Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primesprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primesprm 47777
Description: Every prime is "the sum of at most 3" (actually one - the prime itself) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesprm (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑃,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesprm
StepHypRef Expression
1 1nn 12277 . 2 1 ∈ ℕ
2 1zzd 12648 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℙ)
42, 3fsnd 6891 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
5 prmex 16714 . . . . 5 ℙ ∈ V
6 snex 5436 . . . . 5 {1} ∈ V
75, 6elmap 8911 . . . 4 ({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}) ↔ {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
84, 7sylibr 234 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}))
9 1re 11261 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
10 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑃 ∈ ℙ)
11 fvsng 7200 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
129, 10, 11sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
1312sumeq2dv 15738 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = Σ𝑘 ∈ {1}𝑃)
14 prmz 16712 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1514zcnd 12723 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
16 eqidd 2738 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → 𝑃 = 𝑃)
1716sumsn 15782 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
189, 15, 17sylancr 587 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
1913, 18eqtr2d 2778 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
20 1le3 12478 . . . 4 1 ≤ 3
2119, 20jctil 519 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
22 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩})
23 elsni 4643 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {1} → 𝑘 = 1)
2423adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑘 = 1)
2522, 24fveq12d 6913 . . . . . . 7 ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
2625sumeq2dv 15738 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
2726eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
2827anbi2d 630 . . . 4 (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → ((1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))))
2928rspcev 3622 . . 3 (({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑m {1}) ∧ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)))
308, 21, 29syl2anc 584 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)))
31 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = (1...1))
32 1z 12647 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
33 fzsn 13606 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (1...1) = {1}
3531, 34eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = {1})
3635oveq2d 7447 . . . 4 (𝑑 = 1 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1}))
37 breq1 5146 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 1 ≤ 3))
3835sumeq1d 15736 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))
3938eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)))
4037, 39anbi12d 632 . . . 4 (𝑑 = 1 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))))
4136, 40rexeqbidv 3347 . . 3 (𝑑 = 1 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))))
4241rspcev 3622 . 2 ((1 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
431, 30, 42sylancr 587 1 (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  {csn 4626  cop 4632   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  cc 11153  cr 11154  1c1 11156  cle 11296  cn 12266  3c3 12322  cz 12613  ...cfz 13547  Σcsu 15722  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-prm 16709
This theorem is referenced by:  nnsum4primesprm  47778  nnsum3primesle9  47781
  Copyright terms: Public domain W3C validator