Theorem fv1arycl 49297

Description: Closure of a unary (endo)function. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fv1arycl	⊢ ((𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem fv1arycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0..^1) = (0..^1)
2	1	naryrcl 49291	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
3		1aryfvalel 49296	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋))
4		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋)
5		c0ex 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
7		simp3 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
8	6, 7	fsnd 6863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩}:{0}⟶𝑋)
9		simp1 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10		snex 5408	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {0} ∈ V)
12	9, 11	elmapd 8833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐴⟩}:{0}⟶𝑋))
13	8, 12	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
14	4, 13	ffvelcdmd 7078	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)
15	14	3exp 1135	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
16	3, 15	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
17	16	adantl 486	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
18	2, 17	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋))
19	18	imp 411	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  {csn 4591  ⟨cop 4597  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  0cc0 11096  1c1 11097  ℕ₀cn0 12500  ..^cfzo 13678  -aryF cnaryf 49286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-naryf 49287

This theorem is referenced by:  1arymaptf  49301