MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfil3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfil3i 24656
Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐷

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 24655 . . 3 ((𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅)
213adant1 1131 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅)
3 cfilfil 24654 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
433adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
5 fileln0 23224 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝑠 β‰  βˆ…)
64, 5sylan 581 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝑠 β‰  βˆ…)
7 r19.2z 4456 . . . . . 6 ((𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅)
87ex 414 . . . . 5 (𝑠 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
96, 8syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
10 filelss 23226 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
114, 10sylan 581 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
12 ssrexv 4015 . . . . 5 (𝑠 βŠ† 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
14 dfss3 3936 . . . . . . 7 (𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅))
15 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
17 simpll3 1215 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1817rpxrd 12966 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1918adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
20 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2111adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
2221sselda 3948 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
23 elbl2 23766 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
2524ralbidva 3169 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
2614, 25bitrid 283 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
274ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
28 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑠 ∈ 𝐹)
2915adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
30 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
31 blssm 23794 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋)
3229, 30, 18, 31syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋)
33 filss 23227 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝑠 ∈ 𝐹 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹)
34333exp2 1355 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝑠 ∈ 𝐹 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋 β†’ (𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))))
3527, 28, 32, 34syl3c 66 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
3626, 35sylbird 260 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
3736reximdva 3162 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
389, 13, 373syld 60 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
3938rexlimdva 3149 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
402, 39mpd 15 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„*cxr 11196   < clt 11197  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806  Filcfil 23219  CauFilccfil 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-fbas 20816  df-fil 23220  df-cfil 24642
This theorem is referenced by:  iscfil3  24660  cfilfcls  24661  relcmpcmet  24705
  Copyright terms: Public domain W3C validator