Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprsuc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem reprsuc 33658
Description: Express the representations recursively. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
reprval.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
reprval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
reprsuc.f 𝐹 = (𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏)) ↦ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}))
Assertion
Ref Expression
reprsuc (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜(𝑆 + 1))𝑀) = βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ran 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝑀,𝑏,𝑐   𝑆,𝑏,𝑐   πœ‘,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑏,𝑐)
Proof of Theorem reprsuc
Dummy variables π‘Ž 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprval.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
2 reprval.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 reprval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
4 1nn0 12488 . . . . 5 1 ∈ β„•0
54a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
63, 5nn0addcld 12536 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 + 1) ∈ β„•0)
71, 2, 6reprval 33653 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜(𝑆 + 1))𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
8 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))))
9 elmapi 8843 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) β†’ 𝑒:(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝑒:(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴)
113ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
12 fzonn0p1 13709 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ 𝑆 ∈ (0..^(𝑆 + 1)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝑆 ∈ (0..^(𝑆 + 1)))
1410, 13ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ (π‘’β€˜π‘†) ∈ 𝐴)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) ∧ 𝑏 = (π‘’β€˜π‘†)) β†’ 𝑏 = (π‘’β€˜π‘†))
1615oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) ∧ 𝑏 = (π‘’β€˜π‘†)) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑏) = (𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†)))
1716oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) ∧ 𝑏 = (π‘’β€˜π‘†)) β†’ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏)) = (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†))))
18 opeq2 4875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (π‘’β€˜π‘†) β†’ βŸ¨π‘†, π‘βŸ© = βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩)
1918sneqd 4641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (π‘’β€˜π‘†) β†’ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©} = {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩})
2019uneq2d 4164 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (π‘’β€˜π‘†) β†’ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}) = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩}))
2120eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (π‘’β€˜π‘†) β†’ (𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}) ↔ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩})))
2221adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) ∧ 𝑏 = (π‘’β€˜π‘†)) β†’ (𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}) ↔ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩})))
2317, 22rexeqbidv 3344 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) ∧ 𝑏 = (π‘’β€˜π‘†)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†)))𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩})))
249adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ 𝑒:(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴)
253adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
26 fzossfzop1 13710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ (0..^𝑆) βŠ† (0..^(𝑆 + 1)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ (0..^𝑆) βŠ† (0..^(𝑆 + 1)))
2824, 27fssresd 6759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)):(0..^𝑆)⟢𝐴)
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)):(0..^𝑆)⟢𝐴)
30 nnex 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„• ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
3231, 1ssexd 5325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
33 fzofi 13939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^𝑆) ∈ Fin
3433elexi 3494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^𝑆) ∈ V
35 elmapg 8833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) β†’ ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)):(0..^𝑆)⟢𝐴))
3632, 34, 35sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)):(0..^𝑆)⟢𝐴))
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)):(0..^𝑆)⟢𝐴))
3829, 37mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
3933a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ (0..^𝑆) ∈ Fin)
40 nnsscn 12217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„• βŠ† β„‚
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ β„• βŠ† β„‚)
421, 41sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4428ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) ∈ 𝐴)
4543, 44sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
4639, 45fsumcl 15679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
4746adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
4842adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4925, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ 𝑆 ∈ (0..^(𝑆 + 1)))
5024, 49ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ (π‘’β€˜π‘†) ∈ 𝐴)
5148, 50sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ (π‘’β€˜π‘†) ∈ β„‚)
5251adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ (π‘’β€˜π‘†) ∈ β„‚)
5347, 52pncand 11572 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ ((Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) + (π‘’β€˜π‘†)) βˆ’ (π‘’β€˜π‘†)) = Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž))
54 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘Ž(πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))))
55 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘Ž(π‘’β€˜π‘†)
56 fzonel 13646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Β¬ 𝑆 ∈ (0..^𝑆)
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑆 ∈ (0..^𝑆))
5824adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝑒:(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴)
5927sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1)))
6058, 59ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (π‘’β€˜π‘Ž) ∈ 𝐴)
6143, 60sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (π‘’β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
62 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = 𝑆 β†’ (π‘’β€˜π‘Ž) = (π‘’β€˜π‘†))
6354, 55, 39, 25, 57, 61, 62, 51fsumsplitsn 15690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ ((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆})(π‘’β€˜π‘Ž) = (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘’β€˜π‘Ž) + (π‘’β€˜π‘†)))
64 fzosplitsn 13740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^(𝑆 + 1)) = ((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆}))
65 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6664, 65eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ (0..^(𝑆 + 1)) = ((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆}))
6725, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ (0..^(𝑆 + 1)) = ((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆}))
6867sumeq1d 15647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ ((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆})(π‘’β€˜π‘Ž))
69 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ π‘Ž ∈ (0..^𝑆))
7069fvresd 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) = (π‘’β€˜π‘Ž))
7170sumeq2dv 15649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘’β€˜π‘Ž))
7271oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) + (π‘’β€˜π‘†)) = (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘’β€˜π‘Ž) + (π‘’β€˜π‘†)))
7363, 68, 723eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) + (π‘’β€˜π‘†)))
7473adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) + (π‘’β€˜π‘†)))
75 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀)
7674, 75eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) + (π‘’β€˜π‘†)) = 𝑀)
