Theorem mat1dimmul 22498

Description: The ring multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimmul	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9082	. . . . 5 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3		mat1dim.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩)
5	3, 4	matmulr 22460	. . . . . 6 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (.r‘𝐴))
6	5	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
7	1, 2, 6	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
9	8	oveqd 7448	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
10		mat1dim.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
13	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {𝐸} ∈ Fin)
14		opex 5475	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
16		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	15, 17	fsnd 6892	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
19		mat1dim.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
20	19	opeq1i 4881	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩
21	20	sneqi 4642	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
23		xpsng 7159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
24	23	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
25	22, 24	feq12d 6725	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
26	25	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
27	18, 26	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
28	10	fvexi 6921	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
30		snex 5442	. . . . . . 7 ⊢ {𝐸} ∈ V
31	30, 30	xpex 7772	. . . . . 6 ⊢ ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
33	29, 32	elmapd 8879	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
34	27, 33	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
35		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
36	35	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
37	15, 36	fsnd 6892	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
38	19	opeq1i 4881	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑂, 𝑌⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩
39	38	sneqi 4642	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩})
41	40, 24	feq12d 6725	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
42	41	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
43	37, 42	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
44	29, 32	elmapd 8879	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
45	43, 44	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
46	4, 10, 11, 12, 13, 13, 13, 34, 45	mamuval 22413	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))))
47		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐸 ∈ 𝑉)
49		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
50		ringcmn 20296	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
51	50	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
52		df-ov 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
53	21	fveq1i 6908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
54	52, 53	eqtri 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
55	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
56	55	anim2i 617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
57	56	ancomd 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
58		fvsng 7200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
61	54, 60	eqtrid 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = 𝑋)
62	61, 17	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
63		df-ov 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
64	39	fveq1i 6908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
65	63, 64	eqtri 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
66	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
67		fvsng 7200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
68	66, 67	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
70	65, 69	eqtrid 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = 𝑌)
71	70, 36	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
72	10, 11	ringcl 20268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵 ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
73	12, 62, 71, 72	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
74		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸))
75		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
76	74, 75	oveq12d 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
77	10	eqcomi 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = 𝐵
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (Base‘𝑅) = 𝐵)
79	76, 78	eleq12d 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
80	79	ralsng 4680	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
81	80	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
82	73, 81	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅))
83	49, 51, 13, 82	gsummptcl 20000	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅))
84		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
85		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘))
86	85	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))
87	86	mpteq2dv 5250	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))
88	87	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
89		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦) = (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
90	89	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
91	90	mpteq2dv 5250	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))
92	91	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))))
93	84, 88, 92	mposn 8127	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
94	48, 48, 83, 93	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
95	19	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
96	95	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂)
97		ringmnd 20261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
98	97	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
99	10, 76	gsumsn 19987	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
100	98, 48, 73, 99	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
101	96, 100	opeq12d 4886	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩ = ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩)
102	101	sneqd 4643	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩} = {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩})
103	61, 70	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = (𝑋(.r‘𝑅)𝑌))
104	103	opeq2d 4885	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩ = ⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩)
105	104	sneqd 4643	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩} = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})
106	94, 102, 105	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})
107	9, 46, 106	3eqtrd 2779	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478  {csn 4631  ⟨cop 4637  ⟨cotp 4639   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299   Σ_g cgsu 17487  Mndcmnd 18760  CMndccmn 19813  Ringcrg 20251   maMul cmmul 22410   Mat cmat 22427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-mamu 22411  df-mat 22428

This theorem is referenced by:  mat1dimcrng  22499