Theorem filsspw 23838

Description: A filter is a subset of the power set of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filsspw	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem filsspw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 23835	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbsspw 23819	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4532  ‘cfv 6489  fBascfbas 21339  Filcfil 23832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-fbas 21348  df-fil 23833

This theorem is referenced by:  isfil2  23843  infil  23850  filunibas  23868  trfg  23878  isufil2  23895  filssufilg  23898  ssufl  23905  ufileu  23906  filufint  23907  uffixfr  23910  elflim  23958  fclsfnflim  24014  flimfnfcls  24015  metust  24545  cfilresi  25284  cmetss  25305