Theorem mat1dimmul 22420

Description: The ring multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimmul	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8980	. . . . 5 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3		mat1dim.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩)
5	3, 4	matmulr 22382	. . . . . 6 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (.r‘𝐴))
6	5	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
7	1, 2, 6	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
9	8	oveqd 7375	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
10		mat1dim.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
13	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {𝐸} ∈ Fin)
14		opex 5412	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
16		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	15, 17	fsnd 6818	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
19		mat1dim.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
20	19	opeq1i 4832	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑂, 𝑋⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩
21	20	sneqi 4591	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
23		xpsng 7084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
24	23	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
25	22, 24	feq12d 6650	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
26	25	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
27	18, 26	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
28	10	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
30		snex 5381	. . . . . . 7 ⊢ {𝐸} ∈ V
31	30, 30	xpex 7698	. . . . . 6 ⊢ ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
33	29, 32	elmapd 8777	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
34	27, 33	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
35		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
36	35	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
37	15, 36	fsnd 6818	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
38	19	opeq1i 4832	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑂, 𝑌⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩
39	38	sneqi 4591	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩})
41	40, 24	feq12d 6650	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
42	41	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
43	37, 42	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
44	29, 32	elmapd 8777	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
45	43, 44	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
46	4, 10, 11, 12, 13, 13, 13, 34, 45	mamuval 22337	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))))
47		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐸 ∈ 𝑉)
49		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
50		ringcmn 20217	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
51	50	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
52		df-ov 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
53	21	fveq1i 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
54	52, 53	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
55	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
56	55	anim2i 617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
57	56	ancomd 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
58		fvsng 7126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
61	54, 60	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = 𝑋)
62	61, 17	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
63		df-ov 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
64	39	fveq1i 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
65	63, 64	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
66	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
67		fvsng 7126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
68	66, 67	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
70	65, 69	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = 𝑌)
71	70, 36	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
72	10, 11	ringcl 20185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵 ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
73	12, 62, 71, 72	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
74		oveq2 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸))
75		oveq1 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
76	74, 75	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
77	10	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = 𝐵
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (Base‘𝑅) = 𝐵)
79	76, 78	eleq12d 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐸 → (((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
80	79	ralsng 4632	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
81	80	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
82	73, 81	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅))
83	49, 51, 13, 82	gsummptcl 19896	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅))
84		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
85		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘))
86	85	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))
87	86	mpteq2dv 5192	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))
88	87	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
89		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦) = (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
90	89	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
91	90	mpteq2dv 5192	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))
92	91	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))))
93	84, 88, 92	mposn 8045	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
94	48, 48, 83, 93	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
95	19	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
96	95	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂)
97		ringmnd 20178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
98	97	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
99	10, 76	gsumsn 19883	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
100	98, 48, 73, 99	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
101	96, 100	opeq12d 4837	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩ = ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩)
102	101	sneqd 4592	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩} = {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩})
103	61, 70	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = (𝑋(.r‘𝑅)𝑌))
104	103	opeq2d 4836	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩ = ⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩)
105	104	sneqd 4592	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩} = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})
106	94, 102, 105	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})
107	9, 46, 106	3eqtrd 2775	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440  {csn 4580  ⟨cop 4586  ⟨cotp 4588   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178   Σ_g cgsu 17360  Mndcmnd 18659  CMndccmn 19709  Ringcrg 20168   maMul cmmul 22334   Mat cmat 22351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-mamu 22335  df-mat 22352

This theorem is referenced by:  mat1dimcrng  22421