Theorem cfil3i 25117

Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfil3i	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥,𝐷

Proof of Theorem cfil3i

Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfili 25116	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
2	1	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
3		cfilfil 25115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
4	3	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5		fileln0 23674	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
6	4, 5	sylan 579	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
7		r19.2z 4494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
8	7	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
10		filelss 23676	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
11	4, 10	sylan 579	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
12		ssrexv 4051	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝑋 → (∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
14		dfss3 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))
15		simpl1 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16	15	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17		simpll3 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
18	17	rpxrd 13024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
22	21	sselda 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑦 ∈ 𝑋)
23		elbl2 24216	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
24	16, 19, 20, 22, 23	syl22anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
25	24	ralbidva 3174	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
26	14, 25	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
27	4	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
28		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑠 ∈ 𝐹)
29	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
30		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31		blssm 24244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
32	29, 30, 18, 31	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
33		filss 23677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑠 ∈ 𝐹 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
34	33	3exp2 1353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐹 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))))
35	27, 28, 32, 34	syl3c 66	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
36	26, 35	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
37	36	reximdva 3167	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
38	9, 13, 37	3syld 60	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
39	38	rexlimdva 3154	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
40	2, 39	mpd 15	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255  ℝ⁺crp 12981  ∞Metcxmet 21218  ballcbl 21220  Filcfil 23669  CauFilccfil 25100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-2 12282  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ico 13337  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-bl 21228  df-fbas 21230  df-fil 23670  df-cfil 25103

This theorem is referenced by:  iscfil3  25121  cfilfcls  25122  relcmpcmet  25166