7776oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ ((Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) + (π‘’β€˜π‘†)) βˆ’ (π‘’β€˜π‘†)) = (𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†)))
7853, 77eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) = (𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†)))
7938, 78jca 513 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) = (𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†))))
80 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) β†’ (π‘‘β€˜π‘Ž) = ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž))
8180sumeq2sdv 15650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž))
8281eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = (𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†)) ↔ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) = (𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†))))
8382elrab 3684 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) ∈ {𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = (𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†))} ↔ ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))β€˜π‘Ž) = (𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†))))
8479, 83sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) ∈ {𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = (𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†))})
851ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
862ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
87 nnssz 12580 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„• βŠ† β„€
881, 87sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„€)
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝐴 βŠ† β„€)
9089, 14sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ (π‘’β€˜π‘†) ∈ β„€)
9186, 90zsubcld 12671 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ (𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†)) ∈ β„€)
9285, 91, 11reprval 33653 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†))) = {𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = (𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†))})
9384, 92eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†))))
94 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) ∧ 𝑐 = (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))) β†’ 𝑐 = (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)))
9594uneq1d 4163 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) ∧ 𝑐 = (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))) β†’ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩}) = ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩}))
9695eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) ∧ 𝑐 = (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆))) β†’ (𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩}) ↔ 𝑒 = ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩})))
9710ffnd 6719 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝑒 Fn (0..^(𝑆 + 1)))
98 fnsnsplit 7182 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 Fn (0..^(𝑆 + 1)) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(𝑆 + 1))) β†’ 𝑒 = ((𝑒 β†Ύ ((0..^(𝑆 + 1)) βˆ– {𝑆})) βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩}))
9997, 13, 98syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝑒 = ((𝑒 β†Ύ ((0..^(𝑆 + 1)) βˆ– {𝑆})) βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩}))
10011, 65eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝑆 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
101 fzodif2 32034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ ((0..^(𝑆 + 1)) βˆ– {𝑆}) = (0..^𝑆))
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ ((0..^(𝑆 + 1)) βˆ– {𝑆}) = (0..^𝑆))
103102reseq2d 5982 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ (𝑒 β†Ύ ((0..^(𝑆 + 1)) βˆ– {𝑆})) = (𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)))
104103uneq1d 4163 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ ((𝑒 β†Ύ ((0..^(𝑆 + 1)) βˆ– {𝑆})) βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩}) = ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩}))
10599, 104eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝑒 = ((𝑒 β†Ύ (0..^𝑆)) βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩}))
10693, 96, 105rspcedvd 3615 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ (π‘’β€˜π‘†)))𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, (π‘’β€˜π‘†)⟩}))
10714, 23, 106rspcedvd 3615 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1)))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}))
108107anasss 468 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}))
109 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}))
1101adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
111110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
1122adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
11388sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
114112, 113zsubcld 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑏) ∈ β„€)
115114adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑏) ∈ β„€)
1163adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
117116adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
118 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏)))
119111, 115, 117, 118reprf 33655 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ 𝑐:(0..^𝑆)⟢𝐴)
120 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
121117, 120fsnd 6877 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}:{𝑆}⟢𝐴)
122 fzodisjsn 13670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0..^𝑆) ∩ {𝑆}) = βˆ…
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ ((0..^𝑆) ∩ {𝑆}) = βˆ…)
124119, 121, 123fun2d 6756 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}):((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆})⟢𝐴)
125117, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ (0..^(𝑆 + 1)) = ((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆}))
126125feq2d 6704 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}):(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴 ↔ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}):((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆})⟢𝐴))
127124, 126mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}):(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴)
128 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^(𝑆 + 1)) ∈ V
129 elmapg 8833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^(𝑆 + 1)) ∈ V) β†’ ((𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}) ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ↔ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}):(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴))
13032, 128, 129sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}) ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ↔ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}):(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴))
131130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ ((𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}) ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ↔ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}):(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴))
132127, 131mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}) ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))))
133132adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}) ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))))
134109, 133eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))))
135125adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (0..^(𝑆 + 1)) = ((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆}))
136135sumeq1d 15647 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ ((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆})(π‘’β€˜π‘Ž))
137 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘Ž(((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}))
13833a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (0..^𝑆) ∈ Fin)
139117adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
14056a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ Β¬ 𝑆 ∈ (0..^𝑆))
14142ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
142127adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}):(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴)
