Theorem nnsum3primesprm 43437

Description: Every prime is "the sum of at most 3" (actually one - the prime itself) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primesprm	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑃,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11497	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		1zzd 11862	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℙ)
4	2, 3	fsnd 6525	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
5		prmex 15850	. . . . 5 ⊢ ℙ ∈ V
6		snex 5223	. . . . 5 ⊢ {1} ∈ V
7	5, 6	elmap 8285	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1}) ↔ {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
8	4, 7	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1}))
9		1re 10487	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		fvsng 6805	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
12	9, 10, 11	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
13	12	sumeq2dv 14893	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = Σ𝑘 ∈ {1}𝑃)
14		prmz 15848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 11937	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
16		eqidd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑃 = 𝑃)
17	16	sumsn 14934	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
18	9, 15, 17	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
19	13, 18	eqtr2d 2832	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
20		1le3 11697	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 3
21	19, 20	jctil 520	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
22		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩})
23		elsni 4489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {1} → 𝑘 = 1)
24	23	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑘 = 1)
25	22, 24	fveq12d 6545	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
26	25	sumeq2dv 14893	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
27	26	eqeq2d 2805	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
28	27	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → ((1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))))
29	28	rspcev 3559	. . 3 ⊢ (({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1}) ∧ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)))
30	8, 21, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)))
31		oveq2 7024	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = (1...1))
32		1z 11861	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
33		fzsn 12799	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1...1) = {1}
35	31, 34	syl6eq 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = {1})
36	35	oveq2d 7032	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 1 → (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑)) = (ℙ ↑𝑚 {1}))
37		breq1 4965	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 1 ≤ 3))
38	35	sumeq1d 14891	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 1 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))
39	38	eqeq2d 2805	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)))
40	37, 39	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 1 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))))
41	36, 40	rexeqbidv 3362	. . 3 ⊢ (𝑑 = 1 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))))
42	41	rspcev 3559	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
43	1, 30, 42	sylancr 587	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∃wrex 3106  {csn 4472  ⟨cop 4478   class class class wbr 4962  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ↑_𝑚 cmap 8256  ℂcc 10381  ℝcr 10382  1c1 10384   ≤ cle 10522  ℕcn 11486  3c3 11541  ℤcz 11829  ...cfz 12742  Σcsu 14876  ℙcprime 15844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-prm 15845

This theorem is referenced by:  nnsum4primesprm  43438  nnsum3primesle9  43441