MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfil3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfil3i 25141
Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐷

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 25140 . . 3 ((𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅)
213adant1 1127 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅)
3 cfilfil 25139 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
433adant3 1129 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
5 fileln0 23698 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝑠 β‰  βˆ…)
64, 5sylan 579 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝑠 β‰  βˆ…)
7 r19.2z 4487 . . . . . 6 ((𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅)
87ex 412 . . . . 5 (𝑠 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
96, 8syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
10 filelss 23700 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
114, 10sylan 579 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
12 ssrexv 4044 . . . . 5 (𝑠 βŠ† 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
14 dfss3 3963 . . . . . . 7 (𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅))
15 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
17 simpll3 1211 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1817rpxrd 13018 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
20 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2111adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
2221sselda 3975 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
23 elbl2 24240 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
2524ralbidva 3167 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
2614, 25bitrid 283 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅))
274ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
28 simplr 766 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑠 ∈ 𝐹)
2915adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
30 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
31 blssm 24268 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋)
3229, 30, 18, 31syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋)
33 filss 23701 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝑠 ∈ 𝐹 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹)
34333exp2 1351 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝑠 ∈ 𝐹 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋 β†’ (𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))))
3527, 28, 32, 34syl3c 66 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑠 βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
3626, 35sylbird 260 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
3736reximdva 3160 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
389, 13, 373syld 60 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
3938rexlimdva 3147 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹))
402, 39mpd 15 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„*cxr 11246   < clt 11247  β„+crp 12975  βˆžMetcxmet 21219  ballcbl 21221  Filcfil 23693  CauFilccfil 25124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ico 13331  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-bl 21229  df-fbas 21231  df-fil 23694  df-cfil 25127
This theorem is referenced by:  iscfil3  25145  cfilfcls  25146  relcmpcmet  25190
  Copyright terms: Public domain W3C validator