Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fv1arycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fv1arycl 44977
 Description: Closure of a unary (endo)function. (Contributed by AV, 18-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
fv1arycl ((𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem fv1arycl
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 (0..^1) = (0..^1)
21naryrcl 44971 . . 3 (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (1 ∈ ℕ0𝑋 ∈ V))
3 1aryfvalel 44976 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝐺:(𝑋m {0})⟶𝑋))
4 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋m {0})⟶𝑋𝐴𝑋) → 𝐺:(𝑋m {0})⟶𝑋)
5 c0ex 10633 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋m {0})⟶𝑋𝐴𝑋) → 0 ∈ V)
7 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋m {0})⟶𝑋𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
86, 7fsnd 6648 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋m {0})⟶𝑋𝐴𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩}:{0}⟶𝑋)
9 simp1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋m {0})⟶𝑋𝐴𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10 snex 5319 . . . . . . . . . 10 {0} ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋m {0})⟶𝑋𝐴𝑋) → {0} ∈ V)
129, 11elmapd 8416 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋m {0})⟶𝑋𝐴𝑋) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∈ (𝑋m {0}) ↔ {⟨0, 𝐴⟩}:{0}⟶𝑋))
138, 12mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋m {0})⟶𝑋𝐴𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩} ∈ (𝑋m {0}))
144, 13ffvelrnd 6843 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋m {0})⟶𝑋𝐴𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)
15143exp 1116 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (𝐺:(𝑋m {0})⟶𝑋 → (𝐴𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
163, 15sylbid 243 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
1716adantl 485 . . 3 ((1 ∈ ℕ0𝑋 ∈ V) → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
182, 17mpcom 38 . 2 (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋))
1918imp 410 1 ((𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  {csn 4550  ⟨cop 4556  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ↑m cmap 8402  0cc0 10535  1c1 10536  ℕ0cn0 11894  ..^cfzo 13037  -aryF cnaryf 44966 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-naryf 44967 This theorem is referenced by:  1arymaptf  44981
 Copyright terms: Public domain W3C validator