143109feq1d 6703 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (𝑒:(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴 ↔ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}):(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴))
144142, 143mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝑒:(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴)
145144adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝑒:(0..^(𝑆 + 1))⟢𝐴)
146 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ π‘Ž ∈ (0..^𝑆))
147 elun1 4177 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ (0..^𝑆) β†’ π‘Ž ∈ ((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆}))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ π‘Ž ∈ ((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆}))
149125ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (0..^(𝑆 + 1)) = ((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆}))
150148, 149eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1)))
151145, 150ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (π‘’β€˜π‘Ž) ∈ 𝐴)
152141, 151sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (π‘’β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
15342ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
154139, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝑆 ∈ (0..^(𝑆 + 1)))
155144, 154ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (π‘’β€˜π‘†) ∈ 𝐴)
156153, 155sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (π‘’β€˜π‘†) ∈ β„‚)
157137, 55, 138, 139, 140, 152, 62, 156fsumsplitsn 15690 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ ((0..^𝑆) βˆͺ {𝑆})(π‘’β€˜π‘Ž) = (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘’β€˜π‘Ž) + (π‘’β€˜π‘†)))
158 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}))
159158fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (π‘’β€˜π‘Ž) = ((𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})β€˜π‘Ž))
160119ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ 𝑐 Fn (0..^𝑆))
161160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝑐 Fn (0..^𝑆))
162121ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) β†’ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©} Fn {𝑆})
163162ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©} Fn {𝑆})
164122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ ((0..^𝑆) ∩ {𝑆}) = βˆ…)
165 fvun1 6983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©} Fn {𝑆} ∧ (((0..^𝑆) ∩ {𝑆}) = βˆ… ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆))) β†’ ((𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜π‘Ž))
166161, 163, 164, 146, 165syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ ((𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜π‘Ž))
167159, 166eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (π‘’β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜π‘Ž))
168167ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘’β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜π‘Ž))
169168sumeq2d 15648 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘’β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž))
170111adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
171115adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑏) ∈ β„€)
172118adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏)))
173170, 171, 139, 172reprsum 33656 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = (𝑀 βˆ’ 𝑏))
174169, 173eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘’β€˜π‘Ž) = (𝑀 βˆ’ 𝑏))
175109fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (π‘’β€˜π‘†) = ((𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})β€˜π‘†))
176160adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝑐 Fn (0..^𝑆))
177162adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©} Fn {𝑆})
178122a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ ((0..^𝑆) ∩ {𝑆}) = βˆ…)
179 snidg 4663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ 𝑆 ∈ {𝑆})
180139, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝑆 ∈ {𝑆})
181 fvun2 6984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn (0..^𝑆) ∧ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©} Fn {𝑆} ∧ (((0..^𝑆) ∩ {𝑆}) = βˆ… ∧ 𝑆 ∈ {𝑆})) β†’ ((𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})β€˜π‘†) = ({βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}β€˜π‘†))
182176, 177, 178, 180, 181syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ ((𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})β€˜π‘†) = ({βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}β€˜π‘†))
183120adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
184 fvsng 7178 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ({βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}β€˜π‘†) = 𝑏)
185139, 183, 184syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ ({βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}β€˜π‘†) = 𝑏)
186175, 182, 1853eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (π‘’β€˜π‘†) = 𝑏)
187174, 186oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘’β€˜π‘Ž) + (π‘’β€˜π‘†)) = ((𝑀 βˆ’ 𝑏) + 𝑏))
188 zsscn 12566 . . . . . . . . . . . 12 β„€ βŠ† β„‚
189112ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
190188, 189sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
191186, 156eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
192190, 191npcand 11575 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ ((𝑀 βˆ’ 𝑏) + 𝑏) = 𝑀)
193187, 192eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘’β€˜π‘Ž) + (π‘’β€˜π‘†)) = 𝑀)
194136, 157, 1933eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀)
195134, 194jca 513 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀))
196195r19.29ffa 31744 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})) β†’ (𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀))
197108, 196impbida 800 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©})))
198 reprsuc.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏)) ↦ (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}))
199 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑐 ∈ V
200 snex 5432 . . . . . . . 8 {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©} ∈ V
201199, 200unex 7733 . . . . . . 7 (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}) ∈ V
202198, 201elrnmpti 5960 . . . . . 6 (𝑒 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}))
203202rexbii 3095 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑒 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)(𝑀 βˆ’ 𝑏))𝑒 = (𝑐 βˆͺ {βŸ¨π‘†, π‘βŸ©}))
204197, 203bitr4di 289 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑒 ∈ ran 𝐹))
205 fveq1 6891 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑒 β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = (π‘’β€˜π‘Ž))
206205sumeq2sdv 15650 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑒 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž))
207206eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑒 β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀 ↔ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀))
208207cbvrabv 3443 . . . . 5 {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} = {𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀}
209208reqabi 3455 . . . 4 (𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} ↔ (𝑒 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘’β€˜π‘Ž) = 𝑀))
210 eliun 5002 . . . 4 (𝑒 ∈ βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑒 ∈ ran 𝐹)
211204, 209, 2103bitr4g 314 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} ↔ 𝑒 ∈ βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ran 𝐹))
212211eqrdv 2731 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^(𝑆 + 1))) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^(𝑆 + 1))(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} = βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ran 𝐹)
2137, 212eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜(𝑆 + 1))𝑀) = βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ ciun 4998   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ..^cfzo 13627  Ξ£csu 15632  reprcrepr 33651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-repr 33652
This theorem is referenced by:  breprexplema  33673
  Copyright terms: Public domain W3C validator