Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primesprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primesprm 47053
Description: Every prime is "the sum of at most 3" (actually one - the prime itself) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesprm (𝑃 ∈ β„™ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)))
Distinct variable group:   𝑃,𝑑,𝑓,π‘˜

Proof of Theorem nnsum3primesprm
StepHypRef Expression
1 1nn 12245 . 2 1 ∈ β„•
2 1zzd 12615 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 1 ∈ β„€)
3 id 22 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
42, 3fsnd 6876 . . . 4 (𝑃 ∈ β„™ β†’ {⟨1, π‘ƒβŸ©}:{1}βŸΆβ„™)
5 prmex 16639 . . . . 5 β„™ ∈ V
6 snex 5427 . . . . 5 {1} ∈ V
75, 6elmap 8881 . . . 4 ({⟨1, π‘ƒβŸ©} ∈ (β„™ ↑m {1}) ↔ {⟨1, π‘ƒβŸ©}:{1}βŸΆβ„™)
84, 7sylibr 233 . . 3 (𝑃 ∈ β„™ β†’ {⟨1, π‘ƒβŸ©} ∈ (β„™ ↑m {1}))
9 1re 11236 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
10 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ {1}) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
11 fvsng 7183 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ ({⟨1, π‘ƒβŸ©}β€˜1) = 𝑃)
129, 10, 11sylancr 586 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ {1}) β†’ ({⟨1, π‘ƒβŸ©}β€˜1) = 𝑃)
1312sumeq2dv 15673 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1} ({⟨1, π‘ƒβŸ©}β€˜1) = Ξ£π‘˜ ∈ {1}𝑃)
14 prmz 16637 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1514zcnd 12689 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
16 eqidd 2728 . . . . . . 7 (π‘˜ = 1 β†’ 𝑃 = 𝑃)
1716sumsn 15716 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
189, 15, 17sylancr 586 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
1913, 18eqtr2d 2768 . . . 4 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} ({⟨1, π‘ƒβŸ©}β€˜1))
20 1le3 12446 . . . 4 1 ≀ 3
2119, 20jctil 519 . . 3 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (1 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} ({⟨1, π‘ƒβŸ©}β€˜1)))
22 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑓 = {⟨1, π‘ƒβŸ©} ∧ π‘˜ ∈ {1}) β†’ 𝑓 = {⟨1, π‘ƒβŸ©})
23 elsni 4641 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ {1} β†’ π‘˜ = 1)
2423adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑓 = {⟨1, π‘ƒβŸ©} ∧ π‘˜ ∈ {1}) β†’ π‘˜ = 1)
2522, 24fveq12d 6898 . . . . . . 7 ((𝑓 = {⟨1, π‘ƒβŸ©} ∧ π‘˜ ∈ {1}) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘ƒβŸ©}β€˜1))
2625sumeq2dv 15673 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨1, π‘ƒβŸ©} β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1} (π‘“β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {1} ({⟨1, π‘ƒβŸ©}β€˜1))
2726eqeq2d 2738 . . . . 5 (𝑓 = {⟨1, π‘ƒβŸ©} β†’ (𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} (π‘“β€˜π‘˜) ↔ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} ({⟨1, π‘ƒβŸ©}β€˜1)))
2827anbi2d 628 . . . 4 (𝑓 = {⟨1, π‘ƒβŸ©} β†’ ((1 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} (π‘“β€˜π‘˜)) ↔ (1 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} ({⟨1, π‘ƒβŸ©}β€˜1))))
2928rspcev 3607 . . 3 (({⟨1, π‘ƒβŸ©} ∈ (β„™ ↑m {1}) ∧ (1 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} ({⟨1, π‘ƒβŸ©}β€˜1))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1})(1 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} (π‘“β€˜π‘˜)))
308, 21, 29syl2anc 583 . 2 (𝑃 ∈ β„™ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1})(1 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} (π‘“β€˜π‘˜)))
31 oveq2 7422 . . . . . 6 (𝑑 = 1 β†’ (1...𝑑) = (1...1))
32 1z 12614 . . . . . . 7 1 ∈ β„€
33 fzsn 13567 . . . . . . 7 (1 ∈ β„€ β†’ (1...1) = {1})
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (1...1) = {1}
3531, 34eqtrdi 2783 . . . . 5 (𝑑 = 1 β†’ (1...𝑑) = {1})
3635oveq2d 7430 . . . 4 (𝑑 = 1 β†’ (β„™ ↑m (1...𝑑)) = (β„™ ↑m {1}))
37 breq1 5145 . . . . 5 (𝑑 = 1 β†’ (𝑑 ≀ 3 ↔ 1 ≀ 3))
3835sumeq1d 15671 . . . . . 6 (𝑑 = 1 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {1} (π‘“β€˜π‘˜))
3938eqeq2d 2738 . . . . 5 (𝑑 = 1 β†’ (𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜) ↔ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} (π‘“β€˜π‘˜)))
4037, 39anbi12d 630 . . . 4 (𝑑 = 1 β†’ ((𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)) ↔ (1 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} (π‘“β€˜π‘˜))))
4136, 40rexeqbidv 3338 . . 3 (𝑑 = 1 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1})(1 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} (π‘“β€˜π‘˜))))
4241rspcev 3607 . 2 ((1 ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1})(1 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ {1} (π‘“β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)))
431, 30, 42sylancr 586 1 (𝑃 ∈ β„™ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑃 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  β„‚cc 11128  β„cr 11129  1c1 11131   ≀ cle 11271  β„•cn 12234  3c3 12290  β„€cz 12580  ...cfz 13508  Ξ£csu 15656  β„™cprime 16633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-prm 16634
This theorem is referenced by:  nnsum4primesprm  47054  nnsum3primesle9  47057
  Copyright terms: Public domain W3C validator