Theorem 1arympt1fv 45403

Description: The value of a unary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arympt1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))

Assertion

Ref	Expression
1arympt1fv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 1arympt1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arympt1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0))))
3		fveq1 6650	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
4	3	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
5		c0ex 10658	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 0 ∈ V)
7	6	anim1i 618	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
9		fvsng 6926	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
11	4, 10	eqtrd 2794	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐵)
12	11	fveq2d 6655	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝐴‘(𝑥‘0)) = (𝐴‘𝐵))
13	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
14		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
15	13, 14	fsnd 6637	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋)
16		snex 5293	. . . . 5 ⊢ {0} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → {0} ∈ V)
18		elmapg 8422	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
19	17, 18	sylan2 596	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
20	15, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
21		fvexd 6666	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝐵) ∈ V)
22	2, 12, 20, 21	fvmptd 6759	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3407  {csn 4515  ⟨cop 4521   ↦ cmpt 5105  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143   ↑_m cmap 8409  0cc0 10560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-mulcl 10622  ax-i2m1 10628

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ral 3073  df-rex 3074  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-op 4522  df-uni 4792  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-id 5423  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-map 8411

This theorem is referenced by: (None)