Theorem mat1dimmul 22704

Description: The ring multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimmul	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9054	. . . . 5 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3		mat1dim.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩)
5	3, 4	matmulr 22666	. . . . . 6 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (.r‘𝐴))
6	5	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
7	1, 2, 6	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
9	8	oveqd 7434	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
10		mat1dim.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	2	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
13	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {𝐸} ∈ Fin)
14		opex 5443	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
16		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	15, 17	fsnd 6866	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
19		mat1dim.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
20	19	opeq1i 4839	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩
21	20	sneqi 4598	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
23		xpsng 7137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
24	23	anidms 577	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
25	22, 24	feq12d 6694	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
26	25	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
27	18, 26	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
28	10	fvexi 6896	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
30		snex 5408	. . . . . . 7 ⊢ {𝐸} ∈ V
31	30, 30	xpex 7756	. . . . . 6 ⊢ ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
33	29, 32	elmapd 8843	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
34	27, 33	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
35		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
36	35	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
37	15, 36	fsnd 6866	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
38	19	opeq1i 4839	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑂, 𝑌⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩
39	38	sneqi 4598	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩})
41	40, 24	feq12d 6694	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
42	41	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
43	37, 42	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
44	29, 32	elmapd 8843	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
45	43, 44	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
46	4, 10, 11, 12, 13, 13, 13, 34, 45	mamuval 22621	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))))
47		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
48	47	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐸 ∈ 𝑉)
49		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
50		ringcmn 20429	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
51	50	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
52		df-ov 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
53	21	fveq1i 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
54	52, 53	eqtri 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
55	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
56	55	anim2i 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
57	56	ancomd 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
58		fvsng 7182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
60	59	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
61	54, 60	eqtrid 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = 𝑋)
62	61, 17	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
63		df-ov 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
64	39	fveq1i 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
65	63, 64	eqtri 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
66	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
67		fvsng 7182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
68	66, 67	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
69	68	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
70	65, 69	eqtrid 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = 𝑌)
71	70, 36	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
72	10, 11	ringcl 20395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵 ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
73	12, 62, 71, 72	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
74		oveq2 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸))
75		oveq1 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
76	74, 75	oveq12d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
77	10	eqcomi 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = 𝐵
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (Base‘𝑅) = 𝐵)
79	76, 78	eleq12d 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
80	79	ralsng 4639	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
81	80	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
82	73, 81	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅))
83	49, 51, 13, 82	gsummptcl 20100	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅))
84		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
85		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘))
86	85	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))
87	86	mpteq2dv 5203	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))
88	87	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
89		oveq2 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦) = (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
90	89	oveq2d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
91	90	mpteq2dv 5203	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))
92	91	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))))
93	84, 88, 92	mposn 8104	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
94	48, 48, 83, 93	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
95	19	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
96	95	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂)
97		ringmnd 20388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
98	97	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
99	10, 76	gsumsn 20087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
100	98, 48, 73, 99	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
101	96, 100	opeq12d 4844	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩ = ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩)
102	101	sneqd 4599	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩} = {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩})
103	61, 70	oveq12d 7435	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = (𝑋(.r‘𝑅)𝑌))
104	103	opeq2d 4843	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩ = ⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩)
105	104	sneqd 4599	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩} = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})
106	94, 102, 105	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})
107	9, 46, 106	3eqtrd 2801	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453  {csn 4587  ⟨cop 4593  ⟨cotp 4595   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349   Σ_g cgsu 17531  Mndcmnd 18842  CMndccmn 19913  Ringcrg 20378   maMul cmmul 22618   Mat cmat 22635

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-ur 20327  df-ring 20380  df-mamu 22619  df-mat 22636

This theorem is used by:  mat1dimcrng  22705