Theorem fv1arycl 50080

Description: Closure of a unary (endo)function. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fv1arycl	⊢ ((𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem fv1arycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0..^1) = (0..^1)
2	1	naryrcl 50074	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
3		1aryfvalel 50079	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋))
4		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋)
5		c0ex 11339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
7		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
8	6, 7	fsnd 6900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩}:{0}⟶𝑋)
9		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10		snex 5404	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {0} ∈ V)
12	9, 11	elmapd 8898	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐴⟩}:{0}⟶𝑋))
13	8, 12	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
14	4, 13	ffvelcdmd 7117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)
15	14	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
16	3, 15	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
17	16	adantl 487	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
18	2, 17	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋))
19	18	imp 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {csn 4588  ⟨cop 4840  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  0cc0 11239  1c1 11240  ℕ₀cn0 12646  ..^cfzo 13828  -aryF cnaryf 50069

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-naryf 50070

This theorem is used by:  1arymaptf  50084