MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filsspw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filsspw 22431
Description: A filter is a subset of the power set of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filsspw (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem filsspw
StepHypRef Expression
1 filfbas 22428 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2 fbsspw 22412 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
31, 2syl 17 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114  wss 3909  𝒫 cpw 4511  cfv 6327  fBascfbas 20505  Filcfil 22425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fv 6335  df-fbas 20514  df-fil 22426
This theorem is referenced by:  isfil2  22436  infil  22443  filunibas  22461  trfg  22471  isufil2  22488  filssufilg  22491  ssufl  22498  ufileu  22499  filufint  22500  uffixfr  22503  elflim  22551  fclsfnflim  22607  flimfnfcls  22608  metust  23140  cfilresi  23874  cmetss  23895
  Copyright terms: Public domain W3C validator