 24244 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
3229, 30, 18, 31syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
33 filss 23677 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑠𝐹 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
34333exp2 1353 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑠𝐹 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))))
3527, 28, 32, 34syl3c 66 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3626, 35sylbird 260 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3736reximdva 3167 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
389, 13, 373syld 60 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3938rexlimdva 3154 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
402, 39mpd 15 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  *cxr 11254   < clt 11255  +crp 12981  ∞Metcxmet 21218  ballcbl 21220  Filcfil 23669  CauFilccfil 25100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-2 12282  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ico 13337  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-bl 21228  df-fbas 21230  df-fil 23670  df-cfil 25103
This theorem is referenced by:  iscfil3  25121  cfilfcls  25122  relcmpcmet  25166
  Copyright terms: Public domain W3C validator