MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filsspw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filsspw 22595
Description: A filter is a subset of the power set of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filsspw (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem filsspw
StepHypRef Expression
1 filfbas 22592 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2 fbsspw 22576 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
31, 2syl 17 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2113  wss 3841  𝒫 cpw 4485  cfv 6333  fBascfbas 20198  Filcfil 22589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fv 6341  df-fbas 20207  df-fil 22590
This theorem is referenced by:  isfil2  22600  infil  22607  filunibas  22625  trfg  22635  isufil2  22652  filssufilg  22655  ssufl  22662  ufileu  22663  filufint  22664  uffixfr  22667  elflim  22715  fclsfnflim  22771  flimfnfcls  22772  metust  23304  cfilresi  24040  cmetss  24061
  Copyright terms: Public domain W3C validator