MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filsspw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filsspw 22456
Description: A filter is a subset of the power set of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filsspw (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem filsspw
StepHypRef Expression
1 filfbas 22453 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2 fbsspw 22437 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
31, 2syl 17 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2111  wss 3881  𝒫 cpw 4497  cfv 6324  fBascfbas 20079  Filcfil 22450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-fbas 20088  df-fil 22451
This theorem is referenced by:  isfil2  22461  infil  22468  filunibas  22486  trfg  22496  isufil2  22513  filssufilg  22516  ssufl  22523  ufileu  22524  filufint  22525  uffixfr  22528  elflim  22576  fclsfnflim  22632  flimfnfcls  22633  metust  23165  cfilresi  23899  cmetss  23920
  Copyright terms: Public domain W3C validator