Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primesprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primesprm 44306
 Description: Every prime is "the sum of at most 3" (actually one - the prime itself) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesprm (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑃,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesprm
StepHypRef Expression
1 1nn 11636 . 2 1 ∈ ℕ
2 1zzd 12001 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℙ)
42, 3fsnd 6632 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
5 prmex 16011 . . . . 5 ℙ ∈ V
6 snex 5297 . . . . 5 {1} ∈ V
75, 6elmap 8418 . . . 4 ({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}) ↔ {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
84, 7sylibr 237 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}))
9 1re 10630 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
10 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑃 ∈ ℙ)
11 fvsng 6919 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
129, 10, 11sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
1312sumeq2dv 15052 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = Σ𝑘 ∈ {1}𝑃)
14 prmz 16009 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1514zcnd 12076 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
16 eqidd 2799 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → 𝑃 = 𝑃)
1716sumsn 15093 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
189, 15, 17sylancr 590 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
1913, 18eqtr2d 2834 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
20 1le3 11837 . . . 4 1 ≤ 3
2119, 20jctil 523 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
22 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩})
23 elsni 4542 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {1} → 𝑘 = 1)
2423adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑘 = 1)
2522, 24fveq12d 6652 . . . . . . 7 ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
2625sumeq2dv 15052 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
2726eqeq2d 2809 . . . . 5 (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
2827anbi2d 631 . . . 4 (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → ((1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))))
2928rspcev 3571 . . 3 (({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}) ∧ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)))
308, 21, 29syl2anc 587 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)))
31 oveq2 7143 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = (1...1))
32 1z 12000 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
33 fzsn 12944 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (1...1) = {1}
3531, 34eqtrdi 2849 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = {1})
3635oveq2d 7151 . . . 4 (𝑑 = 1 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1}))
37 breq1 5033 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 1 ≤ 3))
3835sumeq1d 15050 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))
3938eqeq2d 2809 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)))
4037, 39anbi12d 633 . . . 4 (𝑑 = 1 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))))
4136, 40rexeqbidv 3355 . . 3 (𝑑 = 1 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))))
4241rspcev 3571 . 2 ((1 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
431, 30, 42sylancr 590 1 (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  {csn 4525  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8389  ℂcc 10524  ℝcr 10525  1c1 10527   ≤ cle 10665  ℕcn 11625  3c3 11681  ℤcz 11969  ...cfz 12885  Σcsu 15034  ℙcprime 16005 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-prm 16006 This theorem is referenced by:  nnsum4primesprm  44307  nnsum3primesle9  44310
 Copyright terms: Public domain W3C validator