Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1arympt1fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arympt1fv 47823
Description: The value of a unary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 16-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
1arympt1.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))
Assertion
Ref Expression
1arympt1fv ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 1arympt1fv
StepHypRef Expression
1 1arympt1.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))
21a1i 11 . 2 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0))))
3 fveq1 6890 . . . . 5 (𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
43adantl 480 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
5 c0ex 11236 . . . . . . . 8 0 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → 0 ∈ V)
76anim1i 613 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐵𝑋))
87adantr 479 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐵𝑋))
9 fvsng 7184 . . . . 5 ((0 ∈ V ∧ 𝐵𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
114, 10eqtrd 2765 . . 3 (((𝑋𝑉𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐵)
1211fveq2d 6895 . 2 (((𝑋𝑉𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝐴‘(𝑥‘0)) = (𝐴𝐵))
135a1i 11 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → 0 ∈ V)
14 simpr 483 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
1513, 14fsnd 6876 . . 3 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋)
16 snex 5427 . . . . 5 {0} ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (𝐵𝑋 → {0} ∈ V)
18 elmapg 8854 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
1917, 18sylan2 591 . . 3 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
2015, 19mpbird 256 . 2 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋m {0}))
21 fvexd 6906 . 2 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → (𝐴𝐵) ∈ V)
222, 12, 20, 21fvmptd 7006 1 ((𝑋𝑉𝐵𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  {csn 4624  cop 4630  cmpt 5226  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7415  m cmap 8841  0cc0 11136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-mulcl 11198  ax-i2m1 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-map 8843
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator