Theorem cfil3i 25227

Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfil3i	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥,𝐷

Proof of Theorem cfil3i

Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfili 25226	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
3		cfilfil 25225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
4	3	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5		fileln0 23796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
6	4, 5	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
7		r19.2z 4452	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
8	7	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
10		filelss 23798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
11	4, 10	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
12		ssrexv 4003	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝑋 → (∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
14		dfss3 3922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))
15		simpl1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17		simpll3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
18	17	rpxrd 12952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
22	21	sselda 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑦 ∈ 𝑋)
23		elbl2 24336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
24	16, 19, 20, 22, 23	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
25	24	ralbidva 3157	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
26	14, 25	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
27	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
28		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑠 ∈ 𝐹)
29	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
30		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31		blssm 24364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
32	29, 30, 18, 31	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
33		filss 23799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑠 ∈ 𝐹 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
34	33	3exp2 1355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐹 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))))
35	27, 28, 32, 34	syl3c 66	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
36	26, 35	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
37	36	reximdva 3149	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
38	9, 13, 37	3syld 60	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
39	38	rexlimdva 3137	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
40	2, 39	mpd 15	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  ℝ⁺crp 12907  ∞Metcxmet 21296  ballcbl 21298  Filcfil 23791  CauFilccfil 25210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-2 12210  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ico 13269  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-bl 21306  df-fbas 21308  df-fil 23792  df-cfil 25213

This theorem is referenced by:  iscfil3  25231  cfilfcls  25232  relcmpcmet  25276