MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimmul 21061
Description: The ring multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimmul (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 8572 . . . . 5 {𝐸} ∈ Fin
2 simpl 485 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3 mat1dim.a . . . . . . 7 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4 eqid 2820 . . . . . . 7 (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩)
53, 4matmulr 21023 . . . . . 6 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (.r𝐴))
65eqcomd 2826 . . . . 5 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
71, 2, 6sylancr 589 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
87adantr 483 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
98oveqd 7150 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
10 mat1dim.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
11 eqid 2820 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
122adantr 483 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
131a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {𝐸} ∈ Fin)
14 opex 5332 . . . . . . 7 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
1514a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
16 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
1716adantl 484 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
1815, 17fsnd 6633 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
19 mat1dim.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
2019opeq1i 4782 . . . . . . . . 9 𝑂, 𝑋⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋
2120sneqi 4554 . . . . . . . 8 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
23 xpsng 6877 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2423anidms 569 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2522, 24feq12d 6478 . . . . . 6 (𝐸𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
2625ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
2718, 26mpbird 259 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
2810fvexi 6660 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2928a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
30 snex 5308 . . . . . . 7 {𝐸} ∈ V
3130, 30xpex 7454 . . . . . 6 ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V
3231a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
3329, 32elmapd 8398 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
3427, 33mpbird 259 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵m ({𝐸} × {𝐸})))
35 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
3635adantl 484 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
3715, 36fsnd 6633 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
3819opeq1i 4782 . . . . . . . . 9 𝑂, 𝑌⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌
3938sneqi 4554 . . . . . . . 8 {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩})
4140, 24feq12d 6478 . . . . . 6 (𝐸𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
4241ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
4337, 42mpbird 259 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
4429, 32elmapd 8398 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
4543, 44mpbird 259 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵m ({𝐸} × {𝐸})))
464, 10, 11, 12, 13, 13, 13, 34, 45mamuval 20973 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))))
47 simpr 487 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
4847adantr 483 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐸𝑉)
49 eqid 2820 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
50 ringcmn 19310 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5150ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
52 df-ov 7136 . . . . . . . . . 10 (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
5321fveq1i 6647 . . . . . . . . . 10 ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
5452, 53eqtri 2843 . . . . . . . . 9 (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
5514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
5655anim2i 618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
5756ancomd 464 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵))
58 fvsng 6918 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
6059adantl 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
6154, 60syl5eq 2867 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = 𝑋)
6261, 17eqeltrd 2911 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
63 df-ov 7136 . . . . . . . . . 10 (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
6439fveq1i 6647 . . . . . . . . . 10 ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
6563, 64eqtri 2843 . . . . . . . . 9 (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
6614a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
67 fvsng 6918 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
6866, 67sylan 582 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
6968adantl 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
7065, 69syl5eq 2867 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = 𝑌)
7170, 36eqeltrd 2911 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
7210, 11ringcl 19290 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵 ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
7312, 62, 71, 72syl3anc 1367 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
74 oveq2 7141 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐸 → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸))
75 oveq1 7140 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
7674, 75oveq12d 7151 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
7710eqcomi 2829 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = 𝐵
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐸 → (Base‘𝑅) = 𝐵)
7976, 78eleq12d 2905 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐸 → (((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
8079ralsng 4589 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
8180ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
8273, 81mpbird 259 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅))
8349, 51, 13, 82gsummptcl 19066 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅))
84 eqid 2820 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
85 oveq1 7140 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐸 → (𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘))
8685oveq1d 7148 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))
8786mpteq2dv 5138 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))
8887oveq2d 7149 . . . . 5 (𝑥 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
89 oveq2 7141 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦) = (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
9089oveq2d 7149 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
9190mpteq2dv 5138 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))
9291oveq2d 7149 . . . . 5 (𝑦 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))))
9384, 88, 92mposn 7776 . . . 4 ((𝐸𝑉𝐸𝑉 ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
9448, 48, 83, 93syl3anc 1367 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
9519eqcomi 2829 . . . . . 6 𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
9695a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂)
97 ringmnd 19285 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
9897ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
9910, 76gsumsn 19053 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐸𝑉 ∧ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
10098, 48, 73, 99syl3anc 1367 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
10196, 100opeq12d 4787 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩ = ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩)
102101sneqd 4555 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩} = {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩})
10361, 70oveq12d 7151 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = (𝑋(.r𝑅)𝑌))
104103opeq2d 4786 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩ = ⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩)
105104sneqd 4555 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩} = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
10694, 102, 1053eqtrd 2859 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
1079, 46, 1063eqtrd 2859 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  Vcvv 3473  {csn 4543  cop 4549  cotp 4551  cmpt 5122   × cxp 5529  wf 6327  cfv 6331  (class class class)co 7133  cmpo 7135  m cmap 8384  Fincfn 8487  Basecbs 16462  .rcmulr 16545   Σg cgsu 16693  Mndcmnd 17890  CMndccmn 18885  Ringcrg 19276   maMul cmmul 20970   Mat cmat 20992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-ot 4552  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-seq 13354  df-hash 13676  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-mamu 20971  df-mat 20993
This theorem is referenced by:  mat1dimcrng  21062
  Copyright terms: Public domain W3C validator