MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfil3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfil3i 25317
Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥,𝐷

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 25316 . . 3 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
213adant1 1129 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
3 cfilfil 25315 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
433adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5 fileln0 23874 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
64, 5sylan 580 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
7 r19.2z 4501 . . . . . 6 ((𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
87ex 412 . . . . 5 (𝑠 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
96, 8syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
10 filelss 23876 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠𝑋)
114, 10sylan 580 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠𝑋)
12 ssrexv 4065 . . . . 5 (𝑠𝑋 → (∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
14 dfss3 3984 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))
15 simpl1 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1615ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 simpll3 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1817rpxrd 13076 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑥𝑋)
2111adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑠𝑋)
2221sselda 3995 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑦𝑋)
23 elbl2 24416 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 839 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2524ralbidva 3174 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2614, 25bitrid 283 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
274ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
28 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑠𝐹)
2915adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
30 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
31 blssm 24444 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
3229, 30, 18, 31syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
33 filss 23877 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑠𝐹 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
34333exp2 1353 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑠𝐹 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))))
3527, 28, 32, 34syl3c 66 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3626, 35sylbird 260 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3736reximdva 3166 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
389, 13, 373syld 60 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3938rexlimdva 3153 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
402, 39mpd 15 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  *cxr 11292   < clt 11293  +crp 13032  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369  Filcfil 23869  CauFilccfil 25300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377  df-fbas 21379  df-fil 23870  df-cfil 25303
This theorem is referenced by:  iscfil3  25321  cfilfcls  25322  relcmpcmet  25366
  Copyright terms: Public domain W3C validator