Theorem nnsum3primesprm 45242

Description: Every prime is "the sum of at most 3" (actually one - the prime itself) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primesprm	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑃,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11984	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		1zzd 12351	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℙ)
4	2, 3	fsnd 6759	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
5		prmex 16382	. . . . 5 ⊢ ℙ ∈ V
6		snex 5354	. . . . 5 ⊢ {1} ∈ V
7	5, 6	elmap 8659	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}) ↔ {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
8	4, 7	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}))
9		1re 10975	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		fvsng 7052	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
12	9, 10, 11	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
13	12	sumeq2dv 15415	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = Σ𝑘 ∈ {1}𝑃)
14		prmz 16380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12427	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
16		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑃 = 𝑃)
17	16	sumsn 15458	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
18	9, 15, 17	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
19	13, 18	eqtr2d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
20		1le3 12185	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 3
21	19, 20	jctil 520	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
22		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩})
23		elsni 4578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {1} → 𝑘 = 1)
24	23	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑘 = 1)
25	22, 24	fveq12d 6781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
26	25	sumeq2dv 15415	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
27	26	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
28	27	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → ((1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))))
29	28	rspcev 3561	. . 3 ⊢ (({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}) ∧ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)))
30	8, 21, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)))
31		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = (1...1))
32		1z 12350	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
33		fzsn 13298	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1...1) = {1}
35	31, 34	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = {1})
36	35	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 1 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1}))
37		breq1 5077	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 1 ≤ 3))
38	35	sumeq1d 15413	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 1 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))
39	38	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)))
40	37, 39	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 1 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))))
41	36, 40	rexeqbidv 3337	. . 3 ⊢ (𝑑 = 1 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))))
42	41	rspcev 3561	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
43	1, 30, 42	sylancr 587	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {csn 4561  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  3c3 12029  ℤcz 12319  ...cfz 13239  Σcsu 15397  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  nnsum4primesprm  45243  nnsum3primesle9  45246