MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfil3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfil3i 24021
Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥,𝐷

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 24020 . . 3 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
213adant1 1131 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
3 cfilfil 24019 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
433adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5 fileln0 22601 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
64, 5sylan 583 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
7 r19.2z 4381 . . . . . 6 ((𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
87ex 416 . . . . 5 (𝑠 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
96, 8syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
10 filelss 22603 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠𝑋)
114, 10sylan 583 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠𝑋)
12 ssrexv 3944 . . . . 5 (𝑠𝑋 → (∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
14 dfss3 3865 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))
15 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1615ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 simpll3 1215 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1817rpxrd 12515 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
1918adantr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑥𝑋)
2111adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑠𝑋)
2221sselda 3877 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑦𝑋)
23 elbl2 23143 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2524ralbidva 3108 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2614, 25syl5bb 286 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
274ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
28 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑠𝐹)
2915adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
30 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
31 blssm 23171 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
3229, 30, 18, 31syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
33 filss 22604 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑠𝐹 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
34333exp2 1355 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑠𝐹 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))))
3527, 28, 32, 34syl3c 66 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3626, 35sylbird 263 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3736reximdva 3184 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
389, 13, 373syld 60 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3938rexlimdva 3194 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
402, 39mpd 15 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  wss 3843  c0 4211   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  *cxr 10752   < clt 10753  +crp 12472  ∞Metcxmet 20202  ballcbl 20204  Filcfil 22596  CauFilccfil 24004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-2 11779  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ico 12827  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-bl 20212  df-fbas 20214  df-fil 22597  df-cfil 24007
This theorem is referenced by:  iscfil3  24025  cfilfcls  24026  relcmpcmet  24070
  Copyright terms: Public domain W3C validator