Theorem cfil3i 24633

Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfil3i	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥,𝐷

Proof of Theorem cfil3i

Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfili 24632	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
3		cfilfil 24631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
4	3	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5		fileln0 23201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
6	4, 5	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
7		r19.2z 4452	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
8	7	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
10		filelss 23203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
11	4, 10	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
12		ssrexv 4011	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝑋 → (∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
14		dfss3 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))
15		simpl1 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17		simpll3 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
18	17	rpxrd 12958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
22	21	sselda 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑦 ∈ 𝑋)
23		elbl2 23743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
24	16, 19, 20, 22, 23	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
25	24	ralbidva 3172	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
26	14, 25	bitrid 282	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
27	4	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
28		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑠 ∈ 𝐹)
29	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
30		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31		blssm 23771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
32	29, 30, 18, 31	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
33		filss 23204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑠 ∈ 𝐹 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
34	33	3exp2 1354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐹 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))))
35	27, 28, 32, 34	syl3c 66	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
36	26, 35	sylbird 259	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
37	36	reximdva 3165	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
38	9, 13, 37	3syld 60	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
39	38	rexlimdva 3152	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
40	2, 39	mpd 15	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189  ℝ⁺crp 12915  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783  Filcfil 23196  CauFilccfil 24616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-bl 20791  df-fbas 20793  df-fil 23197  df-cfil 24619

This theorem is referenced by:  iscfil3  24637  cfilfcls  24638  relcmpcmet  24682