Theorem mat1dimmul 22516

Description: The ring multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimmul	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9020	. . . . 5 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3		mat1dim.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩)
5	3, 4	matmulr 22478	. . . . . 6 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (.r‘𝐴))
6	5	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
7	1, 2, 6	sylancr 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
9	8	oveqd 7409	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
10		mat1dim.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2761	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	2	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
13	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {𝐸} ∈ Fin)
14		opex 5430	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
16		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	16	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	15, 17	fsnd 6847	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
19		mat1dim.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
20	19	opeq1i 4833	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩
21	20	sneqi 4592	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
23		xpsng 7117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
24	23	anidms 574	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
25	22, 24	feq12d 6675	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
26	25	ad2antlr 737	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
27	18, 26	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
28	10	fvexi 6877	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
30		snex 5395	. . . . . . 7 ⊢ {𝐸} ∈ V
31	30, 30	xpex 7732	. . . . . 6 ⊢ ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
33	29, 32	elmapd 8817	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
34	27, 33	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
35		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
36	35	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
37	15, 36	fsnd 6847	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
38	19	opeq1i 4833	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑂, 𝑌⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩
39	38	sneqi 4592	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩})
41	40, 24	feq12d 6675	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
42	41	ad2antlr 737	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
43	37, 42	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
44	29, 32	elmapd 8817	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
45	43, 44	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
46	4, 10, 11, 12, 13, 13, 13, 34, 45	mamuval 22433	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))))
47		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
48	47	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐸 ∈ 𝑉)
49		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
50		ringcmn 20311	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
51	50	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
52		df-ov 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
53	21	fveq1i 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
54	52, 53	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
55	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
56	55	anim2i 626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
57	56	ancomd 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
58		fvsng 7160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
60	59	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
61	54, 60	eqtrid 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = 𝑋)
62	61, 17	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
63		df-ov 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
64	39	fveq1i 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
65	63, 64	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
66	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
67		fvsng 7160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
68	66, 67	sylan 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
69	68	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
70	65, 69	eqtrid 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = 𝑌)
71	70, 36	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
72	10, 11	ringcl 20279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵 ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
73	12, 62, 71, 72	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
74		oveq2 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸))
75		oveq1 7399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
76	74, 75	oveq12d 7410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
77	10	eqcomi 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = 𝐵
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (Base‘𝑅) = 𝐵)
79	76, 78	eleq12d 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
80	79	ralsng 4633	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
81	80	ad2antlr 737	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
82	73, 81	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅))
83	49, 51, 13, 82	gsummptcl 19990	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅))
84		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
85		oveq1 7399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘))
86	85	oveq1d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))
87	86	mpteq2dv 5193	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))
88	87	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
89		oveq2 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦) = (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
90	89	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
91	90	mpteq2dv 5193	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))
92	91	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))))
93	84, 88, 92	mposn 8077	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
94	48, 48, 83, 93	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
95	19	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
96	95	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂)
97		ringmnd 20272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
98	97	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
99	10, 76	gsumsn 19977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
100	98, 48, 73, 99	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
101	96, 100	opeq12d 4838	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩ = ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩)
102	101	sneqd 4593	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩} = {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩})
103	61, 70	oveq12d 7410	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = (𝑋(.r‘𝑅)𝑌))
104	103	opeq2d 4837	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩ = ⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩)
105	104	sneqd 4593	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩} = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})
106	94, 102, 105	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})
107	9, 46, 106	3eqtrd 2800	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453  {csn 4581  ⟨cop 4587  ⟨cotp 4589   ↦ cmpt 5180   × cxp 5643  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394   ↑_m cmap 8803  Fincfn 8923  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270   Σ_g cgsu 17452  Mndcmnd 18751  CMndccmn 19803  Ringcrg 20262   maMul cmmul 22430   Mat cmat 22447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-ur 20211  df-ring 20264  df-mamu 22431  df-mat 22448

This theorem is referenced by:  mat1dimcrng  22517