Theorem filsspw 23793

Description: A filter is a subset of the power set of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filsspw	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem filsspw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 23790	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbsspw 23774	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4552  ‘cfv 6490  fBascfbas 21295  Filcfil 23787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-fbas 21304  df-fil 23788

This theorem is referenced by:  isfil2  23798  infil  23805  filunibas  23823  trfg  23833  isufil2  23850  filssufilg  23853  ssufl  23860  ufileu  23861  filufint  23862  uffixfr  23865  elflim  23913  fclsfnflim  23969  flimfnfcls  23970  metust  24500  cfilresi  25249  cmetss  25270