Theorem 1arympt1fv 49452

Description: The value of a unary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arympt1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))

Assertion

Ref	Expression
1arympt1fv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 1arympt1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arympt1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0))))
3		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
5		c0ex 11211	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 0 ∈ V)
7	6	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
9		fvsng 7182	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
11	4, 10	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐵)
12	11	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝐴‘(𝑥‘0)) = (𝐴‘𝐵))
13	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
14		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
15	13, 14	fsnd 6869	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋)
16		snex 5412	. . . . 5 ⊢ {0} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → {0} ∈ V)
18		elmapg 8838	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
19	17, 18	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
20	15, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
21		fvexd 6900	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝐵) ∈ V)
22	2, 12, 20, 21	fvmptd 7001	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  {csn 4591  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826  0cc0 11111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-mulcl 11173  ax-i2m1 11179

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8828

This theorem is used by: (None)