| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | cfili 25303 | . . 3
⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) →
∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) | 
| 2 | 1 | 3adant1 1130 | . 2
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) →
∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) | 
| 3 |  | cfilfil 25302 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) | 
| 4 | 3 | 3adant3 1132 | . . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) | 
| 5 |  | fileln0 23859 | . . . . . 6
⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ≠ ∅) | 
| 6 | 4, 5 | sylan 580 | . . . . 5
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ≠ ∅) | 
| 7 |  | r19.2z 4494 | . . . . . 6
⊢ ((𝑠 ≠ ∅ ∧
∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) | 
| 8 | 7 | ex 412 | . . . . 5
⊢ (𝑠 ≠ ∅ →
(∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)) | 
| 9 | 6, 8 | syl 17 | . . . 4
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)) | 
| 10 |  | filelss 23861 | . . . . . 6
⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ⊆ 𝑋) | 
| 11 | 4, 10 | sylan 580 | . . . . 5
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ⊆ 𝑋) | 
| 12 |  | ssrexv 4052 | . . . . 5
⊢ (𝑠 ⊆ 𝑋 → (∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)) | 
| 13 | 11, 12 | syl 17 | . . . 4
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)) | 
| 14 |  | dfss3 3971 | . . . . . . 7
⊢ (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) | 
| 15 |  | simpl1 1191 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) | 
| 16 | 15 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐷 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐹 ∈
(CauFil‘𝐷) ∧
𝑅 ∈
ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) | 
| 17 |  | simpll3 1214 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈
ℝ+) | 
| 18 | 17 | rpxrd 13079 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈
ℝ*) | 
| 19 | 18 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐷 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐹 ∈
(CauFil‘𝐷) ∧
𝑅 ∈
ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑅 ∈
ℝ*) | 
| 20 |  | simplr 768 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐷 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐹 ∈
(CauFil‘𝐷) ∧
𝑅 ∈
ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑋) | 
| 21 | 11 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑠 ⊆ 𝑋) | 
| 22 | 21 | sselda 3982 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐷 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐹 ∈
(CauFil‘𝐷) ∧
𝑅 ∈
ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑦 ∈ 𝑋) | 
| 23 |  | elbl2 24401 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)) | 
| 24 | 16, 19, 20, 22, 23 | syl22anc 838 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝐷 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐹 ∈
(CauFil‘𝐷) ∧
𝑅 ∈
ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)) | 
| 25 | 24 | ralbidva 3175 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)) | 
| 26 | 14, 25 | bitrid 283 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)) | 
| 27 | 4 | ad2antrr 726 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) | 
| 28 |  | simplr 768 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑠 ∈ 𝐹) | 
| 29 | 15 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) | 
| 30 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋) | 
| 31 |  | blssm 24429 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋) | 
| 32 | 29, 30, 18, 31 | syl3anc 1372 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋) | 
| 33 |  | filss 23862 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑠 ∈ 𝐹 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹) | 
| 34 | 33 | 3exp2 1354 | . . . . . . 7
⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐹 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)))) | 
| 35 | 27, 28, 32, 34 | syl3c 66 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)) | 
| 36 | 26, 35 | sylbird 260 | . . . . 5
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)) | 
| 37 | 36 | reximdva 3167 | . . . 4
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)) | 
| 38 | 9, 13, 37 | 3syld 60 | . . 3
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)) | 
| 39 | 38 | rexlimdva 3154 | . 2
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) →
(∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)) | 
| 40 | 2, 39 | mpd 15 | 1
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) →
∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹) |