Theorem 1arympt1fv 50082

Description: The value of a unary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arympt1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))

Assertion

Ref	Expression
1arympt1fv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 1arympt1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arympt1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0))))
3		fveq1 6915	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
5		c0ex 11339	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 0 ∈ V)
7	6	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
9		fvsng 7216	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
11	4, 10	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐵)
12	11	fveq2d 6920	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝐴‘(𝑥‘0)) = (𝐴‘𝐵))
13	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
14		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
15	13, 14	fsnd 6900	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋)
16		snex 5404	. . . . 5 ⊢ {0} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → {0} ∈ V)
18		elmapg 8897	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
19	17, 18	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
20	15, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
21		fvexd 6931	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝐵) ∈ V)
22	2, 12, 20, 21	fvmptd 7032	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {csn 4588  ⟨cop 4840   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  0cc0 11239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-mulcl 11301  ax-i2m1 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-map 8887

This theorem is used by: (None)