Theorem nnsum3primesprm 47791

Description: Every prime is "the sum of at most 3" (actually one - the prime itself) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primesprm	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑃,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12197	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		1zzd 12564	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℙ)
4	2, 3	fsnd 6843	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
5		prmex 16647	. . . . 5 ⊢ ℙ ∈ V
6		snex 5391	. . . . 5 ⊢ {1} ∈ V
7	5, 6	elmap 8844	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}) ↔ {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
8	4, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}))
9		1re 11174	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		fvsng 7154	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
12	9, 10, 11	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
13	12	sumeq2dv 15668	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = Σ𝑘 ∈ {1}𝑃)
14		prmz 16645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12639	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
16		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑃 = 𝑃)
17	16	sumsn 15712	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
18	9, 15, 17	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
19	13, 18	eqtr2d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
20		1le3 12393	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 3
21	19, 20	jctil 519	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
22		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩})
23		elsni 4606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {1} → 𝑘 = 1)
24	23	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑘 = 1)
25	22, 24	fveq12d 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
26	25	sumeq2dv 15668	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
27	26	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
28	27	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → ((1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))))
29	28	rspcev 3588	. . 3 ⊢ (({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}) ∧ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)))
30	8, 21, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)))
31		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = (1...1))
32		1z 12563	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
33		fzsn 13527	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1...1) = {1}
35	31, 34	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = {1})
36	35	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 1 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1}))
37		breq1 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 1 ≤ 3))
38	35	sumeq1d 15666	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 1 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))
39	38	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)))
40	37, 39	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 1 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))))
41	36, 40	rexeqbidv 3320	. . 3 ⊢ (𝑑 = 1 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))))
42	41	rspcev 3588	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
43	1, 30, 42	sylancr 587	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {csn 4589  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  ℂcc 11066  ℝcr 11067  1c1 11069   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  3c3 12242  ℤcz 12529  ...cfz 13468  Σcsu 15652  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  nnsum4primesprm  47792  nnsum3primesle9  47795