Theorem nnsum3primesprm 47775

Description: Every prime is "the sum of at most 3" (actually one - the prime itself) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primesprm	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑃,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12157	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		1zzd 12524	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℙ)
4	2, 3	fsnd 6811	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
5		prmex 16606	. . . . 5 ⊢ ℙ ∈ V
6		snex 5378	. . . . 5 ⊢ {1} ∈ V
7	5, 6	elmap 8805	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}) ↔ {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
8	4, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}))
9		1re 11134	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		fvsng 7120	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
12	9, 10, 11	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
13	12	sumeq2dv 15627	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = Σ𝑘 ∈ {1}𝑃)
14		prmz 16604	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12599	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
16		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑃 = 𝑃)
17	16	sumsn 15671	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
18	9, 15, 17	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
19	13, 18	eqtr2d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
20		1le3 12353	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 3
21	19, 20	jctil 519	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
22		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩})
23		elsni 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {1} → 𝑘 = 1)
24	23	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑘 = 1)
25	22, 24	fveq12d 6833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
26	25	sumeq2dv 15627	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
27	26	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
28	27	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → ((1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))))
29	28	rspcev 3579	. . 3 ⊢ (({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}) ∧ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)))
30	8, 21, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)))
31		oveq2 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = (1...1))
32		1z 12523	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
33		fzsn 13487	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1...1) = {1}
35	31, 34	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = {1})
36	35	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 1 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1}))
37		breq1 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 1 ≤ 3))
38	35	sumeq1d 15625	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 1 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))
39	38	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘)))
40	37, 39	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 1 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))))
41	36, 40	rexeqbidv 3311	. . 3 ⊢ (𝑑 = 1 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))))
42	41	rspcev 3579	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓‘𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
43	1, 30, 42	sylancr 587	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {csn 4579  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  ℂcc 11026  ℝcr 11027  1c1 11029   ≤ cle 11169  ℕcn 12146  3c3 12202  ℤcz 12489  ...cfz 13428  Σcsu 15611  ℙcprime 16600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-prm 16601

This theorem is referenced by:  nnsum4primesprm  47776  nnsum3primesle9  47779