Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primesprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primesprm 43437
Description: Every prime is "the sum of at most 3" (actually one - the prime itself) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesprm (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑃,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesprm
StepHypRef Expression
1 1nn 11497 . 2 1 ∈ ℕ
2 1zzd 11862 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℙ)
42, 3fsnd 6525 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
5 prmex 15850 . . . . 5 ℙ ∈ V
6 snex 5223 . . . . 5 {1} ∈ V
75, 6elmap 8285 . . . 4 ({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1}) ↔ {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
84, 7sylibr 235 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1}))
9 1re 10487 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
10 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑃 ∈ ℙ)
11 fvsng 6805 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
129, 10, 11sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
1312sumeq2dv 14893 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = Σ𝑘 ∈ {1}𝑃)
14 prmz 15848 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1514zcnd 11937 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
16 eqidd 2796 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → 𝑃 = 𝑃)
1716sumsn 14934 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
189, 15, 17sylancr 587 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
1913, 18eqtr2d 2832 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
20 1le3 11697 . . . 4 1 ≤ 3
2119, 20jctil 520 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
22 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩})
23 elsni 4489 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {1} → 𝑘 = 1)
2423adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑘 = 1)
2522, 24fveq12d 6545 . . . . . . 7 ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
2625sumeq2dv 14893 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
2726eqeq2d 2805 . . . . 5 (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
2827anbi2d 628 . . . 4 (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → ((1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))))
2928rspcev 3559 . . 3 (({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1}) ∧ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)))
308, 21, 29syl2anc 584 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)))
31 oveq2 7024 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = (1...1))
32 1z 11861 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
33 fzsn 12799 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (1...1) = {1}
3531, 34syl6eq 2847 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = {1})
3635oveq2d 7032 . . . 4 (𝑑 = 1 → (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑)) = (ℙ ↑𝑚 {1}))
37 breq1 4965 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 1 ≤ 3))
3835sumeq1d 14891 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))
3938eqeq2d 2805 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)))
4037, 39anbi12d 630 . . . 4 (𝑑 = 1 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))))
4136, 40rexeqbidv 3362 . . 3 (𝑑 = 1 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))))
4241rspcev 3559 . 2 ((1 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
431, 30, 42sylancr 587 1 (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wrex 3106  {csn 4472  cop 4478   class class class wbr 4962  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  𝑚 cmap 8256  cc 10381  cr 10382  1c1 10384  cle 10522  cn 11486  3c3 11541  cz 11829  ...cfz 12742  Σcsu 14876  cprime 15844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-prm 15845
This theorem is referenced by:  nnsum4primesprm  43438  nnsum3primesle9  43441
  Copyright terms: Public domain W3C validator