Theorem fv1arycl 48373

Description: Closure of a unary (endo)function. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fv1arycl	⊢ ((𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem fv1arycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0..^1) = (0..^1)
2	1	naryrcl 48367	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
3		1aryfvalel 48372	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋))
4		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋)
5		c0ex 11286	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
7		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
8	6, 7	fsnd 6907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩}:{0}⟶𝑋)
9		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10		snex 5451	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {0} ∈ V)
12	9, 11	elmapd 8900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐴⟩}:{0}⟶𝑋))
13	8, 12	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
14	4, 13	ffvelcdmd 7121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)
15	14	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
16	3, 15	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
18	2, 17	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋))
19	18	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648  ⟨cop 4654  ⟶wf 6571  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450   ↑_m cmap 8886  0cc0 11186  1c1 11187  ℕ₀cn0 12555  ..^cfzo 13713  -aryF cnaryf 48362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-naryf 48363

This theorem is referenced by:  1arymaptf  48377