Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1arympt1fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arympt1fv 45094
 Description: The value of a unary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 16-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
1arympt1.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))
Assertion
Ref Expression
1arympt1fv ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 1arympt1fv
StepHypRef Expression
1 1arympt1.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))
21a1i 11 . 2 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0))))
3 fveq1 6645 . . . . 5 (𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
43adantl 485 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
5 c0ex 10627 . . . . . . . 8 0 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → 0 ∈ V)
76anim1i 617 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐵𝑋))
87adantr 484 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐵𝑋))
9 fvsng 6920 . . . . 5 ((0 ∈ V ∧ 𝐵𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
114, 10eqtrd 2833 . . 3 (((𝑋𝑉𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐵)
1211fveq2d 6650 . 2 (((𝑋𝑉𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝐴‘(𝑥‘0)) = (𝐴𝐵))
135a1i 11 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → 0 ∈ V)
14 simpr 488 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
1513, 14fsnd 6633 . . 3 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋)
16 snex 5298 . . . . 5 {0} ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (𝐵𝑋 → {0} ∈ V)
18 elmapg 8405 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
1917, 18sylan2 595 . . 3 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
2015, 19mpbird 260 . 2 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋m {0}))
21 fvexd 6661 . 2 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → (𝐴𝐵) ∈ V)
222, 12, 20, 21fvmptd 6753 1 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  {csn 4525  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5111  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↑m cmap 8392  0cc0 10529 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-mulcl 10591  ax-i2m1 10597 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-map 8394 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator