Theorem fv1arycl 48290

Description: Closure of a unary (endo)function. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fv1arycl	⊢ ((𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem fv1arycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (0..^1) = (0..^1)
2	1	naryrcl 48284	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
3		1aryfvalel 48289	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋))
4		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋)
5		c0ex 11280	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
7		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
8	6, 7	fsnd 6904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩}:{0}⟶𝑋)
9		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10		snex 5454	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {0} ∈ V)
12	9, 11	elmapd 8894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐴⟩}:{0}⟶𝑋))
13	8, 12	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
14	4, 13	ffvelcdmd 7117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)
15	14	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
16	3, 15	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)))
18	2, 17	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋))
19	18	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩}) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2103  Vcvv 3482  {csn 4648  ⟨cop 4654  ⟶wf 6568  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445   ↑_m cmap 8880  0cc0 11180  1c1 11181  ℕ₀cn0 12549  ..^cfzo 13707  -aryF cnaryf 48279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-naryf 48280

This theorem is referenced by:  1arymaptf  48294