Theorem fv1arycl 49568

Description: Closure of a unary (endo)function. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fv1arycl	⊢ ((𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem fv1arycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0..^1) = (0..^1)
2	1	naryrcl 49562	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
3		1aryfvalel 49567	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋))
4		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋)
5		c0ex 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
7		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
8	6, 7	fsnd 6863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩}:{0}⟶𝑋)
9		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10		snex 5404	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {0} ∈ V)
12	9, 11	elmapd 8840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐴⟩}:{0}⟶𝑋))
13	8, 12	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
14	4, 13	ffvelcdmd 7079	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)
15	14	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
16	3, 15	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
17	16	adantl 487	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
18	2, 17	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋))
19	18	imp 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4590  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8827  0cc0 11125  1c1 11126  ℕ₀cn0 12529  ..^cfzo 13710  -aryF cnaryf 49557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-naryf 49558

This theorem is used by:  1arymaptf  49572