Theorem 1arympt1fv 47605

Description: The value of a unary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arympt1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))

Assertion

Ref	Expression
1arympt1fv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 1arympt1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arympt1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝐴‘(𝑥‘0))))
3		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐵⟩}‘0))
5		c0ex 11212	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 0 ∈ V)
7	6	anim1i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
9		fvsng 7174	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐵⟩}‘0) = 𝐵)
11	4, 10	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐵)
12	11	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐵⟩}) → (𝐴‘(𝑥‘0)) = (𝐴‘𝐵))
13	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
14		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
15	13, 14	fsnd 6870	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋)
16		snex 5424	. . . . 5 ⊢ {0} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → {0} ∈ V)
18		elmapg 8835	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
19	17, 18	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝐵⟩}:{0}⟶𝑋))
20	15, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
21		fvexd 6900	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝐵) ∈ V)
22	2, 12, 20, 21	fvmptd 6999	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐵⟩}) = (𝐴‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623  ⟨cop 4629   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8822  0cc0 11112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-mulcl 11174  ax-i2m1 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824

This theorem is referenced by: (None)