Theorem 1arympt1fv 48373

Description: The value of a unary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arympt1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))

Assertion

Ref	Expression
1arympt1fv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 1arympt1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arympt1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0))))
3		fveq1 6919	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
5		c0ex 11284	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 0 ∈ V)
7	6	anim1i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
9		fvsng 7214	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
11	4, 10	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐵)
12	11	fveq2d 6924	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝐴‘(𝑥‘0)) = (𝐴‘𝐵))
13	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
14		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
15	13, 14	fsnd 6905	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋)
16		snex 5451	. . . . 5 ⊢ {0} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → {0} ∈ V)
18		elmapg 8897	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
19	17, 18	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
20	15, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
21		fvexd 6935	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝐵) ∈ V)
22	2, 12, 20, 21	fvmptd 7036	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648  ⟨cop 4654   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  0cc0 11184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-mulcl 11246  ax-i2m1 11252

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886

This theorem is referenced by: (None)